2019年高考数学练习题汇总解答题滚动练1(A) 6页

解答题滚动练 解答题滚动练1(A)‎ ‎1.如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，∠EDF＝90°，∠BDE＝θ(0°<θ<90°).‎ ‎(1)当tan∠DEF＝时，求θ的大小；‎ ‎(2)求△DEF的面积S的最小值及使得S取最小值时θ的值.‎ 解　(1)在△BDE中，由正弦定理得DE＝＝，‎ 在△ADF中，由正弦定理得DF＝＝. ‎ 由tan∠DEF＝，得＝，‎ 整理得tan θ＝，‎ 所以θ＝60°.‎ ‎(2)S＝DE·DF＝＝ ‎＝＝.‎ 当θ＝45°时，S取最小值＝.‎ ‎2.(2018·四川省南充高级中学考前模拟)已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是，，，，女生闯过一至四关的概率依次是，，，.‎ ‎(1)求男生闯过四关的概率；‎ ‎(2)设ξ表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量ξ的分布列和期望.‎ 解　(1)记男生四关都闯过为事件A，则P(A)＝×××＝.‎ ‎(2)记女生四关都闯过为事件B，‎ 则P(B)＝×××＝，‎ 因为P(ξ＝0)＝2×2＝，‎ P(ξ＝1)＝C×××2＋C×××2＝，‎ P(ξ＝2)＝C×2×2＋C×2×2＋C×××C××＝，‎ P(ξ＝3)＝C×××2＋C×××2＝，‎ P(ξ＝4)＝2×2＝，‎ 所以ξ的分布列如下：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝＝.‎ ‎3.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2(t∈R).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求数列的前n项和Tn.‎ 解　(1)因为a1＝S1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2，‎ 所以(t＋1)S1＝a＋3a1＋2，所以t＝5.‎ 所以6Sn＝a＋3an＋2.①‎ 当n≥2时，有6Sn－1＝a＋3an－1＋2，②‎ ‎①－②得6an＝a＋3an－a－3an－1，‎ 所以(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0，‎ 因为an>0，所以an－an－1＝3，‎ 又因为a1＝1，‎ 所以{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，‎ 所以an＝3n－2(n∈N*).‎ ‎(2)因为bn＋1－bn＝an＋1，b1＝1，‎ 所以bn－bn－1＝an(n≥2，n∈N*)，‎ 所以当n≥2时，‎ bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1‎ ‎＝an＋an－1＋…＋a2＋b1＝.‎ 又b1＝1也适合上式，所以bn＝(n∈N*).‎ 所以＝＝·＝·，‎ 所以Tn＝·＝·＝.‎ ‎4.(2018·宜昌调研)如图，N(1，0)是圆M：(x＋1)2＋y2＝16内一个定点，P是圆上任意一点.线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q.‎ ‎(1)当点P在圆上运动时，点Q的轨迹E是什么曲线？并求出其轨迹方程；‎ ‎(2)过点G(0，1)作直线l与曲线E交于A，B两点，点A关于原点O的对称点为D，求△ABD的面积S的最大值.‎ 解　(1)由题意得|QM|＋|QN|＝|QM|＋|QP|＝|MP|＝4>2＝|MN|，‎ 根据椭圆的定义，得点Q的轨迹E是以M，N为焦点的椭圆，‎ ‎∴a＝2，c＝1，∴b＝.∴轨迹方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意知S△ABD＝2S△ABO＝2××|AB|·d ‎＝d|AB|(d为点O到直线l的距离)，‎ 由题意知，直线l的斜率存在，‎ 设l的方程为y＝kx＋1，联立 消去y，得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.‎ Δ＝64k2＋32(3＋4k2)＝192k2＋96>0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝， ‎ 则|AB|＝·＝，‎ 又d＝，∴S△ABD＝d＝，‎ 令＝t，由k2≥0，得t≥1，‎ ‎∴S△ABD＝＝，t≥1，易证y＝2t＋在[1，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴2t＋≥3，S△ABD≤，∴△ABD面积S的最大值为.‎ ‎5.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，D，E分别为边AC，AB的中点，点F，G分别为线段CD，BE的中点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使∠A1DC＝60°.点Q为线段A1B上的一点，如图2.‎ ‎　‎ ‎(1)求证：A1F⊥BE；‎ ‎(2)线段A1B上是否存在点Q，使得FQ∥平面A1DE？若存在，求出A1Q的长，若不存在，请说明理由；‎ ‎(3)当＝时，求直线GQ与平面A1DE所成角的大小.‎ ‎(1)证明　因为A1D＝DC，∠A1DC＝60°，‎ 所以△A1DC为等边三角形.‎ 又因为点F为线段CD的中点，所以A1F⊥DC.‎ 由题可知ED⊥A1D，ED⊥DC，A1D∩DC＝D，A1D，DC⊂平面A1DC，‎ 所以ED⊥平面A1DC.‎ 因为A1F⊂平面A1DC，所以ED⊥A1F.‎ 又ED∩DC＝D，ED，DC⊂平面BCDE，‎ 所以A1F⊥平面BCDE.‎ 所以A1F⊥BE.‎ ‎(2)解　由(1)知，A1F⊥平面BCDE，FG⊥DC，如图，建立空间直角坐标系，则F(0，0，0)，D(0，－1，0)，C(0，1，0)，E(1，－1，0)，A1(0，0，)，B(2，1，0).‎ 设平面A1DE的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ ＝(0，－1，－)，＝(1，0，0)，‎ 所以　即 令z＝1，则y＝－，所以n＝(0，－，1).‎ 假设在线段A1B上存在点Q，使得FQ∥平面A1DE.‎ 设＝λ，λ∈(0，1).‎ 又＝(2，1，－)，所以＝(2λ，λ，－λ).‎ 所以Q(2λ，λ，－λ).则＝(2λ，λ，－λ).‎ 所以·n＝－λ＋－λ＝0，‎ 解得λ＝.‎ 所以在线段A1B上存在中点Q，使FQ∥平面A1DE，‎ 且A1Q＝.‎ ‎(3)解　因为＝，又＝(2，1，－)，‎ 所以＝.所以Q.‎ 又因为G，所以＝.‎ 因为n＝(0，－，1)，设直线GQ与平面A1DE所成的角为θ，‎ 则sin θ＝＝＝.‎ 所以直线GQ与平面A1DE所成的角为30°.‎ ‎6.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(α为参数)，以该直角坐标系的原点O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ－ρcos θ＋m＝0.‎ ‎(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P(m，0)，直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA||PB|＝1，求实数m的值.‎ 解　(1)由得(x－1)2＋y2＝2，‎ 故曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝2.‎ 直线l的直角坐标方程为y－x＋m＝0，‎ 即y＝.‎ ‎(2)直线l的参数方程可以写为(t为参数).‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程2＋y2＝2，可以得到2＋2＝2，‎ 即t2 ＋(m－1)t＋(m－1)2－2＝0，‎ Δ＝3(m－1)2－4[(m－1)2－2]＝－m2＋2m＋7.‎ 所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|(m－1)2－2|＝1，‎ 即|m2－2m－1|＝1，‎ 所以m2－2m－2＝0或m2－2m＝0，‎ 解得m＝1±或m＝0或m＝2.‎ 经检验，均可使Δ>0.‎ ‎∴实数m的值为1＋或1－或0或2.‎