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  • 2021-06-15 发布

2019年高考数学练习题汇总压轴小题突破练(1)

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压轴小题突破练(1)‎ ‎1.已知M是函数f(x)=e-2|x-1|+2sin在x∈[-3,5]上的所有零点之和,则M的值为(  )‎ A.4 B.6 C.8 D.10‎ 答案 C 解析 因为f(x)=e-2|x-1|+2sin=e-2|x-1|-2cos πx,‎ 所以f(x)=f(2-x),‎ 因为f(1)≠0,‎ 所以函数零点有偶数个,两两关于x=1对称.‎ 当x∈[1,5]时,y=e-2(x-1)∈(0,1],且单调递减;‎ y=2cos πx∈[-2,2],且在[1,5]上有两个周期,‎ 因此当x∈[1,5]时,y=e-2(x-1)与y=2cos πx有4个不同的交点,‎ 从而所有零点之和为4×2=8,故选C.‎ ‎2.设函数f(x)=1-,g(x)=ln(ax2-3x+1),若对任意的x1∈[0,+∞),都存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的最大值为(  )‎ A.2 B. C.4 D. 答案 B 解析 设g(x)=ln(ax2-3x+1)的值域为A,‎ 因为f(x)=1-在[0,+∞)上的值域为(-∞,0],所以(-∞,0]⊆A,‎ 所以h(x)=ax2-3x+1至少要取遍(0,1]中的每一个数,又h(0)=1,‎ 所以实数a需要满足a≤0或 解得a≤.所以实数a的最大值为,故选B.‎ ‎3.已知函数f(x)=x2+ex(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,e) B. C. D. 答案 A 解析 由已知得,方程f(x)=g(-x)在x<0时有解,‎ 即ex-ln(-x+a)=0在(-∞,0)上有解,‎ 令m(x)=ex-ln(-x+a),x<0,‎ 则m(x)=ex-ln(-x+a)在其定义域上是增函数,且x→-∞时,m(x)<0,当a≤0,x→a时,m(x)>0,‎ 故ex-ln(-x+a)=0在(-∞,a)上有解,符合要求.‎ 当a>0时,则ex-ln(-x+a)=0在(-∞,0)上有解可化为e0-ln a>0,即ln a<1,故00,函数f(x)=若关于x的方程f(-f(x))=e-a+有三个不等的实根,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 当x<0时, f(x)为增函数,‎ 当x≥0时, f′(x)=ex-1+ax-a-1, f′(x)为增函数,‎ 令f′(x)=0,解得x=1,‎ 故函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,‎ 最小值为f=0.‎ 由此画出函数f(x)的图象如图所示.‎ 令t=-f(x),因为f(x)≥0,所以t≤0,‎ 则有解得-a=t-1,‎ 所以t=-a+1,所以f(x)=a-1.‎ 所以方程要有三个不同的实数根,‎ 则需<a-1<+,‎ 解得2<a<+2.‎ ‎5.已知函数f(x)=x2+x+a(x<0),g(x)=ln x(x>0),其中a∈R.若f(x)的图象在点A(x1,f(x1))处的切线与g(x)的图象在点B(x2,f(x2))处的切线重合,则a的取值范围为(  )‎ A.(-1+ln 2,+∞) B.(-1-ln 2,+∞)‎ C. D.(ln 2-ln 3,+∞) ‎ 答案 A 解析 f(x)的图象在点A(x1,f(x1))处的切线方程为 y-=·(x-x1),‎ 即y=x-x+a.‎ g(x)的图象在点B(x2,g(x2))处的切线方程为 y-ln x2=·(x-x2),即y=·x+ln x2-1.‎ 两切线重合的充要条件是 由①及x1<0<x2知,-1<x1<0, ‎ 由①②得a=x+ln x2-1=x+ln-1‎ ‎=x+ln 2-ln(x1+1)-1, ‎ 设h(t)=t2+ln 2-ln(t+1)-1(-1<t<0),‎ 则h′(t)=t-=<0,‎ 所以h(t)(-1<t<0)为减函数,‎ 则h(t)>h(0)=-1+ln 2,‎ 所以a>-1+ln 2,‎ 而当t∈(-1,0)且t趋向于-1时,h(t)无限增大,‎ 所以a的取值范围是(-1+ln 2,+∞).‎ ‎6.若方程=kx-2恰有两个不同的实根,则实数k的取值范围是(  )‎ A.(-2,-1)∪(0,4) B.∪ C.∪(1,4) D.(0,1)∪(1,4)‎ 答案 D 解析 方法一 代数求解:方程可化为或或经检验知,当k=±1或k=-2时,方程均有一个实根,不满足条件,故k≠±1,且k≠-2,所以要使方程=kx-2恰有两个不同的实根,只需解得k∈(0,1)∪(1,4).‎ 方法二 几何求解:求方程=kx-2恰有两个不同的实根时实数k的取值范围,即求函数y=的图象与直线y=kx-2有两个不同的交点时k的取值范围,作出图象如图所示,由图知k∈(0,1)∪(1,4).‎ ‎7.已知定义在[0,1]上的函数满足:‎ ‎(1)f(0)=f(1)=0;‎ ‎(2)对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<|x-y|.‎ 若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|时,|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(1)-[f(y)-f(0)]|≤|f(x)-f(1)|+|f(y)-f(0)|<|x-1|+|y-0|=-(x-y)+<,所以kmin=.故选B.‎ ‎8.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,a,b,c∈N*,函数f(x)在上有两个零点,则a+b+c的最小值为(  )‎ A.38 B.39‎ C.40 D.41‎ 答案 D 解析 由题意,考虑到f(0)=c>0,‎ 于是条件等价于 即2b1,从而a>b>2.‎ 这样就得到a>16,进而b>2>8,‎ 于是b≥9,而a>2b≥18,‎ 当b≥13时,有a+b+c>>>40.‎ 当9≤b≤12时,≤<2.‎ 于是c=1,且4b-160,‎ 可解得4c0,可推得b<0且c>0,②‎ <1,可推得b>-2且c+b+1>0.③‎ 由②③式可知-25时,|t-a|+a>5,不合题意.‎ ‎③当45,不合题意.‎ 综上,a的取值范围是.‎ ‎13.已知实数x,y满足3x-y≤ln(x+2y-3)+ln(2x-3y+5),则x+y=________.‎ 答案  解析 设f(t)=ln t-t+1,令f′(t)=-1=0,‎ 得t=1,所以当00,‎ 当t>1时,f′(t)<0,‎ 因此f(t)≤f(1)=0,即ln t≤t-1,‎ 所以ln(x+2y-3)≤x+2y-3-1,‎ ln(2x-3y+5)≤2x-3y+5-1,‎ 因此ln(x+2y-3)+ln(2x-3y+5)≤x+2y-3-1+2x-3y+5-1=3x-y,‎ 因为3x-y≤ln(x+2y-3)+ln(2x-3y+5),‎ 所以x+2y-3=1,2x-3y+5=1,‎ 所以x=,y=,‎ 所以x+y=.‎ ‎14.已知函数f(x)= ‎①若f(x)=a有且只有一个根,则实数a的取值范围是________;‎ ‎②若关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是_____.‎ 答案 ①(1,+∞) ②(-4,-2)∪(2,4)‎ 解析 ①作出函数f(x)的图象,f(x)=a有且只有一个根等价于y=f(x)的图象与y=a只有一个交点,故可得a>1,即a的取值范围是(1,+∞);②方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根等价于y=f(x+T)的图象与y=f(x)的图象有3个交点,而y=f(x+T)的图象是将y=f(x)的图象向左或向右平移|T|个单位长度,故可得T的取值范围是(-4,-2)∪(2,4).‎ ‎15.已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是________.‎ 答案 [-2,2]‎ 解析 作出f(x)的图象如图所示,当y=的图象经过点(0,2)时,可知a=±2.当y=+a的图象与y=x+的图象相切时,由+a=x+,得x2-2ax+4=0,由Δ=0,并结合图象可得a=2.‎ 要使f(x)≥在R上恒成立,只需f(0)≥|a|,当a≤0时,需满足-a≤2,即-2≤a≤0;当a>0时,需满足a≤2,所以-2≤a≤2.‎ ‎16.当x∈时,不等式|ax2+bx+4a|≤2x恒成立,则6a+b的最大值是________.‎ 答案 6‎ 解析 ∵当x∈时,不等式|ax2+bx+4a|≤2x恒成立,‎ ‎∴≤2,即≤2,‎ 设f(x)=ax+b+=a+b,x+∈[4,5],‎ ‎∵|f(x)|≤2,∴ ‎∴6a+b=-(4a+b)+2(5a+b),‎ ‎∴-2+2×(-2)≤6a+b=-(4a+b)+2(5a+b)≤2+2×2,‎ ‎∴6a+b的最大值为6.‎ ‎17.设a,b∈R,af(b),‎ 可得g(x)=f(a)=-a-x,‎ 当-x≤a,即x≥-a时,区间[a,b]为增区间,‎ 可得g(x)=f(b)=b+x.‎ 则g(x)= 当x≤-b,g(x)≥b-a;‎ 当-≤x<-a时,g(x)≥(b-a);‎ 当-b(b-a);‎ 当x≥-a时,g(x)≥b-a,‎ 则g(x)的最小值为(b-a).‎