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- 2021-06-15 发布
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6
.
2
.
2
向量的减法运算
课标阐释
思维脉络
1
.
理解相反向量的概念
.
(
数学抽象
)
2
.
理解向量减法的意义
,
掌握向量减法的运算法则及其几何意义
.
(
数学抽象、直观想象
)
3
.
能运用向量的加法与减法解决相关问题
.
(
数学抽象、数学运算
)
激趣诱思
知识点拨
以前台胞春节期间来大陆探亲
,
乘飞机从台北到香港
,
再从香港到上海
,
若台北到香港的位移用向量
a
表示
,
香港到上海的位移用向量
b
表示
,
台北到上海的位移用向量
c
表示
.
想一想
,
向量
a
,
b
,
c
有何关系
?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、相反
向量
定义
与向量
a
长度
相等
,
方向
相反
的向量
,
叫做
a
的相反向量
性质
①
零向量的相反向量仍是零向量
②
a+(-a)=(-a)+a=
0
③
如果
a,b
互为相反向量
,
那么
a=
-b
,b=-a,a+b=
0
激趣诱思
知识点拨
微练习
如图
,
四边形
ABCD
是平行四边形
,
AC
与
BD
相交于点
O
,
下列互为相反向量的是
(
)
答案
:
C
激趣诱思
知识点拨
知识点二、向量减法运算及其几何
意义
定义
a-b=a+(-b),
即减去一个向量相当于加上这个向量的
相反向量
作法
已知向量
a,b,
在平面内任取一点
O,
作
=a,=b,
则
=a-b.
如图所
示
几何意义
如果把两个向量
a,b
的起点放在一起
,
则
a-b
可以表示为从向量
b
的
终点
指向向量
a
的
终点
的向量
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)
若向量
a
,
b
为非零不共线向量
,
则
a
,
b
与
a-b
围成三角形
,
故称这种作两向量差的方法为向量减法的三角形法则
.
(2)
求两个向量的差就是要把两个向量的始点放在一起
,
它们的差是以减向量的终点为始点
,
以被减向量的终点为终点的向量
,
可简记为
“
共始点
,
连终点
,
指向被减
.
”
激趣诱思
知识点拨
微思考
当两个非零向量
a
,
b
共线时
,
如何作图得
a
-
b
?
激趣诱思
知识点拨
微练习
如图
,
在正方形
ABCD
中
,
对角线相交于点
O
,
则有
:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量减法的几何意义
例
1
(1)
如图
①
所示
,
四边形
ABCD
中
,
A.
a-b+c
B.
b-
(
a+c
) C.
a+b+c
D.
b-a+c
(2)
如图
②
所示
,
已知向量
a
,
b
,
c
不共线
,
求作向量
a+b-c
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)
可以转化为向量的加法来进行
,
如
a-b
,
可以先作
-
b
,
然后作
a+
(
-b
)
即可
.
(2)
也可以直接用向量减法的三角形法则
,
即把两向量的起点重合
,
则差向量为连接两个向量的终点
,
指向被减向量的终点的向量
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
1
如图所示
,
已知向量
a
,
b
,
c
,
求作向量
a-b-c
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量的加法与减法
运算
例
2
化简下列各向量的表达式
:
分析
按照向量加法和减法的运算法则进行化简
,
进行减法运算时
,
必须保证两个向量的起点相同
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
向量加减法化简的两种形式
(1)
首尾相连且为和
;
(2)
起点相同且为差
.
做题时要注意观察是否有这两种形式
,
同时要注意逆向应用
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
2
化简下列向量表达式
:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量减法几何意义的应用
A
.
菱形
B
.
矩形
C.
正方形
D.
不确定
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1
.
用向量法解决平面几何问题的步骤
(1)
将平面几何问题中的量抽象成向量
.
(2)
转化为向量问题
,
进行向量运算
.
(3)
将向量问题还原为平面几何问题
.
2
.
用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键
(1)
利用向量证明线段平行且相等
,
从而证明四边形为平行四边形
,
只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可
.
(2)
根据图形灵活运用向量的运算法则
,
找到向量之间的关系是解决此类问题的关键
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用已知向量表示未知向量
典例
如图
,
解答下列各题
:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意
(1)
一个关键
关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道
.
(2)
三点注意
①
注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系
;
②
注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律
;
③
注意在封闭图形中利用多边形法则
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1
.
若非零向量
a
,
b
互为相反向量
,
则下列说法错误的是
(
)
A.
a
∥
b
B.
a
≠
b
C.
|
a
|
≠
|
b
|
D.
b
=-
a
解析
:
根据相反向量的定义
,
大小相等
,
方向相反
,
可知
|
a
|=|
b
|.
答案
:
C
答案
:
B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3
.
如
图
,
在
△
ABC
中
,
D
为
BC
的中点
,
则下列结论错误的是
(
)
答案
:
C
答案
:
0
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
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