高考数学专题复习教案： 函数的奇偶性与周期性备考策略 3页

函数的奇偶性与周期性备考策略 主标题：函数的奇偶性与周期性备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：函数，奇偶性，周期性，备考策略 难度：3‎ 重要程度：5‎ 内容 考点一　函数奇偶性的判断及应用 ‎【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性：‎ ‎①f(x)＝＋；②f(x)＝ln.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f(lg )＝(　　)．‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ ‎(1)解　①由得x＝±1.‎ ‎∴f(x)的定义域为{－1,1}．‎ 又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，‎ 即f(x)＝±f(－x)．‎ ‎∴f(x)既是奇函数又是偶函数．‎ ‎②由＞0，得－1＜x＜1，即f(x)＝ln的定义域为(－1,1)，‎ 又f(－x)＝ln＝ln－1＝－ln＝－f(x)，则f(x)为奇函数．‎ ‎(2)解析　设g(x)＝ln(－3x)，‎ 则g(－x)＝ln(＋3x)＝ln＝‎ ‎－ln(－3x)＝－g(x)．‎ ‎∴g(x)为奇函数．‎ ‎∴f(lg 2)＋f＝f(lg 2)＋f(－lg 2)‎ ‎＝g(lg 2)＋1＋g(－lg 2)＋1＝g(lg 2)－g(lg 2)＋2＝2.‎ 答案　D ‎【备考策略】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：‎ ‎(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；‎ ‎(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．‎ 考点二　函数的单调性与奇偶性 ‎【例2】 (1)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是(　　)．‎ A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝2－x－2x D．f(x)＝－tan x ‎(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f＝0，则不等式f(logx)＞0的解集为(　　)．‎ A. B．(2，＋∞)‎ C.∪(2，＋∞) D.∪(2，＋∞)‎ 解析　(1)f(x)＝在定义域上是奇函数，但不单调；‎ f(x)＝为非奇非偶函数；f(x)＝－tan x在定义域上是奇函数，但不单调．‎ ‎(2)由已知f(x)在R上为偶函数，且f＝0，‎ ‎∴f(logx)＞0等价于f(|logx|)＞f，又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴|logx|＞，即logx＞或logx＜－，解得0＜x＜或x＞2，故选C.‎ 答案　(1)C　(2)C ‎【备考策略】 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．‎ 考点三　函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用 ‎【例3】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)．‎ A．f(－25)＜f(11)＜f(80)‎ B．f(80)＜f(11)＜f(－25)‎ C．f(11)＜f(80)＜f(－25)‎ D．f(－25)＜f(80)＜f(11)‎ 审题路线　f(x－4)＝－f(x)f(x－8)＝f(x)→结合f(x)奇偶性、周期性把－25,11,80化到区间[－2,2]上→利用[－2,2]上的单调性可得出结论．‎ 解析　∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，‎ ‎∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．‎ 由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．‎ ‎∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，‎ f(x)在R上是奇函数，‎ ‎∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，‎ ‎∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．‎ 答案　D ‎【备考策略】 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．‎ ‎ ‎