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  • 2021-06-15 发布

2019年高考数学练习题汇总高考解答题分项练(七)

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‎(七)数列(A)‎ ‎1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+an=4,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)已知cn=2n+3(n∈N*),记dn=cn+logC an(C>0且C≠1),是否存在这样的常数C,使得数列{dn}是常数列,若存在,求出C的值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)若对于数列{bn}及任意的正整数n,均有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bna1=n-成立,求证:数列{bn}是等差数列.‎ ‎(1)解 a1=4-a1,所以a1=2,‎ 由Sn+an=4,得当n≥2时,Sn-1+an-1=4,‎ 两式相减,得2an=an-1,所以=,‎ 数列{an}是以2为首项,为公比的等比数列,‎ 所以an=22-n(n∈N*).‎ ‎(2)解 由于数列{dn}是常数列,‎ dn=cn+logC an=2n+3+(2-n)logC2‎ ‎=2n+3+2logC2-nlogC2‎ ‎=(2-logC2)n+3+2logC2为常数,‎ 则2-logC2=0,‎ 由C>0且C≠1,‎ 解得C=,此时dn=7.‎ ‎(3)证明 b1an+b2an-1+b3an-2+…+bna1‎ ‎=n-,①‎ 当n=1时,b1a1=-=-1,‎ 其中a1=2,所以b1=-.‎ 当n≥2时,b1an-1+b2an-2+b3an-3+…+bn-1a1=n-1-,②‎ ‎②式两边同时乘以,得 b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2=n-,③‎ 由①-③,得bna1=,‎ 所以bn=--(n∈N*,n≥2),‎ 且bn+1-bn=-,‎ 又b1=-=--,‎ 所以数列{bn}是以-为首项,-为公差的等差数列.‎ ‎2.在数列{an}中,已知a1=,an+1=an-,n∈N*,设Sn为{an}的前n项和.‎ ‎(1)求证:数列{3nan}是等差数列;‎ ‎(2)求Sn;‎ ‎(3)是否存在正整数p,q,r(p0,所以+>,等式不成立.‎ ‎②当q=2时,p=1,所以=+,‎ 所以=,‎ 所以r=3({Sn}单调递减,解唯一确定).‎ 综上可知,存在正整数p=1,q=2,r=3,使得Sp,Sq,Sr成等差数列.‎ ‎3.设Sn为数列{an}的前n项和,若(n∈N*)是非零常数,则称该数列为“和等比数列”.‎ ‎(1)若数列{2bn}是首项为2,公比为4的等比数列,试判断数列{bn}是否为“和等比数列”,并给出证明;‎ ‎(2)若数列{cn}是首项为c1,公差为d(d≠0)的等差数列,且数列{cn}是“和等比数列”,试探究d与c1之间的等量关系.‎ 解 (1)数列{bn}为“和等比数列”,证明如下:‎ 因为数列{2bn}是首项为2,公比为4的等比数列,‎ 所以2bn=2·4n-1=22n-1,‎ 因此bn=2n-1.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=n2,T2n=4n2,‎ 所以=4,‎ 因此数列{bn}为“和等比数列”.‎ ‎(2)设数列{cn}的前n项和为Rn,且=k(k≠0).‎ 因为数列{cn}是等差数列,所以Rn=nc1+d,‎ R2n=2nc1+d,‎ 所以==k对于n∈N*都成立,‎ 化简,得(k-4)dn+(k-2)(2c1-d)=0,‎ 则 因为d≠0,所以k=4,d=2c1,‎ 因此d与c1之间的等量关系为d=2c1.‎