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  • 2021-06-12 发布

2019年高考数学练习题汇总高考模拟试卷(一)(1)

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高考模拟试卷(一)‎ ‎(时间:120分钟 满分:150分)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共40分)‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知全集U=R,A={y|y=2x+1},B={x|ln x<0},则(∁UA)∩B等于(  )‎ A.∅ B.{x|01},所以∁UA={x|x≤1},又因为B={x|00),则向量a,b的夹角可能是(  )‎ A.π B.π C.π D.π 答案 B 解析 如图,向量a与x轴正半轴夹角为,若向量b=(t>0)的起点为原点,则其终点在射线y=(x-1)tan (x>1)上,故向量a,b的夹角的取值范围为.故选B.‎ ‎10.已知函数f(x)=,x∈[0,1],函数g(x)=asin x-2a+2(a>0),若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 当x∈[0,1]时,f(x)=的值域是[0,1],‎ g(x)=asin x-2a+2(a>0)的值域是,‎ 因为存在x1,x2∈[0,1]使得f(x1)=g(x2)成立,‎ 所以[0,1]∩≠∅,‎ 若[0,1]∩=∅,则2-2a>1或2-a<0,‎ 即a<或a>,所以a的取值范围是,故选A.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)‎ 二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.把答案填在题中横线上)‎ ‎11.已知复数z=1+2i,其中i为虚数单位,则=________,=________.‎ 答案 1-2i 1‎ 解析 =1-2i,==1.‎ ‎12.设等比数列{an}的首项a1=1,且4a1,2a2,a3成等差数列,则公比q=________;数列{an}的前n项和Sn=__________.‎ 答案 2 2n-1‎ 解析 由4a1,2a2,a3成等差数列得4a2=4a1+a3,即4q=4+q2,解得q=2,Sn=1·=2n-1.‎ ‎13.已知圆C的方程为x2+y2-6x-8y=0,则圆C的半径是________;圆C关于直线l:x-y-1=0对称的圆的方程是______________________________.‎ 答案 5 (x-5)2+(y-2)2=25‎ 解析 由圆C的方程为(x-3)2+(y-4)2=25得圆心坐标为(3,4),半径为5,圆心(3,4)关于直线l:x-y-1=0的对称点的坐标为(5,2),所以圆C关于直线l:x-y-1=0对称的圆的方程是(x-5)2+(y-2)2=25.‎ ‎14.已知函数f(x)=则f(f(-1))=________;若函数y=f(x)-a有一个零点,则a的取值范围是____________.‎ 答案 2  解析 f(-1)=-1-1=1,则f(f(-1))=f(1)=2,由f(x)=2x2-ln x得f′(x)=4x-=,因此y=f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,故f(x)极小值=f =+ln 2,函数y=f(x)的图象如图所示,当x>0时,f(x)min=f(x)极小值,所以当a∈时,函数y=f(x)-a有一个零点.‎ ‎15.将3个1,11个0排成一列,使得每两个1之间至少隔着两个0,则共有________种不同的排法.‎ 答案 120‎ 解析 符合条件的排列中,3个1将11个0分成四段,设每一段分别有x1,x2,x3,x4个0,则x1≥0,x2≥2,x3≥2,x4≥0且x1+x2+x3+x4=11,令x2′=x2-2,x3′=x3-2,则x1+x2′+x3′+x4=7.因此原问题等价于求方程x1+x2′+x3′+x4=7的自然数解的组数,将7个1与3块隔板进行排列,其排列数即对应方程自然数解的组数,所以方程共有C=120组自然数解,故共有120种不同的排法.‎ ‎16.设a,b为正实数,则+的最小值是________.‎ 答案 2-2‎ 解析 令显然x,y>0,则所以+=+=+-2≥2-2,当且仅当x=y,即a=b时,等号成立.‎ ‎17.如图,平面ABC⊥α,且平面ABC∩α=BC,AB=1,BC=,∠ABC=π,平面α内一动点P满足∠PAB=,则PC的最小值是________.‎ 答案  解析 如图,因为射线AP的轨迹为以AB为轴,母线与轴夹角为的圆锥面,且平面α平行于该圆锥面的一条母线,所以平面α截该圆锥面所得的截线即P点的轨迹为以BC 为对称轴的抛物线.以BC为x轴,抛物线的顶点为原点O建立直角坐标系,则△AOB为底角为的等腰三角形,所以OB=AB=,当PB⊥平面ABC时,PB=AB·tan=,此时点P的坐标为,因此抛物线的方程为y2=x,点C的坐标为,所以抛物线上的点到点C的距离的平方为2+y2=x2-x+=2+,故PC的最小值是.‎ 三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎18.(14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A,B,C的度数成等差数列,b=.‎ ‎(1)若3sin C=4sin A,求c的值;‎ ‎(2)求a+c的最大值.‎ 解 (1)由角A,B,C的度数成等差数列,得2B=A+C.‎ 又A+B+C=π,所以B=.‎ 由正弦定理,得3c=4a,即a=.‎ 由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,‎ 即13=2+c2-2××c×,解得c=4.‎ ‎(2)由正弦定理,得====,‎ 所以a=sin A,c=sin C.‎ 所以a+c=(sin A+sin C)=[sin A+sin(A+B)]‎ ‎===2sin.‎ 由0<A<,得<A+<.‎ 所以当A+=,‎ 即A=时,(a+c)max=2.‎ ‎19.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,点E是PC的中点,F是AB的中点.‎ ‎(1)求证:BE∥平面PDF;‎ ‎(2)求直线BE与平面PAD所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明 取PD的中点为M,连接ME,MF.‎ ‎∵E是PC的中点,‎ ‎∴ME是△PCD的中位线,‎ ‎∴ME∥CD且ME=CD.‎ ‎∵F是AB的中点且ABCD是菱形,AB∥CD且AB=CD,‎ ‎∴ME∥AB且ME=AB.‎ ‎∴ME∥FB且ME=FB.‎ ‎∴四边形MEBF是平行四边形,∴BE∥MF.‎ 又BE⊄平面PDF,MF⊂平面PDF,‎ ‎∴BE∥平面PDF.‎ ‎(2)解 由(1)得BE∥MF,‎ ‎∴直线BE与平面PAD所成角就是直线MF与平面PAD所成角.‎ 取AD的中点G,连接BD,BG.‎ ‎∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,‎ ‎∴△ABD是正三角形,‎ ‎∴BG⊥AD,‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,PA⊂平面PAD,‎ ‎∴平面PAD⊥平面ABCD,‎ 且平面PAD∩平面ABCD=AD,BG⊥AD,BG⊂平面ABCD,‎ ‎∴BG⊥平面PAD,‎ 过F作FH∥BG,交AD于H,则FH⊥平面PAD,连接MH,则∠FMH就是MF与平面PAD所成的角.‎ 又F是AB的中点,‎ ‎∴H是AG的中点.‎ 连接MG,又M是PD的中点,‎ ‎∴MG∥PA且MG=PA.‎ 在Rt△MGH中,MG=PA=,GH=AD=,‎ ‎∴MH=.‎ 在正三角形ABD中,BG=,‎ ‎∴FH=BG=.‎ 在Rt△MHF中,‎ MF==,‎ ‎∴sin∠FMH===,‎ ‎∴直线BE与平面PAD所成角的正弦值为.‎ ‎20.(15分)已知函数f(x)=5x2++(x>0),g(x)=ln x+4,曲线y=g(x)在点(1,4)处的切线与曲线y=f(x)相切.‎ ‎(1)求实数a的值;‎ ‎(2)证明:当x>0时,f(x)>g(x).‎ ‎(1)解 由g′(x)=得g′(1)=1,所以曲线y=g(x)在点(1,4)处的切线方程为y=x+3.‎ 设曲线y=f(x)与直线y=x+3切于点(x0,y0),‎ 由得 解得 ‎(2)证明 令F(x)=f(x)-(x+3)=5x2+-x-,‎ 则F′(x)=10x--1=,‎ 令F′(x)>0,解得x>,令F′(x)<0,‎ 解得00时,F(x)≥F=0,‎ 因此当x>0时,f(x)≥x+3,当且仅当x=时等号成立.‎ 令G(x)=(x+3)-g(x)=x-1-ln x,‎ 则G′(x)=1-=,‎ 令G′(x)>0,解得x>1,‎ 令G′(x)<0,解得00时,G(x)≥G(1)=0,‎ 因此当x>0时,x+3≥g(x),当且仅当x=1时等号成立.‎ 因为f(x)≥x+3,x+3≥g(x),且等号成立的条件不同,所以f(x)>g(x).‎ ‎21.(15分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,以椭圆的2 个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为2.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)如图,斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F,且与椭圆交于A,B两点,以线段AB为直径的圆截直线x=1所得的弦的长度为,求直线l的方程.‎ 解 (1)由椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,‎ 得c=a,b=a,‎ 由S=·2c·b=a2=2,得a=,b=,‎ 所以椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)由(1)知,焦点F坐标为(2,0),‎ 设直线lAB:y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0).‎ 联立方程 得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0,‎ x1+x2=,x1x2=,‎ 所以x0==,‎ ‎|AB|=·|x1-x2|=·=.‎ 点M到直线x=1的距离为d=|x0-1|==.‎ 由以线段AB为直径的圆截直线x=1所得的弦的长度为得,2-d2=2,‎ 所以2-2=2,‎ 解得k=±1,‎ 所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2.‎ ‎22.(15分)设数列{an}满足a1=,an+1=an+,n∈N*.‎ ‎(1)求a2,a3;‎ ‎(2)证明:数列{an}为递增数列;‎ ‎(3)证明:≤an≤,n∈N*.‎ ‎(1)解 a2=a1+=+=,‎ a3=a2+=+2=.‎ ‎(2)证明 ①当n=1时,a1=>0;‎ ‎②假设当n=k时,ak>0,‎ 当n=k+1时,ak+1=ak+>0;‎ 由①②得an>0,n∈N*.‎ 所以an+1-an=>0,即an+1>an,‎ 所以数列为递增数列.‎ ‎(3)证明 由0,‎ 故an+1-an=>,‎ 所以->≥=-,‎ 因此-≥1-,故an≥.‎ 所以≤an≤.‎