2013年上海市黄浦区高考理科数学模拟卷答案 4页

上海市黄浦区2013届高三一模数学试题（理科）‎ 参考答案 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1．；　2．2；　3．； 4．3；　5．36；　6．； 　7．；　 8．；　‎ ‎9．； 10．；　11．； 12．； 13．；　14．．‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎15．A 16．D 17．B 18． C 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．‎ 解：（1）连，由、分别为线段、的中点，‎ 可得∥，故即为异面直线与所成的角． …………………2分 在正方体中，∵平面， ‎ 平面，∴，‎ 在△中，，，‎ ‎∴，∴ ．‎ 所以异面直线EF与BC所成的角为．……… 6分 ‎（2）在正方体中，由平面，平面，‎ 可知，∵，是中点，‎ ‎∴，又与相交，∴平面， …………………………9分 又， ‎ 故，‎ 所以三棱锥的体积为． ……………………………………12分 ‎20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．‎ 解：（1）A、B、C成等差数列，∴‎ 又,∴，　　　　　　　　　　　　　 …………………………2分 ‎ 由得，，∴① ………………………4分 又由余弦定理得 ‎∴，∴　 ② ………………………6分 由①、②得， 　……………………………………8分 ‎（2）由（1）得，∴，即，‎ 故= ……………………………10分 ‎=， …………………………12分 由且，可得，∴， ‎ 即，∴的取值范围为．　 …………………………14分 ‎21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．‎ 解：（1）由△NDC∽△NAM，可得，‎ ‎∴，即，……………………3分 故， ………………………5分 由且，可得，解得，‎ 故所求函数的解析式为，定义域为． …………………………………8分 ‎（2）令，则由，可得，‎ 故 …………………………10分 ‎， …………………………12分 当且仅当，即时．又，故当时，取最小值96．‎ 故当的长为时，矩形的面积最小，最小面积为平方米． …………14分 ‎22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．‎ 解：（1）由题意知，且，可得，‎ 故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为． ………………4分 ‎（2）由题意，可设，则有，‎ 又A点坐标为，故，‎ 故 ‎, …………………………8分 又，故， ‎ 所以的取值范围是． …………………………10分 ‎（3）设，则．‎ 当时，，则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有．‎ 当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为，‎ 则的方程为，代入椭圆方程可得 ‎，即，‎ 由， …………………………13分 可得，其中， ‎ 设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，‎ 故，即．‎ 综上可知，对于椭圆上的任意点，都有．　…… …………………………16分 ‎23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．‎ 解：（1）由题意知恒成立，令，‎ 可得，∴是公差为1的等差数列，‎ 故，又，故． ………………………………3分 ‎（2）当时，，令，可得，‎ 解得，即时，， ………………………4分 ‎ 故在上的取值范围是． ‎ 又是的一个“P数对”，故恒成立， ‎ 当时，，‎ ‎…， …………………6分 ‎ 故为奇数时，在上的取值范围是； ‎ 当为偶数时，在上的取值范围是． …………………8分 所以当时，在上的最大值为，最小值为3；‎ 当为不小于3的奇数时，在上的最大值为，最小值为；‎ 当为不小于2的偶数时，在上的最大值为，最小值为．………10分 ‎（3）由是的一个“类P数对”，可知恒成立，‎ 即恒成立，令，可得，‎ 即对一切恒成立，‎ 所以…，‎ 故． …………………………………14分 若，则必存在，使得， ‎ 由是增函数，故，‎ 又，故有．…………………………………18分