北师版高中数学必修一第4讲：函数的表示方法（学生版） 7页

1 函数的表示方法 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数； 2、 了解简单的分段函数，并能简单应用； 一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法 如果函数   y f x x A  中，  f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的 方法叫做解析法（公式法）。 例如，s =60 2t ，A = 2r ， 2S rl , 2( 2)y x x   等等都是用解析式表示函数关系的。 特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自 变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解 析法表示的函数。 解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化 规律。 2、列表法： 通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。 例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行 里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒： 列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常应用 到实际生产和生活中。 列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。 3、图象法： 用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。 例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都 是用图象法表示函数关系的。 特别提醒： 图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们 可以通过图象来研究函数的某些性质。 2 图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。 二、函数图像： 1、判断一个图像是不是函数图像的方法： 要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与 x 轴垂直的直线，当该直线保持与 x 轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数 图像。 2、函数图像的作图方法大致分为两种： （1）描点作图法。步骤分三步：列表，描点，连线成图。 （2）图像变换法。利用我们熟知基本初等函数图像，将其进行平移、对成等变换，从而得到我 们所求的函数图像的方法。 三、根据函数图像确定函数的定义域和值域： 1、由函数图像来确定函数的值域的方法是看函数图像在 y 轴上的正投影所覆盖的区域； 2、由函数图像来确定函数的定义域的方法是看函数图像在 x 轴上的正投影所覆盖的区域； 四、分段函数图像： 有些函数在它的定义域中，对于自变量 x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称 为分段函数。由此可知，作分段函数的图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。 类型一 函数的表示方法 例 1：某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试分别用列表法、图象法、解析法表示售 出台数 x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与收款总额 y(元)之间的函数关系． 练习 1：某问答游戏的规则是：共 5 道选择题，基础分为 50 分，每答错一道题扣 10 分，答对 不扣分，试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分 y 与答错题目道数 x(x∈ {0,1,2,3,4,5})之间的函数关系． 练习 2：(2014～2015 学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试)已知 f(x＋1)＝2x＋3，则 f(x) ＝________. 类型二 识画函数的图象 例 2：作出函数 y＝2x2－4x－3,0≤x<3 的图象． 练习 1：某种笔记本每个 5 元，买 x(x∈{1,2,3,4})个笔记本的钱数记为 y(元)，试写出以 x 为 自变量的函数 y 的解析式，并画出这个函数的图象． 练习 2：画出函数 3y x  的图像 类型三 函数图象的应用 例 3：若 x∈R，f(x)是 y＝2－x2，y＝x 这两个函数的较小者，求 f(x)的最大值． 练习 1：某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在 图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则四个图形中较符合该学生走法的是( ) 3 练习 2：如图，函数 f(x)的图象是折线段 ABC，其中点 A、B、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、 (6,4)，则 f{f[f(2)]}＝________. 类型四 分段函数求值 例 4：(2014～2015 学年度广东珠海四中高一上学期月考)已知函数 f(x)＝ 1－x2 x≤1 x2－x－3 x>1 ， 则 f[ 1 f 3 ]的值为( ) A．15 16 B．－27 16 C．8 9 D．18 练习 1：(2014～2015 学年度四川成都七中实验学校高一上学期期中测试)已知 f(x)＝ 2x－1 x≥2 －x2－3x x<2 ，则 f(4)的值为( ) A．7 B．3 C．－8 D．4 练 习 2 ： (2014 ～ 2015 学 年 度 江 苏 泰 州 三 中 高 一 上 学 期 期 中 测 试 ) 设 函 数 f(x) ＝ x2＋1 x≤1 2 x x>1 ，则 f[f(3)]＝______. 类型五 分段函数在实际问题中的应用 例 5：如图(1)所示，在边长为 4 的正方形 ABCD 边上有一点 P，沿着折线 BCDA，由点 B(起点) 向点 A(终点)运动．设点 P 运动的路程为 x，△APB 的面积为 y，求：y 与 x 之间的函数关系式； 4 练习 1：(2014～2015 学年度宁夏育才中学高一上学期月考)已知 A、B 两地相距 150 km，某人 开汽车以 60 km/h 的速度从 A 地到达 B 地；在 B 地停留 1 h 后再以 50 km/h 的速度返回 A 地，把汽 车离开 A 地的距离 S 表示为时间 t(h)的函数表达式为( ) A．S＝60t B．S＝60t＋50t C．S＝ 60t 0≤t≤2.5 150－50t t>3.5 D．S＝ 60t 0≤t≤2.5 150 2.5”或“<”符号) 7. 设  ,x    ，求函数 2 1 3y x x   的最大值。 能力提升 8. 某人开车沿直线旅行，先前进了 a km ，到达目的地后游玩用去了一段时间，由原路返回 b km  b a ，再前进 c km ，此人离起点的距离 s 与时间t 的关系示意图是（ ） （A） （B） （C） （D） 9. 当 m 为何值时，方程 2 4 5x x m   有 4 个互不相等的实数根。 2 1 O 1 2 3 4 y x 1 2 3 4 5 7 10. 对于任意实数  1 2 1 2, ,min ,x x x x 表示 1 2,x x 中较小的那个数，若    22 ,f x x g x x   ， 则     min ,f x g x 的最大值是 。