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  • 2021-06-15 发布

高中数学第二章数列2-5等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和的求解达标检测含解析新人教A版必修5

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等比数列前n项和的求解 A级 基础巩固 一、选择题 ‎1.设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{an}前7项的和为(  )‎ A.63 B.64 C.127 D.128‎ 解析:设数列{an}的公比为q(q>0),则有a5=a1q4=16,‎ 所以q=2,数列的前7项和为S7===127.‎ 答案:C ‎2.(多选)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并满足条件a1>1,a2 019a2 020>1,<0,下列结论正确的是(  )‎ A.S2 0191,<0不成立;‎ 故01,0S2 019,A项正确.‎ a2 019a2 021-1=a-1<0,故B项正确.‎ T2 019是数列{Tn}中的最大值,C、D项错误.‎ 答案:AB ‎3.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是(  )‎ A.190 B.191 C.192 D.193‎ 解析:设最下面一层灯的盏数为a1,则公比q=,n=7,由=381,解得a1=192.‎ 答案:C - 6 -‎ ‎4.已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-,则{an}的前10项和等于(  )‎ A.-6(1-3-10) B.(1-3-10)‎ C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)‎ 解析:因为3an+1+an=0,a2=-≠0,‎ 所以an≠0,所以=-,‎ 所以数列{an}是以-为公比的等比数列.‎ 因为a2=-,所以a1=4,‎ 所以S10==3(1-3-10).‎ 答案:C ‎5.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{an}的公比为(  )‎ A.-2 B.2 C.-3 D.3‎ 解析:设数列{an}的公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.‎ 因为==qm+1=9,所以qm=8.‎ 所以==qm=8=,‎ 所以m=3,所以q3=8,‎ 所以q=2.‎ 答案:B 二、填空题 ‎6.在等比数列{an}中,公比q=2,前99项的和S99=30,则 a3+a6+a9+…+a99=________.‎ 解析:因为S99=30,即a1(299-1)=30,‎ 数列a3,a6,a9,…,a99也成等比数列且公比为8,‎ - 6 -‎ 所以a3+a6+a9+…a99===×30=.‎ 答案: ‎7.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=1,{an}的“差数列”的通项公式为an+1-an=2n,则数列{an}的前n项和Sn=________.‎ 解析:因为an+1-an=2n,应用累加法可得an=2n-1,‎ 所以Sn=a1+a2+a3+…+an ‎=2+22+23+…+2n-n ‎=-n ‎=2n+1-n-2.‎ 答案:2n+1-n-2‎ 8. ‎(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=‎ ‎2Sn+1,n∈N*,则a1=________,S5=________.‎ 解析:a1+a2=4,a2=2a1+1⇒a1=1,a2=3,‎ 再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2)⇒an+1-an=2an⇒an+1=3an(n≥2),又a2=3a1,‎ 所以an+1=3an(n≥1),S5==121.‎ 答案:1 121‎ 三、解答题 ‎9.在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.‎ ‎(1)求an及其前n项和Sn;‎ ‎(2)设bn=1+log3an,求数列的前10项和T10.‎ 解:(1)设{an}的公比为q,依题意得解得 因此,an=3n-1,Sn==.‎ ‎(2)由(1)知bn=1+log3an=1+(n-1)=n,‎ 则==-,‎ 所以T10=++…+ ‎=1-+-+…+- - 6 -‎ ‎=1-=.‎ ‎10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,满足S2=3S1,S4=15,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式及Sn;‎ ‎(2)设数列的前n项和为Tn,若Tn>-3,求正整数n的取值范围.‎ 解:(1)因为S2=a1+a2=3a1,所以a2=2a1,‎ 所以数列{an}的公比q==2,‎ 因为S4==15a1=15,所以a1=1,‎ 所以an=2n-1,Sn==2n-1.‎ ‎(2)结合(1)得==2n-,‎ 所以Tn=-=2n+1+-3,‎ 因为Tn>-3,所以2n+1+-3>-3,‎ 所以22n+1>25,‎ 故正整数n的取值范围为n>2(n∈N*).‎ B级 能力提升 ‎1.(多选)将n2个数排成n行n列的一个数阵,如下图:‎ a11 a12 a13……a1n a21 a22 a23……a2n a31 a32 a33……a3n ‎……‎ an1 an2 an3……ann 该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=2,a13=a61+1,记这n2个数的和为S.下列结论正确的有(  )‎ A.m=3      B.a67=17×37‎ C.aij=(3i-1)×3j-1 D.S=n(3n+1)(3n-1)‎ 解析:由题意,该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列,且a11=2,a13=a61+1,‎ - 6 -‎ 可得a13=a11m2=2m2,a61=a11+5d=2+5m,所以2m2=2+5m+1,‎ 解得m=3或m=-(舍去),所以选项A项是正确的.‎ 又由a67=a61m6=(2+5×3)×36=17×36,所以B项不正确.‎ 又由aij=ai1mj-1=[(a11+(i-1))×m]×mj-1=[2+(i-1)×3]×‎ ‎3j-1=(3i-1)×3j-1,所以C项正确.‎ 又由这n2个数的和为S,‎ 则S=(a11+a12+…+a1n)+(a21+a22+…+a2n)+…+(an1+‎ an2+…+ann)=++…+=(3n-1)·=n(3n+1)(3n-1),所以D项正确.‎ 答案:ACD ‎2.等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a2+a3+a4=1,a5+a6+a7+a8=2,Sn=15,则该数列的项数n=________.‎ 解析:==q4=2.‎ 因为a1+a2+a3+a4===-=1,所以=-1.‎ 所以Sn==qn-1=15,‎ 所以qn=16,即(q4)=24,所以=4,所以n=16.‎ 答案:16‎ ‎3.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a1+2a2=5,4a=a2a6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若数列{bn}满足b1=2,且bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(3)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ 解:(1)设等比数列{an}的公比为q,由4a=a2a6得4a=a,所以q2=4,由条件可知q>0,故q=2,由a1+2a2=5得a1+2a1q=5,所以a1=1,故数列{an}的通项公式为an=2n-1.‎ ‎(2)由bn+1=bn+an得bn+1-bn=2n-1,‎ 故b2-b1=20,b3-b2=21,……,bn-bn-1=2n-2(n≥2),‎ 以上n-1个等式相加得 bn-b1=1+21+…+2n-2==2n-1-1,‎ - 6 -‎ 由b1=2,所以bn=2n-1+1(n≥2).‎ 当n=1时,符合上式,故bn=2n-1+1(n∈N*).‎ ‎(3)cn===-,‎ 所以Tn=c1+c2+…+cn=++…+=-=-.‎ - 6 -‎