2019年高考数学练习题汇总高考解答题分项练(七) 4页

‎(七)数列(A)‎ ‎1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋an＝4，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)已知cn＝2n＋3(n∈N*)，记dn＝cn＋logC an(C>0且C≠1)，是否存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎(3)若对于数列{bn}及任意的正整数n，均有b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bna1＝n－成立，求证：数列{bn}是等差数列．‎ ‎(1)解　a1＝4－a1，所以a1＝2，‎ 由Sn＋an＝4，得当n≥2时，Sn－1＋an－1＝4，‎ 两式相减，得2an＝an－1，所以＝，‎ 数列{an}是以2为首项，为公比的等比数列，‎ 所以an＝22－n(n∈N*)．‎ ‎(2)解　由于数列{dn}是常数列，‎ dn＝cn＋logC an＝2n＋3＋(2－n)logC2‎ ‎＝2n＋3＋2logC2－nlogC2‎ ‎＝(2－logC2)n＋3＋2logC2为常数，‎ 则2－logC2＝0，‎ 由C>0且C≠1，‎ 解得C＝，此时dn＝7.‎ ‎(3)证明　b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bna1‎ ‎＝n－，①‎ 当n＝1时，b1a1＝－＝－1，‎ 其中a1＝2，所以b1＝－.‎ 当n≥2时，b1an－1＋b2an－2＋b3an－3＋…＋bn－1a1＝n－1－，②‎ ‎②式两边同时乘以，得 b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bn－1a2＝n－，③‎ 由①－③，得bna1＝，‎ 所以bn＝－－(n∈N*，n≥2)，‎ 且bn＋1－bn＝－，‎ 又b1＝－＝－－，‎ 所以数列{bn}是以－为首项，－为公差的等差数列．‎ ‎2．在数列{an}中，已知a1＝，an＋1＝an－，n∈N*，设Sn为{an}的前n项和．‎ ‎(1)求证：数列{3nan}是等差数列；‎ ‎(2)求Sn；‎ ‎(3)是否存在正整数p，q，r(p0，所以＋>，等式不成立．‎ ‎②当q＝2时，p＝1，所以＝＋，‎ 所以＝，‎ 所以r＝3({Sn}单调递减，解唯一确定)．‎ 综上可知，存在正整数p＝1，q＝2，r＝3，使得Sp，Sq，Sr成等差数列．‎ ‎3．设Sn为数列{an}的前n项和，若(n∈N*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．‎ ‎(1)若数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列{bn}是否为“和等比数列”，并给出证明；‎ ‎(2)若数列{cn}是首项为c1，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，试探究d与c1之间的等量关系．‎ 解　(1)数列{bn}为“和等比数列”，证明如下：‎ 因为数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，‎ 所以2bn＝2·4n－1＝22n－1，‎ 因此bn＝2n－1.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝n2，T2n＝4n2，‎ 所以＝4，‎ 因此数列{bn}为“和等比数列”．‎ ‎(2)设数列{cn}的前n项和为Rn，且＝k(k≠0)．‎ 因为数列{cn}是等差数列，所以Rn＝nc1＋d，‎ R2n＝2nc1＋d，‎ 所以＝＝k对于n∈N*都成立，‎ 化简，得(k－4)dn＋(k－2)(2c1－d)＝0，‎ 则 因为d≠0，所以k＝4，d＝2c1，‎ 因此d与c1之间的等量关系为d＝2c1.‎