2019年高考数学练习题汇总解答题通关练 3 5页

‎3.数　列 ‎1．在等差数列{an}中， a1＝－2，a12＝20.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an；‎ ‎(2)若bn＝，求数列{3bn}的前n项和Sn.‎ 解　(1)因为an＝－2＋(n－1)d，所以a12＝－2＋11d＝20，于是d＝2，所以an＝2n－4(n∈N*)．‎ ‎(2)因为an＝2n－4，所以a1＋a2＋…＋an＝＝n(n－3)，于是 bn＝＝n－3，令cn＝，则cn＝3n－3，‎ 显然数列{cn}是等比数列，且c1＝3－2，公比q＝3，‎ 所以数列{3bn}的前n项和Sn＝＝(n∈N*)．‎ ‎2．已知数列{an}满足a1＝，＝＋2(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：a＋a＋a＋…＋a<.‎ ‎(1)解　由条件可知数列为等差数列，且首项为2，公差为2，所以＝2＋(n－1)×2＝2n，‎ 故an＝(n∈N*)．‎ ‎(2)证明　依题意可知a＝2＝·<··＝，n≥2，n∈N*.‎ 又因为a＝，‎ 所以a＋a＋a＋…＋a<＝<×2＝.‎ 故a＋a＋a＋…＋a<.‎ ‎3．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S9＝81.记bn＝[log5an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[log516]＝1.‎ ‎(1)求b1，b14，b61；‎ ‎(2)求数列{bn}的前200项和．‎ 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 由已知S9＝81，根据等差数列的性质可知，S9＝9a5＝9(a1＋4d)＝81，‎ ‎∴a1＋4d＝9.‎ ‎∵a1＝1，∴d＝2，‎ ‎∴an＝2n－1，‎ ‎∴b1＝[log51]＝0，b14＝[log527]＝2，b61＝[log5121]＝2.‎ ‎(2)当1≤n≤2时，1≤an≤3(an∈N*)，bn＝[log5an]＝0，共2项；‎ 当3≤n≤12时，5≤an≤23，bn＝[log5an]＝1，共10项；‎ 当13≤n≤62时，25≤an≤123，bn＝[log5an]＝2，共50项；‎ 当63≤n≤200时，125≤an≤399，bn＝[log5an]＝3，共138项．‎ ‎∴数列{bn}的前200项和为2×0＋10×1＋50×2＋138×3＝524.‎ ‎4．已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．‎ ‎(1)求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＝，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，≤|Tn|≤.‎ ‎(1)解　数列{an}满足Sn＝2an＋1，‎ 则Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－Sn)，即3Sn＝2Sn＋1，‎ 所以＝，‎ 所以S2＝，S1＝a1＝1，‎ 即数列{Sn}是以1为首项，以为公比的等比数列．‎ 所以Sn＝n－1(n∈N*)．‎ ‎(2)证明　在数列{bn}中，bn＝＝－1×，{bn}的前n项和的绝对值 ‎|Tn|＝ ‎＝，‎ 而当n≥2时，‎ ‎1－≤≤＝，‎ 即≤|Tn|≤.‎ ‎5．设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝(a>0且a≠1，n∈N*)．‎ ‎(1)证明：当n≥2时，anb.‎ 证明　(1)由an＋1＝知，an与a1的符号相同，‎ 而a1＝a>0，所以an>0，‎ 所以an＋1＝≤1，‎ 当且仅当an＝1时，an＋1＝1，‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①因为a>0且a≠1，所以a2<1，‎ ＝>1，即有a21，即ak＋1ak＋1>ak≥b；‎ 若aka2k－1>a2k－1＝a2k－1≥a2.‎ 因为k≥＋1，‎ 所以(k－1)＋1≥＋1＝，‎ 所以ak＋1>b.‎ ‎6．已知数列{an}满足a1＝2，点(an，an＋1)在直线y＝3x＋2上．数列{bn}满足b1＝2，＝＋＋…＋.‎ ‎(1)求b2的值；‎ ‎(2)求证数列{an＋1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)求证：2－≤…<.‎ ‎(1)解　由已知得a2＝3a1＋2＝8，‎ 所以＝，＝，‎ 解得b2＝4.‎ ‎(2)解　由条件得an＋1＝3an＋2，‎ 则＝＝3，‎ 所以数列{an＋1}是以3为公比的等比数列．‎ an＋1＝(a1＋1)·3n－1＝3n，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1.‎ ‎(3)证明　由题设＝＋＋…＋，①‎ 知＝＋＋…＋(n≥2)，②‎ ‎①－②得－＝，‎ 则＝，即＝(n≥2)．‎ 当n＝1时，2－＝，1＋＝<，‎ 所以原不等式成立；‎ 当n≥2时，…＝··…· ‎＝···…··(1＋bn)＝××·…··(1＋bn)‎ ‎＝×·(1＋bn)＝3＝3 ‎＝3，‎ 先证明不等式左边，‎ 因为＝>，‎ 所以3≥3 ‎＝3＝2－.‎ 再证明不等式右边，当n≥2时，‎ ＝＝≤，‎ ‎3≤3 ‎＝3＝3<.‎ 所以2－≤…<成立．‎ 综上所述，不等式成立．‎