高中数学必修1示范教案（1_2集合间的基本关系） 7页

‎1.1.2 集合间的基本关系 整体设计 教学分析 课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻辑思考的方法,如类比等.‎ 值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用Venn图,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号,例如∈与的区别.‎ 三维目标 ‎1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力.‎ ‎2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想.‎ 重点难点 教学重点:理解集合间包含与相等的含义.‎ 教学难点:理解空集的含义.‎ 课时安排 ‎1课时 教学过程 导入新课 思路1.实数有相等、大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生)‎ 欲知谁正确,让我们一起来观察、研探.‎ 思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填空:(1)0N;(2)2Q;(3)-1.5R.‎ 类比实数的大小关系,如5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)∈;(2);(3)∈)‎ 推进新课 新知探究 提出问题 ‎(1)观察下面几个例子:‎ ‎①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};‎ ‎②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;‎ ‎③设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};‎ ‎④E={2,4,6},F={6,4,2}.‎ 你能发现两个集合间有什么关系吗？‎ ‎(2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？‎ ‎(3)结合例子④,类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?‎ ‎(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？‎ ‎(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.‎ ‎(6)已知AB,试用Venn图表示集合A和B的关系.‎ ‎(7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗？‎ ‎(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？‎ ‎(9)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论?‎ 活动：教师从以下方面引导学生:‎ ‎(1)观察两个集合间元素的特点.‎ ‎(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果AB,但存在x∈B,且xA,我们称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA).‎ ‎(3)实数中的“≤”类比集合中的.‎ ‎(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.‎ ‎(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.‎ ‎(6)分类讨论:当AB时,AB或A=B.‎ ‎(7)方程x2+1=0没有实数解.‎ ‎(8)空集记为,并规定:空集是任何集合的子集,即A;空集是任何非空集合的真子集,即A(A≠).‎ ‎(9)类比子集.‎ 讨论结果：‎ ‎(1)①集合A中的元素都在集合B中;‎ ‎②集合A中的元素都在集合B中;‎ ‎③集合C中的元素都在集合D中;‎ ‎④集合E中的元素都在集合F中.‎ 可以发现:对于任意两个集合A,B有下列关系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中.‎ ‎(2)例子①中AB,但有一个元素4∈B,且4A;而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同.‎ ‎(3)若AB,且BA,则A=B.‎ ‎(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.‎ ‎(5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合B.‎ 图1-1-2-1图1-1-2-2‎ ‎(6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示.‎ 图1-1-2-3图1-1-2-4‎ ‎(7)不能.因为方程x2+1=0没有实数解.‎ ‎(8)空集.‎ ‎(9)若AB,BC,则AC;若AB,BC,则AC.‎ 应用示例 思路1‎ ‎1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.‎ ‎(1)则下列包含关系哪些成立？‎ AB,BA,AC,CA.‎ ‎(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.‎ 活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时,则AB成立,否则AB不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点:‎ ‎(1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格;‎ 长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格.‎ ‎(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.‎ 解：(1)包含关系成立的有:BA,CA.‎ ‎(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示,如图1-1-2-5所示.‎ 图1-1-2-5‎ 变式训练 课本P7练习3.‎ 点评：本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么.‎ 判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,得:当集合A中的元素都属于集合B时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,当集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A、B互不包含.‎ ‎2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.‎ 活动：学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集.按集合{a,b}的子集所含元素的个数分类讨论.‎ 解：集合{a,b}的所有子集为,{a},{b},{a,b}.真子集为,{a},{b}.‎ 变式训练 ‎2007山东济宁一模,1 ‎ 已知集合P={1,2},那么满足QP的集合Q的个数是( )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ 分析:集合P={1,2}含有2个元素,其子集有22=4个,‎ 又集合QP,所以集合Q有4个.‎ 答案：A 点评：本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏.‎ 思考:集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？‎ 解：当n=0时,即空集的子集为,即子集的个数是1=20;‎ 当n=1时,即含有一个元素的集合如{a}的子集为,{a},即子集的个数是2=21;‎ 当n=2时,即含有一个元素的集合如{a,b}的子集为,{a},{b},{a,b},即子集的个数是4=22.‎ ‎……‎ 集合A中含有n个元素,那么集合A有2n个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合A有(2n-1)个真子集.‎ 思路2‎ ‎1.2006上海高考,理1已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若BA,则实数m=_______.‎ 活动：先让学生思考BA的含义,根据BA,知集合B中的元素都属于集合A,集合元素的互异性,列出方程求实数m的值.因为BA,所以3∈A,m2∈A.对m2的值分类讨论.‎ 解：∵BA,∴3∈A,m2∈A.∴m2=-1(舍去)或m2=2m-1.解得m=1.∴m=1.‎ 答案：1‎ 点评：本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现m2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m的值后,再代入验证.‎ 讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式.‎ 变式训练 已知集合M={x|2-x<0},集合N={x|ax=1},若NM,求实数a的取值范围.‎ 分析:集合N是关于x的方程ax=1的解集,集合M={x|x>2}≠,由于NM,则N=或N≠,要对集合N是否为空集分类讨论.‎ 解：由题意得M={x|x>2}≠,则N=或N≠.‎ 当N=时,关于x的方程ax=1中无解,则有a=0;‎ 当N≠时,关于x的方程ax=1中有解,则a≠0,此时x=,又∵NM,∴∈M.∴>2.‎ ‎∴02m-1即m<2时,B=满足BA.‎ 当m+1≤2m-1即m≥2时,要使BA成立,‎ 需可得2≤m≤3.综上所得实数m的取值范围m≤3.‎ ‎(2)当x∈Z时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},‎ 所以,A的非空真子集个数为2上标8-2=254.‎ ‎(3)∵x∈R,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.‎ 则①若B≠即m+1>2m-1,得m<2时满足条件;‎ ‎②若B≠,则要满足条件有:或解之,得m>4.‎ 综上有m<2或m>4.‎ 点评：此问题解决要注意：不应忽略;找A中的元素;分类讨论思想的运用.‎ 拓展提升 问题:已知AB,且AC,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合A共有多少个？‎ 活动：学生思考AB,且AC所表达的含义.AB说明集合A是集合B的子集,即集合A中元素属于集合B,同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素.‎ 思路1:写出由集合B和集合C的公共元素所组成的集合,得满足条件的集合A;‎ 思路2:分析题意,仅求满足条件的集合A的个数,转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数.‎ 解法一：因AB,AC,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},由此,满足AB,有:,{0},{1},{2},{3},{4},‎ ‎{0,1},{0,2},{2,3},{2,4},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4},{3,4},{0,2,4},{0,1,2},{0,1,3},{0,1,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{0,3,4},{0,1,2,3},{1,2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3},{1,3,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,1,2,3,4},共25=32(个).‎ 又满足AC的集合A有:,{0},{2},{4},{8},{0,2},{0,4},{0,8},{2,4},{2,8},{4,8},{0,2,4},‎ ‎{0,2,8},{0,4,8},{2,4,8},{0,2,4,8},共24=16(个).‎ 其中同时满足AB,AC的有8个:,{0},{2},{4},{0,2},{0,4},{2,4},{0,2,4},实际上到此就可看出,上述解法太繁.‎ 解法二：题目只求集合A的个数,而未让说明A的具体元素,故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0、2、4,组成集合的子集有23=8(个).‎ 点评：有关集合间关系的问题,常用分类讨论的思想来解决;关于集合的子集个数的结论要熟练掌握,其应用非常广泛.‎ 课堂小结 本节课学习了:‎ ‎①子集、真子集、空集、Venn图等概念;‎ ‎②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集;‎ ‎③清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明.‎ 作业 课本P11习题1.1A组5.‎ 设计感想 本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知,在实际教学中,‎ 要留给学生适当的思考时间,使学生自己通过类比得到正确结论.丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念,学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式.‎