2019年高考数学练习题汇总解答题通关练 2 2页

‎2.数　列 ‎1.数列{an}中，a1＝0且an＋1＝3an＋2.‎ ‎(1)求数列{an}的前5项；‎ ‎(2)求证数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式.‎ 解　(1)由a1＝0且an＋1＝3an＋2，得 a2＝3a1＋2＝3×0＋2＝2，a3＝3a2＋2＝3×2＋2＝8，‎ a4＝3a3＋2＝3×8＋2＝26，a5＝3a4＋2＝3×26＋2＝80，‎ 所以数列{an}的前5项为0，2，8，26，80.‎ ‎(2)由an＋1＝3an＋2得an＋1＋1＝3(an＋1)，而a1＋1＝1≠0，‎ 所以数列{an＋1}是一个首项为1，公比为3的等比数列.‎ 所以an＋1＝3n－1，故an＝3n－1－1(n∈N*).‎ ‎2.(2018·巩义模拟)已知数列{an}满足a1＝，＝＋2(n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：a＋a＋a＋…＋a<.‎ ‎(1)解　由条件可知数列为等差数列，且首项为2，公差为2，所以＝2＋(n－1)×2＝2n，‎ 故an＝(n∈N*).‎ ‎(2)证明　依题意可知a＝2＝·<··＝，n≥2，n∈N*.‎ 又因为a＝，‎ 所以a＋a＋a＋…＋a<＝<×2＝.‎ 故a＋a＋a＋…＋a<.‎ ‎3.(2018·衡水金卷模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝5，3a5＋a9＝S6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋1an，且b1＝a6，求数列的前n项和Tn.‎ 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 由a1＝5，3a5＋a9＝S6，‎ 得3(5＋4d)＋(5＋8d)＝6×5＋d，‎ 解得d＝2.‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝5＋2(n－1)＝2n＋3(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)得，b1＝a6＝2×6＋3＝15.‎ 又因为bn＋1＝an＋1an，‎ 所以当n≥2时，bn＝anan－1＝(2n＋3)(2n＋1)，‎ 当n＝1时，b1＝5×3＝15，符合上式，‎ 所以bn＝(2n＋3)(2n＋1)(n∈N*).‎ 所以＝＝.‎ 所以Tn＝＝＝(n∈N*).‎ ‎4.(2018·东莞模拟)已知等比数列{an}与等差数列{bn}，a1＝b1＝1，a1≠a2，a1，a2，b3成等差数列，b1，a2，b4成等比数列.‎ ‎(1)求{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设Sn，Tn分别是数列{an}，{bn}的前n项和，若Sn＋Tn>100，求n的最小值.‎ 解　(1)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，‎ 则解得(舍)或 ‎∴an＝2n－1，bn＝n.‎ ‎(2)由(1)易知Sn＝＝2n－1，Tn＝.‎ 由Sn＋Tn>100，得2n＋>101，‎ ‎∵是单调递增数列，且26＋＝85<101，27＋＝156>101，‎ ‎∴n的最小值为7.‎