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- 2021-06-15 发布
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高中数学难点 14 数列综合应用问题
纵观近几年的高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方
程、不等式、复数相联系,而且还与三角、立体几何密切相关;数列作为特殊的函数,在实
际问题中有着广泛的应用,如增长率,减薄率,银行信贷,浓度匹配,养老保险,圆钢堆垒
等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外,还要善于观察题设的特征,联想有关数
学知识和方法,迅速确定解题的方向,以提高解数列题的速度.
●难点磁场
(★★★★★)已知二次函数 y=f(x)在 x= 2
2t 处取得最小值-
4
2t (t>0),f(1)=0.
(1)求 y=f(x)的表达式;
(2)若任意实数 x 都满足等式 f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]为多项式,n∈N*),试用 t 表
示 an 和 bn;
(3)设圆 Cn 的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn
2,圆 Cn 与 Cn+1 外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是
正数的等比数列,记 Sn 为前 n 个圆的面积之和,求 rn、Sn.
●案例探究
[例 1]从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅
游产业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少
5
1 ,本年度当地旅游
业收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会
比上年增加
4
1 .
(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an,bn 的
表达式;
(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?
命题意图:本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运
用数学知识解决实际问题的能力,本题有很强的区分度,属于应用题型,正是近几年高考的
热点和重点题型,属★★★★★级题目.
知识依托:本题以函数思想为指导,以数列知识为工具,涉及函数建模、数列求和、不
等式的解法等知识点.
错解分析:(1)问 an、bn 实际上是两个数列的前 n 项和,易与“通项”混淆;(2)问是既
解一元二次不等式又解指数不等式,易出现偏差.
技巧与方法:正确审题、深刻挖掘数量关系,建立数量模型是本题的灵魂,(2)问中指
数不等式采用了换元法,是解不等式常用的技巧.
解:(1)第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800×(1-
5
1 )万元,…第 n 年投入为 800
×(1-
5
1 )n-1 万元,所以,n 年内的总投入为
an=800+800×(1- )+…+800×(1- )n-1=
n
k 1
800×(1-
5
1 )k-1
=4000×[1-( 5
4 )n]
第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400×(1+ 4
1 ),…,第 n 年旅游业
收入 400×(1+ )n-1 万元.所以,n 年内的旅游业总收入为
bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )k-1=
n
k 1
400×( 4
5 )k-1.
=1600×[( 4
5 )n-1]
(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an>0,即:
1600×[( )n-1]-4000×[1-( 5
4 )n]>0,令 x=( 5
4 )n,代入上式得:5x2-7x+2>
0.解此不等式,得 x<
5
2 ,或 x>1(舍去).即( 5
4 )n< ,由此得 n≥5.
∴至少经过 5 年,旅游业的总收入才能超过总投入.
[例 2]已知 Sn=1+ 3
1
2
1 +…+ n
1 ,(n∈N*)设 f(n)=S2n+1-Sn+1,试确定实数 m 的取值范围,
使得对于一切大于 1 的自然数 n,不等式:f(n)>[logm(m-1)]2-
20
11 [log(m-1)m]2 恒成
立.
命题意图:本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题,需较强的综合分析问
题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托:本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起,构思巧妙.
错解分析:本题学生很容易求 f(n)的和,但由于无法求和,故对不等式难以处理.
技巧与方法:解决本题的关键是把 f(n)(n∈N*)看作是 n 的函数,此时不等式的恒成立
就转化为:函数 f(n)的最小值大于[logm(m-1)]2-
20
11 [log(m-1)m]2.
解:∵Sn=1+ 3
1
2
1 +…+ n
1 .(n∈N*)
0)42
1
32
1()42
1
22
1(
42
2
32
1
22
1
2
1
32
1
22
1)()1(
12
1
3
1
2
1)( 112
nnnn
nnnnnnnfnf
nnnSSnf nn
又
∴f(n+1)>f(n)
∴f(n)是关于 n 的增函数
∴f(n) min=f(2)= 20
9
32
1
22
1
∴要使一切大于 1 的自然数 n,不等式
f(n)>[logm(m-1)]2-
20
11 [log(m-1)m]2 恒成立
只要
20
9 >[logm(m-1)]2-
20
11 [log(m-1)m]2 成立即可
由
11,01
1,0
mm
mm 得 m>1 且 m≠2
此时设[logm(m-1)]2=t 则 t>0
于是
0
20
11
20
9
t
t 解得 0<t<1
由此得 0<[logm(m-1)]2<1
解得 m>
2
51 且 m≠2.
●锦囊妙计
1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、
解决问题的能力;解答应用性问题,应充分运用观察、归纳、猜想的手段,建立出有关等差
(比)数列、递推数列模型,再综合其他相关知识来解决问题.
2.纵观近几年高考应用题看,解决一个应用题,重点过三关:
(1)事理关:需要读懂题意,明确问题的实际背景,即需要一定的阅读能力.
(2)文理关:需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言,用数学式子表达数学关系.
(3)事理关:在构建数学模型的过程中;要求考生对数学知识的检索能力,认定或构建
相应的数学模型,完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后,要正确得到问题
的解,还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★★)已知二次函数 y=a(a+1)x2-(2a+1)x+1,当 a=1,2,…,n,…时,其抛
物线在 x 轴上截得的线段长依次为 d1,d2,…,dn,…,则 lim
n
(d1+d2+…+dn)的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
2.(★★★★★)在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是第一象限的两
个点,若 1,x1,x2,4 依次成等差数列,而 1,y1,y2,8 依次成等比数列,则△OP1P2 的面
积是_________.
3.(★★★★)从盛满 a 升酒精的容器里倒出 b 升,然后再用水加满,再倒出 b 升,再用
水加满;这样倒了 n 次,则容器中有纯酒精_________升.
4.(★★★★★)据 2000 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2001 年国内
生产总值达到 95933 亿元,比上年增长 7.3%,”如果“十·五”期间(2001 年~2005 年)每年
的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________
亿元.
三、解答题
5.(★★★★★)已知数列{an}满足条件:a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为 q(q>0)的等
比数列,设 bn=a2n-1+a2n(n=1,2,…).
(1)求出使不等式 anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n∈N*)成立的 q 的取值范围;
(2)求 bn 和
nn S
1lim
,其中 Sn=b1+b2+…+bn;
(3)设 r=219.2-1,q= 2
1 ,求数列{
n
n
b
b
2
12
log
log }的最大项和最小项的值.
6.(★★★★★)某公司全年的利润为 b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职工,奖金分
配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由 1 到 n 排序,第 1 位
职工得奖金
n
b 元,然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职
工,并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金金额,试求 a2,a3,并用 k、n 和 b 表示 ak(不必
证明);
(2)证明 ak>ak+1(k=1,2,…,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义;
(3)发展基金与 n 和 b 有关,记为 Pn(b),对常数 b,当 n 变化时,求 lim
n
Pn(b).
7.(★★★★)据有关资料,1995 年我国工业废弃垃圾达到 7.4×108 吨,占地 562.4 平方
公里,若环保部门每年回收或处理 1 吨旧物资,则相当于处理和减少 4 吨工业废弃垃圾,并
可节约开采各种矿石 20 吨,设环保部门 1996 年回收 10 万吨废旧物资,计划以后每年递增
20%的回收量,试问:
(1)2001 年回收废旧物资多少吨?
(2)从 1996 年至 2001 年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)?
(3)从 1996 年至 2001 年可节约多少平方公里土地?
8.(★★★★★)已知点的序列 An(xn,0),n∈N,其中 x1=0,x2=a(a>0),A3 是线段 A1A2 的中点,
A4 是线段 A2A3 的中点,…,An 是线段 An-2An-1 的中点,….
(1)写出 xn 与 xn-1、xn-2 之间关系式(n≥3);
(2)设 an=xn+1-xn,计算 a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明;
(3)求 xn.
参考答案
难点磁场
解:(1)设 f(x)=a(x-
2
2t )2-
4
2t ,由 f(1)=0 得 a=1.
∴f(x)=x2-(t+2)x+t+1.
(2)将 f(x)=(x-1)[x-(t+1)]代入已知得:
(x-1)[x-(t+1)]g(x)+anx+bn=xn+1,上式对任意的 x∈R 都成立,取 x=1 和 x=t+1 分别
代入上式得:
1)1()1(
1
n
nn
nn
tbat
ba 且 t≠0,解得 an= t
1 [(t+1)n+1-1], bn= t
t 1 [1-(t+1 ] n)
(3)由于圆的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn
2,又由(2)知 an+bn=1,故圆 Cn 的圆心 On 在直线
x+y=1 上,又圆 Cn 与圆 Cn+1 相切,故有 rn+rn+1= 2 |an+1-an|= (t+1)n+1
设{rn}的公比为 q,则
2
11
1
)1(2
)1(2
n
nn
n
nn
tqrr
tqrr
②÷①得 q=
n
n
r
r 1 =t+1,代入①得 rn= 2
)1(2 1
t
t n
∴Sn=π (r1
2+r2
2+…+rn
2)= 3
4
2
22
1
)2(
)1(2
1
)1(
tt
t
q
qr n
[(t+1)2n-1]
歼灭难点训练
一、1.解析:当 a=n 时 y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1
由|x1-x2|= a
,得 dn= )1(
1
nn
,∴d1+d2+…+dn
1)1
11(lim)(lim
1
111
11
3
1
2
1
2
11)1(
1
32
1
21
1
21
nddd
nnnnn
n
n
n
答案:A
二、2.解析:由 1,x1,x2,4 依次成等差数列得:2x1=x2+1,x1+x2=5 解得 x1=2,x2=3.又由 1,y1,y2,8
依次成等比数列,得 y1
2=y2,y1y2=8,解得 y1=2,y2=4,
∴P1(2,2),P2(3,4).∴ 21 ),2,2( OPOP =(3,4)
∴ ,5||,22,1486 2121 OPOPOPOP
①
②
110
25222
1sin||||2
1
10
2sin,10
27
225
14
||||
cos
2121
21
21
21
21
21
OPPOPOPS
OPP
OPOP
OPOPOPP
POP
答案:1
3.解析:第一次容器中有纯酒精 a-b 即 a(1-
a
b )升,第二次有纯酒精 a(1- )-
ba
a
ba )1(
,即 a(1-
a
b )2 升,故第 n 次有纯酒精 a(1- )n 升.
答案:a(1- )n
4.解析:从 2001 年到 2005 年每年的国内生产总值构成以 95933 为首项,以 7.3%为公
比的等比数列,∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元).
答案:120000
三、
5.解:(1)由题意得 rqn-1+rqn>rqn+1.由题设 r>0,q>0,故从上式可得:q2-q-1<0,解
得
2
51 <q<
2
51 ,因 q>0,故 0<q< ;
(2)∵ 0,
212
212
212
221212
1
21
qaa
qaqa
aa
aa
b
bqa
a
aa
aa
nn
nn
nn
nn
n
n
n
n
nn
nn .b1=1+r≠0,所以
{bn}是首项为 1+r,公比为 q 的等比数列,从而 bn=(1+r)qn-1.
当 q=1 时,Sn=n(1+r),
1)1(),2()3(
)1( ,0
)10( ,1
11lim,0
)1)(1(
1lim1lim
,1
)1)(1(,1
;1
1
)1)(1(
1lim1lim
,1
)1)(1(,10;0)1(
1lim1lim
n
n
nnnnnn
n
n
nnnn
n
n
nnn
qrb
q
qr
q
Sqr
q
S
q
qrSq
r
q
qr
q
S
q
qrSqrnS
有由
所以
时当
时当
.2.20
11log)1)(1(log
log)1(log
])1[(log
])1[(log
log
log
22
22
1
2
2
2
12
nqnr
qnr
qr
qr
b
b
n
n
n
n
n
n
n b
bC
2
12
log
log 记 ,从上式可知,当 n-20.2>0,即 n≥21(n∈N*)时,Cn 随 n 的增大而减
小,故
1<Cn≤C21=1+ 8.0
112.2021
1 =2.25 ①
当 n-20.2<0,即 n≤20(n∈N*)时,Cn 也随 n 的增大而减小,故 1>Cn ≥
C20=1+ 2.0
112.2020
1 =-4 ②
综合①②两式知,对任意的自然数 n 有 C20≤Cn≤C21,故{Cn}的最大项 C21=2.25,最小项
C20=-4.
6.解:(1)第 1 位职工的奖金 a1= n
b ,第 2 位职工的奖金 a2= n
1 (1- )b,第 3 位职工的奖
金 a3= (1- )2b,…,第 k 位职工的奖金 ak= (1- )k-1b;
(2)ak-ak+1= 2
1
n
(1-
n
1 )k-1b>0,此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”
的原则.
(3)设 fk(b)表 示 奖 金 发 给 第 k 位 职 工 后 所 剩 余 数 , 则 f1(b)=(1- )b,f2(b)=(1-
)2b,…,fk(b)=(1- )kb.得 Pn(b)=fn(b)=(1- )nb,
故
e
bbPn
n
)(lim .
7.解:设 an 表示第 n 年的废旧物资回收量,Sn 表示前 n 年废旧物资回收总量,则数列{an}
是以 10 为首项,1+20%为公比的等比数列.
(1)a6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨)
(2)S6= 2.0
16.1101%)201(
]1%)201[(10 66
=99.2992≈99.3(万吨)
∴从 1996 年到 2000 年共节约开采矿石 20×99.3≈1986(万吨)
(3)由于从 1996 年到 2001 年共减少工业废弃垃圾 4×99.3=397.2(万吨),
∴从 1996 年到 2001 年共节约:
8
4
104.7
102.3974.562
≈3 平方公里.
8.解:(1)当 n≥3 时,xn= 2
21 nn xx ;
aaxxxxxxxa
axxxxxxxaaxxa
4
1)2
1(2
1)(2
1
2
,2
1)(2
1
2,)2(
233
23
342
122
12
232121
由此推测 an=(-
2
1 )n-1a(n∈N)
证法一:因为 a1=a>0,且
11
11
1 2
1)(2
1
22
nnn
nn
n
nn
nnn axxxxxxxxxa (n≥2)
所以 an=(-
2
1 )n-1a.
证法二:用数学归纳法证明:
(ⅰ)当 n=1 时,a1=x2-x1=a=(- )0a,公式成立;
(ⅱ)假设当 n=k 时,公式成立,即 ak=(- )k-1a 成立.
那么当 n=k+1 时,
ak+1=xk+2-xk+1= kkkk
kk axxxxx
2
1)(2
1
2 11
1
.)2
1()2
1(2
1 111 公式仍成立aa )(kk
据(ⅰ)(ⅱ)可知,对任意 n∈N,公式 an=(-
2
1 )n-1a 成立.
(3)当 n≥3 时,有 xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+…+(x2-x1)+x1
=an-1+an-2+…+a1,
由(2)知{an}是公比为-
2
1 的等比数列,所以
3
2
)2
1(1
lim 1
axn
n
a.