高考数学专题复习教案： 直线的交点坐标与距离公式备考策略 4页

直线的交点坐标与距离公式备考策略 主标题：直线的交点坐标与距离公式备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道.‎ 关键词：直线的交点坐标与距离公式，知识总结备考策略 难度：3‎ 重要程度：2‎ 内容：‎ ‎1．两条直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．‎ ‎2.几种距离 ‎1．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.‎ ‎2．点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝.‎ 3． 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.‎ 思维规律解题：‎ 考点一、两直线的交点与距离 例1.(1)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．‎ ‎(2)已知点P(2，－1)，①求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；②求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，并求最大距离．‎ 解答　(1)法一　先解方程组得l1、l2的交点坐标为(－1,2)，‎ 再由l3的斜率求出l的斜率为－，‎ 于是由直线的点斜式方程求出l：‎ y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.‎ 法二　由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l 过l1、l2的交点(－1,2)，‎ 故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，‎ 故l的方程为5x＋3y－1＝0.‎ 法三　由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，‎ 将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，‎ 其斜率－＝－，解得λ＝，‎ 代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.‎ ‎(2)①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝2满足条件．‎ 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.‎ 由已知，得＝2，解得k＝.‎ 此时l的方程为3x－4y－10＝0.‎ 综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.‎ ‎②作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，如图．‎ 由l⊥OP，得klkOP＝－1，‎ 所以kl＝－＝2.‎ 由点斜式得y＋1＝2(x－2)，2x－y－5＝0.‎ ‎∴直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝.‎ 规律方法2　求点到直线距离的最值问题的方法：(1)直接利用点到直线的距离公式建立距离关于斜率k的代数关系式求解；(2) 从几何中位置关系的角度，利用几何关系求解.在解决解析几何问题时，要善于发现其中包含的几何关系，充分利用几何性质进行求解.‎ 考点二、 对称问题 例2　光线由点P(－1,3)射出，遇直线l：x＋y＋1＝0反射，反射光线经过点Q(4，－2)，求入射光线与反射光线所在的直线方程．‎ 解答　设P(－1,3)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为P′(x1，y1)，点Q(4，－2)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为Q′(x2，y2)．‎ ‎∴⇒ 所以P′(－4,0)．同理有Q′(1，－5)．这样，反射光线所在直线为P′Q，斜率k1＝＝－.‎ 直线方程为x＋4y＋4＝0.‎ 入射光线所在直线为PQ′，斜率k2＝＝－4，直线方程为4x＋y＋1＝0.‎ ‎∴入射光线直线方程为4x＋y＋1＝0，反射光线直线方程为x＋4y＋4＝0.‎ 备考策略：1.求点到直线距离的最值问题的方法：(1)直接利用点到直线的距离公式建立距离关于斜率k的代数关系式求解；(2)从几何中位置关系的角度，利用几何关系求解.在解决解析几何问题时，要善于发现其中包含的几何关系，充分利用几何性质进行求解.‎ ‎2.（1）‎ (2)两点关于点对称，两点关于直线对称的常见结论有：‎ 点(x，y)关于x轴、y轴、直线x－y＝0、直线x＋y＝0及原点的对称点分别为(x，－y)、(－x，y)、(y，x)、(－y，－x)和(－x，－y).‎