2019年高考数学练习题汇总(一)几何证明选讲 3页

‎(一)几何证明选讲 ‎1.如图，O是△ABC外接圆的圆心，∠ACB＝54°，求∠ABO的值．‎ 解　连结OA，因为O是圆心，所以∠AOB＝2∠ACB，‎ 所以∠ABO＝(180°－∠AOB)‎ ‎＝(180°－2∠ACB)‎ ‎＝90°－∠ACB＝90°－54°＝36°.‎ ‎2.如图，已知A，B，C是圆O上的三点，BE切圆O于点B，D是CE与圆O的交点，若∠BAC＝60°，BE＝2，BC＝4，求线段CD的长．‎ 解　因为BE切圆O于点B，所以∠CBE＝∠BAC＝60°.‎ 因为BE＝2，BC＝4，由余弦定理得EC＝2.‎ 又BE2＝EC·ED，所以DE＝，‎ 所以CD＝EC－ED＝2－＝.‎ ‎3．如图，已知点C在圆O的直径AB的延长线上，CD是圆O的一条切线，D为切点，点D在AB上的射影是点E，CB＝3BE.‎ 求证：(1)DB是∠CDE的平分线；‎ ‎(2)AE＝2EB.‎ 证明　(1)连结AD，∵AB是圆O的直径，‎ ‎∴∠DAB＋∠DBA＝90°，‎ ‎∵DE⊥AB，∴∠BDE＋∠DBA＝90°，‎ ‎∴∠DAB＝∠BDE，‎ ‎∵CD切圆O于点D，‎ ‎∴∠CDB＝∠DAB，‎ ‎∴∠BDE＝∠CDB，‎ ‎∴DB是∠CDE的平分线．‎ ‎(2)由(1)可得DB是∠CDE的平分线，‎ ‎∴＝＝3，即CD＝3DE.‎ 设BE＝m(m>0)，DE＝x(x>0)，则CB＝3m，CD＝3x，‎ 在Rt△CDE中，‎ 由勾股定理可得(3x)2＝x2＋(4m)2，则x＝m，‎ 由切割线定理得CD2＝CB·CA，(3m)2＝3m·CA，‎ CA＝6m，AB＝3m，AE＝2m，‎ 则AE＝2EB.‎ ‎4．(2018·江苏海安中学质检)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切于点D，E，F，连结AD，与内切圆相交于另一点P，连结PC，PE，PF，已知PC⊥PF，‎ 求证：(1)＝；(2)PE∥BC.‎ 证明　(1)连结DE，‎ 则△BDF是等腰直角三角形，‎ 于是∠FPD＝∠FDB＝45°，‎ 故∠DPC＝45°.‎ 又∠PDC＝∠PFD，则△PFD∽△PDC，‎ 所以＝.①‎ ‎(2)由∠AFP＝∠ADF，∠AEP＝∠ADE，‎ 知△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE.‎ 于是，＝＝＝.‎ 故由①得＝，②‎ 由∠EPD＝∠EDC，结合②得，△EPD∽△EDC，‎ 从而△EPD也是等腰三角形．‎ 于是，∠PED＝∠EPD＝∠EDC，所以PE∥BC.‎