高中数学必修1教案：第九章直线平面简单几何体(B)教材分析 8页

第九章直线平面简单几何体(B)教材分析 本章共分四大节11小节，教学时间约需36课时，具体分配如下（仅供参考）：‎ 空间的直线和平面 ‎ ‎9．1平面的基本性质 约3课时 ‎ ‎9．2空间的平行直线与异面直线 约2课时 ‎ ‎9．3直线与平面平行、平面与平面平行 约2课时 ‎ ‎9．4直线和平面垂直 约4课时 ‎ 空间向量 ‎ ‎9．5空间向量及其运算 约5课时 ‎ ‎9．6空间向量的直角坐标及其运算 约3课时 ‎ 夹角和距离 ‎ ‎9．7直线与平面所成的角和二面角 约3课时 ‎ ‎9．8距离 约2课时 ‎ 简单多面体和球 ‎ ‎9．9棱柱和棱锥 约4课时 ‎ ‎9．10研究性课题：多面体欧拉定理的发现 约2课时 ‎ ‎9．11球 约3课时 ‎ 小结与复习 约3课时 一、内容与要求 ‎ ‎9.1节，平面的基本性质共4个知识点：平面的表示法、平面的基本性质、公理的推论、空间图形在平面上的表示方法这一小节是整章的基础通过平面基本性质及其推论的学习使学生对平面的直观认识上升到理性认识教师应该认识到培养学生的空间想象力主要是通过对图形性质的学习，使学生对图形的直观认识上升到理性认识，建立空间图形性质的正确概念，这样才能学好立体几何 ‎ 为了形成学生的空间观念，这一小节通过观察太阳(平行)光线照射物体形成影子的性质来学习直观图的画法先直观地了解平行射影的性质，这样就可正确地指导学生画空间图形 ‎ 这小节教学要求是，掌握平面的基本性质，直观了解空间图形在平面上的表示方法，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图 ‎ ‎9.2节共有两个知识点，平行直线、异面直线以平行公理和平面基本性质为基础进一步学习平行直线的性质，把平行公理和平行线的传递性推广到空间并引出平移概念，了解了平移的初步性质在这一节还由直线平行的性质学习异面直线及其夹角的概念 ‎ 要求学生正确掌握空间平行直线性质和异面直线及其夹角的概念，这样就为学生学习向量和空间图形的性质打下了基础 ‎ ‎9．3节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系平行平面的传递性在练习中出现，学生做完练习，教师可加以总结让学生掌握这一性质 ‎ 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 ‎ 前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点 ‎ ‎9．4节包括两个知识点：直线和平面垂直及正射影和三垂线定理空间除平移和平行射影的性质外，第二个重要性质就是空间的镜面对称直线与平面的垂直的特征性质是研究空间对称性的基础细心分析直线和平面判定定理的证明过程就可以看到，证明的过程就是由平面的轴对称转换为空间的镜面对称的过程这一小节要特别重视判定定理的教学，要向学生指出定理证明过程的本质三垂线定理是由直线和平面垂直判定定理得出的一个最重要的空间图形的性质，在传统几可学教育中这个定理占有极重要的地位，在这里，我们只重视概念的教学，减弱围绕三垂线定理的解题训练这是因为我们有更有效的向量工具处理空间的垂直问题 ‎ 这一小节的教学要求是，掌握直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理，掌握三垂线定理及逆定理这里的“掌握”与9(A)的要求不同主要是理解定理的本质和直接应用不要进行大量的解题训练的教学这样就可减少课时，以加强空间向量的教学 ‎ 第二大节空间向量，主要是学习空间向量及其在立体几何中的初步应用本大节共分2小节 ‎ ‎9．5节，空间向量及其运算共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积这一节是全章的重点，有了第一大节空间平行概念的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题 ‎ 本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已不是一个平面，而是互相平行的平行平面集，要让学生在空间上一步步地验证运算法则和运算律这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念 ‎ 当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题 ‎ 在学习共线和共面向量定理后，我们学习空间最重要的基础定理：空间向量基本定理，这个定理是空间几何研究数量化的基础有了这个定理空间结构变得简单明了，整个空间被3个不共面的基向量所确定空间—个点或一个向量和实数组(x，y，z)建立起一一对应关系本节的最后一个知识点是，两个向量的数量积由平面两个向量的数量积推广到空间最重要的是让学生建立向量在轴上的投影概念为了减轻教学难度，内积的几个运算性质教材中没有证明学生基础好的学校可在教师的指导下，由学生自己证明 ‎ ‎9．6节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离公式这一小节，我们在直角坐标系下，使向量运算完全坐标化去掉基底，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难在第2个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式在这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性质定理”通过解一些立体几何的应用题，就可为学生今后进一步学习空间解析几何、高维向量和矩阵打下基础 ‎ 要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点的距离公式掌握直线垂直于平面的性质定理 ‎ 本章第三大节，夹角和距离共有2小节 ‎ ‎9．7节有三个知识点：直线与平面所成的角、二面角、两平面垂直的性质 ‎ ‎9．8节主要学习点到平面的距离，直线到平面的距离，平面到平面的距离，异面直线的距离和计算 ‎ 这一大节要求学生掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的角和距离了解异面直线距离的概念和计算 ‎ 在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解这种解法需要对图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学生掌握这些技能同样会有困难所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了 ‎ 本章第四大节是简单多面体和球，共分4小节简单几何体，是指最基本、最常见的几何体按照大纲的规定，本章中有关简单几何体只讨论棱柱、棱锥、多面体和正多面体、球这些内容分别构成本大节的4个小节 ‎ 由于初中几何已学过圆柱和圆锥的有关内容，台体(圆台、棱台)又可以通过从大锥体上截去小锥体而得出，为节约课时以便实现高中数学教学内容的更新，本章中的简单几何体比原《立体几何》(必修本)在内容上精简幅度较大，删去了圆柱、圆锥、圆台、棱台等，只保留了最基本的多面体(棱柱和棱锥)、正多面体的有关概念、球等 ‎ ‎9．9节，有四个知识点：棱柱、棱锥、棱柱和棱锥的直观图以及正多面体的有关概念关于棱柱和棱锥的教学内容都包括有关概念、性质等内容，直观图的画法仅学习直棱柱和正棱锥的直观图 ‎ ‎9．10节，这一版修定为研究性课题通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣 ‎ ‎9．11节，有两个知识点：球的有关概念、性质和球的体积、表面积本章通过“分割，求近似和，化为准确和”的方法，即运用“化整为零，又积零为整”的极限思想，对于球的体积和表面积公式进行了推导，这种处理方法与原《立体几何》(必修本)有较大变化教学中对这两公式的推导，只要求了解其基本思想方法即可，重点在于掌握公式本身；而不必要求学生一定要掌握公式推导的细节 ‎ 这一大节的内容，既是对简单几何体基础知识的重点讨论，又是对前面三大节，空间图形的基本性质和向量代数等相关知识的综合运用 ‎ 二、教学目标 ‎ ‎（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系 ‎ ‎（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理；了解三重线定理及其逆定理 ‎ ‎（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘 ‎ ‎（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算 ‎ ‎（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式 ‎ ‎（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念 ‎ ‎（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离）；掌握直线和平面垂直的性质定理；掌握两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理 ‎ ‎（8）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念 ‎ ‎（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图 ‎ ‎（10）了解棱锥的慨念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图 ‎ ‎（11）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式 ‎ ‎（12）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式 ‎ ‎（13‎ ‎）通过空间图形的各种位置关系间的教学，培养空间想象能力，发展逻辑思维能力，并培养辩证唯物主义观点 ‎ 三、本章的特点 ‎ ‎（一）加强三种数学语言功能的发挥，使教材更有利于培养学生的空间想象能力 ‎ 数学语言是在数学思维中产生和发展的，是数学思维不可缺少的重要工具通常按数学语言所使用的主要词汇，将数学语言分为三种：文字语言、符号语言和图象语言 几种语言各有特点，发挥着不同的功能，又互相依存，互相制约 ‎ 1．从图象语言入手，有序地建立三种数学语言的联系 ‎ 当代著名数学家、数学教育家G．波利亚将一般数学问题的解决分为四个水平，即图象水平，联系水平，数学水平和探索水平从数学语言的角度说，这里的第一种水平，使用的主要是图象词汇；第二种水平，是将所考察的对象及表示它的图象词汇用文字或符号表示出来，建立几种词汇间的联系；第三种水平，是将各种数学词汇发展成以数学理论为“句法”的数学语句；第四种水平，是由数学语句发展成数学文章，即给出问题的数学解答并由此做出进一步探索 ‎ 在本章中，上述四种水平的循序发展尤为典型．立体图形是立体几何研究的对象，对它的一般描述表示是按“三维对象（几何模型）--图形--文字--符号”这种程序进行的其中，图形是将考察对象第一次抽象后的产物，是首先使用的数学词汇，也是形象、直观的语言完成了由对象到图形的飞跃，才有可能达到后面的水平因此，加强图形的运用十分重要本章编写中首先强调图象语言，适当增加插图的数量，提高插图的质量，在图形的典型性、简明性、直观性、概括性及趣味性等方面下功夫，力求充分发挥其作用文字语言是对图形的描述、解释与讨论，符号语言则是对文字语言的简化和再次抽象显然，首先建立的是图象语言，其次是文字语言，再次是符号语言，最后形成的应是对于对象的三种数学语言的综合描述，即整体认识有了这种整体认识，三种语言达到融汇贯通的程度，能根据需要由一种描述转化为其他描述，就能基本把握对象了 ‎ 对于对象的文字和符号描述，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，在图形的基础上发展其他数学语言．本章在阐述定义、定理、公式等重要内容时，先给出图形再以文字和符号描述，注意综合运用几种数学语言，使其优势互补，以期能收到更好的效果 ‎ 2．做好由模型到图形的过渡 ‎ 立体几何的一个主要难点，是要由画在二维平面上的图形想象出三维空间中的几何关系 对此,即使学习了较长时间立体几何，遇到复杂些的图形也有一定难度对于初学立体几何的高中生，把平面上的图形在头脑中立体化困难就更大克服这些困难的一个有效办法，就是做好由模型到图形的过渡要增加一些由模型画图形的训练，例如画简单几何体的练习可以提前些通过观察实物或模型并用几何图形表示它们，熟悉空间各种线面关系的表示方法，对于看图是非常重要的这应作为学习立体几何的图象语言的起始内容为此，本章在练习和习题中安排了一些“观察图形后填空”或“用符号表示语句并画出图形”‎ 类型的题目，希望教学中能重视发挥它们的作用 ‎ 3．注意两个方向的转化 培养空间想象力，有两个不同方向的转化问题首先是“图形---文字--- 符号”的转化，即由图形出发，弄清画在平面（书页、黑板等）上的立体图形所表示的空间几何关系，以及未明确表示的隐蔽关系，然后将它们用文字语言加以描述，再以数学符号概括表示，将“有形”的信息变为“无形”的形式其次是“符号---文字---图形”的转化，即理解符号或文字所表达的空间几何关系，并将它们用图形直观地表示出来，化“无形”为“有形”本章注意了由不同方向对图形与文字、符号间转化的设计安排，特别在前面部分的练习题和习题中增加了插图的数量，并且加强这种转化的训练这样做既有利于第一种转化,同时也为实现第二种转化做了必要准备 ‎4.文字语言要准确简明 本章的语言叙述力求准确简明 ‎（1）关于平面的公理2的叙述：‎ ‎“如果两个平面*有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条直线”（教科书中加页边注：* 在本章中，没有特别说明的“两个平面”，均指不重合的两个平面）‎ ‎  由于教材在第1章专门安排了“集合”的内容，在第9章的序言中又强调了“空间图形是空间中点的集合”，能够结合学生已学的集合概念，简单准确清楚地说明问题 ‎ （2）关于两点间球面距离的叙述如下：‎ ‎  “在球面上，两点之间的最短连线，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧我们把这段弧的弧长叫做两点的球面距离”‎ ‎ 5．符号语言要合理、简洁、易用、相对规范      使用符号的目的在于带来方便，符号要合理例如，表示“平面α和β的交线为a”和“点p在直线a上，a在平面α内”，要根据点是基本元素，直线、平面是点的集合的道理，分别使用∩、∈、 ，这些符号不能随意使用，教学中有必要向学生反复交代 ‎ 符号要简洁，在不会引起混乱的前提下可适当简化．符号要易用，如果一下子出现过多符号会给使用带来不便，则不必强求符号化．符号的使用要有通用性，因而应相对规范． ‎ ‎（二）用“分割，求和，逼近”法对球的两个公式进行推导，突出相应的数学思想教材在处理球面积、球体积公式推导时，（1）先讲球体积公式，后讲球的表面积公式，讲后者时利用前者，而且推导它们的基本思想方法同出一辙（2）以求几何度量公式时具有一般性的数学思想为指导，用“分割，求近似和，化为精确和”的方法推导公式同时注意适合高中生的水平，既要使学生理解公式推导的基本思想方法，又要有别于正规地使用极限、微积分等有关概念及公式法则的严格推导 具体处理方法是：求球体积公式时，将半球切片，用多个圆柱体的和逼近球；求球表面积公式时，将球分为多个以球心为顶点的小锥体，用它们的和逼近球，通过比较体积得出表面积公式 ‎  本章推导这两公式时，力图进行在渗透近代数学思想方法上下功夫，在教学要求上应重在掌握公式本身和理解公式推导的基本思路，而不要过于强调掌握具体推导过程 四、教学中应注意的几个问题 ‎ ‎（一）抓住重点，克服难点，打好基础，注重培养学生的空间想象能力 本章教材的重点，是平面的基本性质、空间直线的位置关系、直线与平面之间及两平面之间的平行和垂直关系，即第一大节的主要内容这是研究立体几何问题的重要基础掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最根本的内容，其他部分就容易学习了因此，对于本章前面部分的教学，应注意讲求实效，让学生切实学好这些最基础的内容，并能在头脑中建立相应的知识体系，使知识条理化 ‎ 使学生建立正确的空间观念，对图形的认识上实现由平面到立体的过渡，是本章教学中的难点为克服这一难点，可注意以下几点：‎ ‎ 1．联系实际提出问题和引入概念，合理运用教具，加强由模型到图形，再由图形返回模型的基本训练由对照模型画直观图入手，逐步培养由图形想象出它所对应的模型的形状及其中各元素的空间几何位置关系的能力 ‎ 2．体会本章“从图形入手，有序地建立图形、文字、符号这三种数学语言的联系”的编写意图，通过适当的练习训练提高学生使用这些语言的能力 ‎    长期的教学实践证明，由直观的图形到抽象的文字、符号，对于学习几何是极其重要的第一认识过程只有完成好这一过程的认识，才能升华到由抽象的文字、符号返回直观图形的第二认识过程教学中应研究学生的认识规律，按照“先由具体图形到抽象文字和符号，再由抽象文字和符号返回具体图形”的顺序，让学生掌握三种数学语言的综合运用能力 ‎ 3．联系平面图形的知识，利用对比、引申、联想等方法，找出平面图形和立体图形的异同以及两者的内在联系，逐步培养学生把已有的对平面图形认识上升为对立体图形的认识，以及把立体图形分解为平面图形、利用平面几何基础解决立体几何问题的能力 ‎（二）结合观察分析图形能力的训练，提高学生的逻辑思维能力 本章研究的是立体图形，所涉及的问题包括画图、计算、证明等，其中证明问题占较重要的地位进一步发展学生的逻辑思维能力，是教学目的之一由于本章讨论的对象是空间的几何元素，所以有关推理证明必须建立在观察分析立体图形的基础上完成这样的问题既需要空间想象能力，又需要逻辑思维能力，应该说是两种能力的综合运用 ‎ 本章所用的证明方法，主要是通常的直接证法，此外还用到反证法以及同一法的思想，这些证明方法都是根据具体命题的需要而选择采用的，证法简明是选择的主要标准教学中应要求学生会用反证法证明简单的问题，至于同一法思想的应用，只限于课本的程度，主要是解决有关唯一性的问题，不要求出现同一法的名词，也不过多地训练学生用同一法证题 ‎ 本章对球的两个公式的推导，具体处理方法包含较深刻的变化思想，涉及“直与曲”、“近似与准确”、“有限与无限”等的转化，学生学习这些内容时认识上要有一个新的飞越，所以有一定难度．我认为：适当地引导学生认识公式的来龙去脉，有利于他们理解公式及其产生过程，提高对数学思想方法的认识，符合他们的认识水平和求知欲望．只要在教学中处理得当，注意深入浅出，从特殊归纳一般，对于高中学生来说克服这些障碍是完全可能的 ‎（三）注意知识体系的整理总结 ‎ 本章第一大节以空间的“线线、线面、面面”之间的位置关系为主要线索展开，其中“平行”和“垂直”是两种重要的位置关系，这样安排可以被认为是按几何元素纵向深入研究．学习完该大节后，还可以变换一个角度，以“平行”和“垂直”为线索，对所学内容进行横向整理总结这种横纵结合的学习方法有利于对知识的认识更系统、更深入，运用起来更灵活