2019年高考数学练习题汇总小题提速练（十） 6页

小题提速练(十)‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1．若复数z＝(1＋i)(3－ai)(其中i为虚数单位)为纯虚数，则实数a＝(　　)‎ A．3　　　　　　　　 B．－3‎ C．2 D．－2‎ 解析：选B.z＝(1＋i)(3－ai)＝3＋3i－ai＋a＝3＋a＋(3－a)i，∵z为纯虚数，∴∴a＝－3.‎ ‎2．已知集合M＝{0，1，3，5，7}，N＝{2，3，4，5}，P＝M∩N，则集合P的子集个数为(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ 解析：选A.P＝M∩N＝{3，5}，其子集个数为4.‎ ‎3．已知函数f(x)＝cos图象的一条对称轴为直线x＝，则实数ω的值不可能是(　　)‎ A．－2 B．4‎ C．12 D．16‎ 解析：选C.由题可得ω＋＝kπ，k∈Z，得ω＝－2＋6k，k∈Z，故令ω＝－2，得k＝0；令ω＝4，得k＝1；令ω＝16，得k＝3；令ω＝12，得k＝∉Z，故ω≠12.故选C.‎ ‎4．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(－2，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)‎ A．430 B．215‎ C．2 718 D．1 359‎ 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.‎ 解析：选B.不妨设X～N(－2，1)，所以阴影部分的面积S＝P(0≤X≤1)＝[P(－5＜X≤1)－P(－4＜X≤0)]＝(0.997 4－0.954 4)＝0.021 5.‎ 所以落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×0.021 5＝215.故选B.‎ ‎5．已知函数f(x)＝x4＋x2，函数g(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，则(　　)‎ A．f(g(x))是偶函数，不是周期函数 B．f(g(x))是偶函数，且是周期函数 C．f(g(x))是奇函数，不是周期函数 D．f(g(x))是奇函数，且是周期函数 通解：选B.∵函数f(x)＝x4＋x2是偶函数，‎ ‎∴f(－x)＝f(x)．‎ 令h(x)＝f(g(x))，则h(－x)＝f(g(－x))＝f(－g(x))＝f(g(x))＝h(x)，∴h(x)是偶函数，∵g(x＋2)＝g(x)，‎ ‎∴f(g(x＋2))＝f(g(x))，∴f(g(x))是周期函数，选B.‎ 优解：∵函数g(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，不妨设g(x)＝sin πx，则f(g(x))＝(sin πx)4＋(sin πx)2，∴f(g(x))是偶函数，f(g(x＋2))＝[sin π(x＋2)]4＋[sin π(x＋2)]2＝(sin πx)4＋(sin πx)2＝f(g(x))，‎ ‎∴f(g(x))是周期函数．‎ ‎6．有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A、B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为(　　)‎ A．6 B．18‎ C．20 D．24‎ 解析：选B.由题意知，∵B排第三名，从C、D、E中选一名排第一名有C种排法；余下的三位学生全排有A种，所以名次排列的种数为CA＝18.‎ ‎7．如图为一多面体的三视图，则此多面体的表面积是(　　)‎ A．22＋ B．23＋ C．22＋2 D．23＋2 解析：选A.根据题中三视图知，该多面体是从一个棱长为2的正方体的左上角截去一个直三棱柱后剩余的部分，因此表面积为6×22－1×1×2＋×1＝22＋.‎ ‎8．已知F1，F2是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是直线x＝上一点，△‎ F1PF2是顶角为θ的等腰三角形，若cos θ＝，则双曲线E的离心率为(　　)‎ A. B．2‎ C. D．3‎ 解析：选B.由题意知∠PF‎1F2＝θ或∠PF‎2F1＝θ，设直线x＝与x轴的交点为D，则D，因为△F1PF2是顶角为θ的等腰三角形，cos θ＝，若∠PF‎1F2＝θ，则有|F‎1F2|＝|PF1|＝‎2c，在Rt△PDF1中，|DF1|＝|PF1|cos θ，即c＋＝‎2c×，所以离心率e＝＝2；若∠PF‎2F1＝θ，则有|F‎1F2|＝|PF2|＝‎2c，在Rt△PDF2中，|DF2|＝|PF2|cos θ，即c－＝‎2c×，不合题意．综上，双曲线E的离心率为2.‎ ‎9．已知i为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中x－2的系数是(　　)‎ A．－21 B．21‎ C．－42 D．42‎ 解析：选C.第一次运行：‎ s＝1，i＝2；‎ 第二次运行：s＝3，i＝3；‎ 第三次运行：s＝7，i＝4；‎ 第四次运行：s＝15，i＝5；‎ 第五次运行：s＝31，i＝6；‎ 第六次运行：s＝63，i＝7；‎ 第七次运行：s＝127，不满足循环继续的条件，故输出的i＝7.‎ 所以二项式的展开式的通项为C(－1)r76－rx3－r，当r＝5时，得x－2的系数为－42.‎ ‎10．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选B.第一次摸出新球记为事件A，则P(A)＝，第二次取到新球记为事件B，则P(AB)＝＝，‎ ‎∴P(B|A)＝＝＝，故选B.‎ ‎11．已知M，N是双曲线－y2＝1上关于坐标原点O对称的点，P为双曲线上异于M，N的点，若直线PM的斜率的取值范围是，则直线PN的斜率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D.∪ 解析：选A.设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(m，n)(m≠±x0，n≠±y0)，则kPM＝，kPN＝.又P，M，N均在双曲线－y2＝1上，则－n2＝1，－y＝1，两式相减得－(n－y0)(n＋y0)＝0，·＝，即kPM·kPN＝，又≤kPM≤2，即≤≤2，解得≤kPN≤.故选A.‎ ‎12．若函数f(x)＝m－x2＋2ln x在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为(　　)‎ A．(1，e2－2] B． C. D．[1，＋∞)‎ 解析：选C.令f(x)＝m－x2＋2ln x＝0，则m＝x2－2ln x.‎ 令g(x)＝x2－2ln x，则g′(x)＝2x－＝，‎ ‎∴g(x)在上单调递减，在(1，e]上单调递增，‎ ‎∴g(x)min＝g(1)＝1，又g＝4＋，g(e)＝e2－2，4＋＜5，e2－2＞2.72－2＞5，∴g＜g(e)，数形结合知，若函数f(x)在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为，故答案选C.‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)‎ ‎13．已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－12，则＝________．‎ 解析：因为|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－12，所以向量a，b的夹角为180°，即a＝－b，又a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，∴x1＝－x2，y1＝－y2.所以＝－.‎ 答案：－ ‎14．随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．‎ 解：设P(ξ＝1)＝p，则ξ的分布列如下：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P p －p 由E(ξ)＝1，得p＋2＝1，可得p＝，所以D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.‎ 答案： ‎15．如图，点A的坐标为(1，0)，函数y＝ax2过点C(2，4)，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．‎ 解析：因为函数y＝ax2过点C(2，4)，所以a＝1，即y＝x2，又A(1，0)，所以S矩形ABCD＝4，阴影部分的面积S1＝4－x2dx＝4－x3|＝4－(23－13)＝，所以在矩形ABCD内随机取一点，此点取自阴影部分的概率P＝＝.‎ 答案： ‎16．在△ABC中，A＝，BC＝3，D是BC的一个三等分点，则AD的最大值是________．‎ 解析：如图所示，以BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，不妨令D.设△ABC的外接圆圆心为M，半径为R，则2R ‎＝，∴R＝.‎ ‎∵|MA|＝|MB|＝|MC|＝R，∴M，∴点A在圆x2＋＝3上，‎ ‎∴|AD|max＝|MD|＋R＝＋＝1＋，故AD的最大值是＋1.‎ 答案：＋1‎