2021版高考数学一轮复习第八章立体几何初步8-6利用空间向量证明空间中的位置关系课件新人教B版 16页

第六节　利用空间向量证明空间中的位置关系　　　　 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 直线的方向向量与平面的法向量 (1) 直线的方向向量：如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l _____ 或 _____ ，则称此向量 a 为直线 l 的方向向量 . (2) 平面的法向量：直线 l ⊥α ，取直线 l 的 _____ 向量 a ，则向量 a 叫做平面 α 的 法向量 . 平行 重合 方向 2. 空间位置关系的向量表示 位 置 关 系 向 量 表 示 直线 l 1 ， l 2 的方向向量分别为 n 1 ， n 2 l 1 ∥ l 2 n 1 ∥ n 2 ⇔ _______ l 1 ⊥ l 2 n 1 ⊥ n 2 ⇔ ________ 直线 l 的方向向量为 n ，平面 α 的法向量为 m l ∥α n ⊥ m ⇔ _______ l ⊥α n ∥ m ⇔ ______ 平面 α ， β 的法向量分别为 n ， m α∥β n ∥ m ⇔ ______ α⊥β n ⊥ m ⇔ _______ n 1 =λ n 2 n 1 · n 2 =0 n · m =0 n =λ m n =λ m n · m =0 【常用结论】 1. 确定平面的法向量 (1) 直接法：观察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接确定 . (2) 待定系数法：取平面的两条相交向量 a ， b ，设平面的法向量为 n =(x ， y ， z) ，由 解方程组求得 . 2. 方向向量和法向量均不为零向量且不唯一 . 【知识点辨析】 ( 正确的打“ √” ，错误的打“ ×”) (1) 一个平面的法向量是唯一确定的 . ( 　　 ) (2) 每一条直线都有两个方向向量 . ( 　　 ) (3) 若两平面的法向量垂直，则两平面平行 . ( 　　 ) (4) 若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行 . ( 　　 ) (5) 若直线的一个方向向量与平面的一个法向量垂直，则此直线与该平面 平行 . ( 　　 ) 提示： (1)×. 一个平面有无数个法向量，它们都是共线向量 . (2)×. 每一条直线都有无数个方向向量 . (3)×. 若两平面的法向量平行，则两平面平行 . (4)√. (5)×. 此直线也可能在该平面内 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 忽略方向向量与法向量的任意性致误 考点一、 T1,2 2 忽略线面、面面垂直判定定理的向量表示法的应用 考点二、角度 1,2 【教材 · 基础自测】 1.( 选修 2-1 P92 练习 AT5 改编 ) 若直线 l 的方向向量为 a , 平面 α 的法向量为 n , 能使 l ∥α 的是 ( 　　 ) A. a =(1,0,0), n =(-2,0,0) B. a =(1,3,5), n =(1,0,1) C. a =(0,2,1), n =(-1,0,-1) D. a =(1,-1,3), n =(0,3,1) 【解析】 选 D. 若 l ∥α, 则 a · n =0, 经验证知 D 满足条件 . 2.( 选修 2-1 P93 练习 BT3 改编 ) 设 u =(-2,2,t), v =(6,-4,4) 分别是平面 α,β 的法向量 . 若 α⊥β, 则 t= ( 　　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】 选 C. 因为 α⊥β, 则 u · v =-2×6+2×(-4)+4t=0, 所以 t=5. 3.( 选修 2-1P94 习题 3-1AT9 改编 ) 已知平面 α,β 的法向量分别为 n 1 =(2,3,5), n 2 =(-3,1,-4), 则 ( 　　 ) A.α∥β B.α⊥β C.α,β 相交但不垂直 D. 以上均不对 【解析】 选 C. 因为 n 1 ≠λ n 2 , 且 n 1 · n 2 =2×(-3)+3×1+5×(-4)=-23≠0, 所以 α,β 既不平行 , 也不垂直 . 4.( 选修 2-1 P105 练习 AT4 改编 ) 设 u , v 分别是平面 α,β 的法向量 , u =(-2,2,5), 当 v =(3,-2,2) 时 ,α 与 β 的位置关系为 ________; 当 v =(4,-4,-10) 时 ,α 与 β 的位置关系为 ________.  【解析】 当 v =(3,-2,2) 时 , u · v =(-2,2,5) · (3,-2,2)=0⇒α⊥β. 当 v =(4, -4,-10) 时 , v =-2 u ⇒α∥β. 答案 : α⊥β 　 α∥β