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  • 2021-06-15 发布

2019年高考数学练习题汇总高考解答题仿真练1

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高考解答题仿真练1‎ ‎1.已知向量m=(cos x,1),n=,f(x)=m·n.‎ ‎(1)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间;‎ ‎(2)在△ABC中,若角A,B,C的对边分别是a,b,c,且f(B)=,sin Asin C=sin2B,求a-c的值.‎ 解 由题意得,f(x)=cos xsin+1‎ ‎=cos x+1‎ ‎=sin 2x-×+1‎ ‎=sin 2x-cos 2x+ ‎=sin+.‎ ‎(1)由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,‎ 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,‎ 又x∈[0,π],‎ ‎∴f(x)在[0,π]上的单调递增区间是和.‎ ‎(2)由f(B)=sin+=,‎ 得sin=1.‎ 又B是△ABC的内角,∴2B-=,B=.‎ 又sin Asin C=sin2B,∴由正弦定理可得ac=b2.‎ 在△ABC中,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,‎ 可得ac=(a-c)2+2ac-ac,则a-c=0.‎ ‎2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,平面ABP⊥平面BCP,∠APB=90°,BP=BC,M为PC的中点.求证:‎ ‎(1)AP∥平面BDM;‎ ‎(2)BM⊥平面ACP.‎ 证明 (1)设AC∩BD=O,连结OM,‎ 因为ABCD是平行四边形,‎ 所以O为AC的中点.‎ 因为M为PC的中点,所以AP∥OM.‎ 又因为AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,‎ 所以AP∥平面BDM.‎ ‎(2)因为∠APB=90°,所以AP⊥BP.‎ 又因为平面ABP⊥平面BCP,平面ABP∩平面BCP=BP,AP⊂平面ABP,‎ 所以AP⊥平面BCP.‎ 又因为BM⊂平面BCP,所以AP⊥BM.‎ 因为BP=BC,M为PC的中点,所以BM⊥CP.‎ 又因为AP∩CP=P,AP,CP⊂平面ACP,‎ 所以BM⊥平面ACP.‎ ‎3.如图,半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图,半径OA的长为1百米.为了保护景点,基地管理部门从道路l上选取一点C,修建参观线路C-D-E-F,且CD,DE,EF均与半圆相切,四边形CDEF是等腰梯形.设DE=t百米,记修建每1百米参观线路的费用为f(t)万元,经测算f(t)= ‎(1)用t表示线段EF的长;‎ ‎(2)求修建该参观线路的最低费用.‎ 解 设DE与半圆相切于点Q,则由四边形CDEF是等腰梯形知,OQ⊥l,DQ=QE.‎ 以O为坐标原点,OF所在直线为x轴,OQ所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy.‎ ‎(1)由题意,得点E的坐标为.‎ 设直线EF的方程为y-1=k(k<0),‎ 即kx-y+1-=0.‎ 因为直线EF与半圆相切,‎ 所以圆心O到直线EF的距离为=1,‎ 解得k=. ‎ 代入y-1=k,可得点F的坐标为.‎ 所以EF==+,‎ 即EF=+(00,‎ 所以当t∈时,y′<0,当t∈(1,2)时,y′>0,‎ 所以y在上单调递减;在(1,2)上单调递增.‎ 所以当t=1时,y取最小值24.5.‎ 由①②知,修建该参观线路的最低费用为24.5 万元.‎ ‎4.(2018·江苏金陵中学调研)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且过点.设F为椭圆的右焦点,A,B为椭圆上关于原点对称的两点,连结AF,BF并延长,分别交椭圆于C,D两点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设直线AB,CD的斜率分别为k1,k2,是否存在实数m,使得k2=mk1?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.‎ 解 (1)设椭圆的半焦距为c,‎ 则c=,‎ 由题意知 解得所以椭圆的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)①当AF⊥x轴时,A,B,‎ C,F(,0).‎ 则kBF=,直线BD的方程为y=(x-).‎ 由消去y,‎ 得13x2-2x-45=0,‎ 因为x=-是该方程的一个解,‎ 所以点D的横坐标xD=,‎ 则yD=,即D.‎ 所以k2==,‎ 又k1=,所以k2=7k1,即m=7.‎ ‎②当AF与x轴不垂直时,‎ 设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),k1=,‎ 又F(,0),‎ 所以直线AF的方程为y=(x-).‎ 由消去y,‎ 得(7-2x0)x2-8yx -7x+8x0=0.‎ 因为x=x0是该方程的一个解,‎ 所以点C的横坐标xC=.‎ 又点C(xC,yC)在直线y=(x-)上,‎ 所以yC=(xC-)=,‎ 从而点C的坐标为,‎ 同理,点D的坐标为,‎ 所以k2= ==7k1,即m=7.‎ 综合①②可知,存在m=7,使得k2=7k1.‎ ‎5.已知函数f(x)=xln x,g(x)=λ(x2-1)(λ为常数).‎ ‎(1)若函数y=f(x)与函数y=g(x)在x=1处有相同的切线,求实数λ的值;‎ ‎(2)若λ=,且x≥1,证明:f(x)≤g(x);‎ ‎(3)若对任意x∈[1,+∞),不等式f(x)≤g(x)恒成立,求实数λ的取值范围.‎ ‎(1)解 f′(x)=ln x+1,则f′(1)=1且f(1)=0,‎ 所以函数y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1,‎ 从而g′(1)=2λ=1,即λ=.‎ ‎(2)证明 设函数h(x)=xln x-(x2-1),x∈[1,+∞),‎ 则h′(x)=ln x+1-x.‎ 设p(x)=ln x+1-x,从而p′(x)=-1≤0对任意x∈[1,+∞)恒成立,‎ 所以p(x)=ln x+1-x≤p(1)=0,即h′(x)≤0,‎ 因此函数h(x)=xln x-(x2-1)在[1,+∞)上单调递减,‎ 即h(x)≤h(1)=0,所以当x≥1时,f(x)≤g(x)成立.‎ ‎(3)解 设函数H(x)=xln x-λ(x2-1),x∈[1,+∞),‎ 从而对任意x∈[1,+∞),不等式H(x)≤0=H(1)恒成立.‎ 又H′(x)=ln x+1-2λx,‎ 当H′(x)=ln x+1-2λx≤0,即≤2λ恒成立时,函数H(x)单调递减.‎ 设r(x)=,x∈[1,+∞),‎ 则r′(x)=≤0,‎ 所以r(x)max=r(1)=1,即2λ≥1,‎ 所以λ≥,符合题意;‎ 当λ≤0时,H′(x)=ln x+1-2λx≥0恒成立,此时函数H(x)单调递增.‎ 于是,不等式H(x)≥H(1)=0对任意x∈[1,+∞)恒成立,不符合题意;‎ 当0<λ<时,设q(x)=H′(x)=ln x+1-2λx,x≥1,‎ 则由q′(x)=-2λ=0,得x=>1.‎ 当x∈时,q′(x)=-2λ>0,‎ 此时q(x)=H′(x)=ln x+1-2λx单调递增,‎ 所以H′(x)=ln x+1-2λx>H′(1)=1-2λ>0,‎ 故当x∈时,函数H(x)单调递增.‎ 于是当x∈时,H(x)>0成立,不符合题意.‎ 综上所述,实数λ的取值范围为.‎ ‎6.(2018·苏州调研)已知等差数列{an}的前2m-1项中,奇数项的和为56,偶数项的和为48,且a2=3(其中m∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若ak1,ak2,…,akn,…是一个等比数列,其中k1=1,k2=5,求数列{kn}的通项公式;‎ ‎(3)若存在实数a,b,使得a≤≤b对任意n∈N*恒成立,求b-a的最小值.‎ 解 (1)由题意,·m=56,‎ ·(m-1)=48,‎ 因为a2+a2m-2=a1+a2m-1,‎ 所以=,解得m=7.‎ 所以a1+a13=16,‎ 因为a1+a13=a2+a12,且a2=3,‎ 所以a12=13.‎ 设数列{an}的公差为d,则10d=a12-a2=10,‎ 所以d=1.‎ 所以a1=2,通项公式an=n+1(n∈N*).‎ ‎(2)由题意,ak1=a1=2,ak2=a5=6,‎ 设这个等比数列的公比为q,则q==3.‎ 那么akn=2×3n-1,‎ 另一方面akn=kn+1,所以kn=2×3n-1-1(n∈N*).‎ ‎(3)记cn==,‎ 则cn+1-cn=- =.‎ 因为n∈N*,‎ 所以当n≥2时,-2n2+2n+3=-2n(n-1)+3<0,‎ 即cn+10,‎ 所以当n=2时,cn取最大值c2=,‎ 所以b≥.‎ 又c1=0,当n>1时,cn>0,‎ 所以当n=1时,cn取最小值c1=0,所以a≤0.‎ 综上,b-a的最小值为.‎