高中数学第二章数列2-5等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和的求解达标检测含解析新人教A版必修5 6页

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2021-06-15 发布

高中数学第二章数列2-5等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和的求解达标检测含解析新人教A版必修5

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等比数列前n项和的求解 A级　基础巩固一、选择题 ‎1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为(　　)‎ A．63 B．64 C．127 D．128‎ 解析：设数列{an}的公比为q(q＞0)，则有a5＝a1q4＝16，‎ 所以q＝2，数列的前7项和为S7＝＝＝127.‎ 答案：C ‎2．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2 019a2 020>1，<0，下列结论正确的是(　　)‎ A．S2 0191，<0不成立；‎ 故01，0S2 019，A项正确．‎ a2 019a2 021－1＝a－1<0，故B项正确．‎ T2 019是数列{Tn}中的最大值，C、D项错误．‎ 答案：AB ‎3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是(　　)‎ A．190 B．191 C．192 D．193‎ 解析：设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.‎ 答案：C - 6 -‎ ‎4．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于(　　)‎ A．－6(1－3－10) B.(1－3－10)‎ C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)‎ 解析：因为3an＋1＋an＝0，a2＝－≠0，‎ 所以an≠0，所以＝－，‎ 所以数列{an}是以－为公比的等比数列．‎ 因为a2＝－，所以a1＝4，‎ 所以S10＝＝3(1－3－10)．‎ 答案：C ‎5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为(　　)‎ A．－2 B．2 C．－3 D．3‎ 解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.‎ 因为＝＝qm＋1＝9，所以qm＝8.‎ 所以＝＝qm＝8＝，‎ 所以m＝3，所以q3＝8，‎ 所以q＝2.‎ 答案：B 二、填空题 ‎6．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则 a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________．‎ 解析：因为S99＝30，即a1(299－1)＝30，‎ 数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，‎ - 6 -‎ 所以a3＋a6＋a9＋…a99＝＝＝×30＝.‎ 答案： ‎7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________．‎ 解析：因为an＋1－an＝2n，应用累加法可得an＝2n－1，‎ 所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ‎＝2＋22＋23＋…＋2n－n ‎＝－n ‎＝2n＋1－n－2.‎ 答案：2n＋1－n－2‎ 8． ‎(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝‎ ‎2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________．‎ 解析：a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1⇒a1＝1，a2＝3，‎ 再由an＋1＝2Sn＋1，an＝2Sn－1＋1(n≥2)⇒an＋1－an＝2an⇒an＋1＝3an(n≥2)，又a2＝3a1，‎ 所以an＋1＝3an(n≥1)，S5＝＝121.‎ 答案：1　121‎ 三、解答题 ‎9．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.‎ ‎(1)求an及其前n项和Sn；‎ ‎(2)设bn＝1＋log3an，求数列的前10项和T10.‎ 解：(1)设{an}的公比为q，依题意得解得因此，an＝3n－1，Sn＝＝.‎ ‎(2)由(1)知bn＝1＋log3an＝1＋(n－1)＝n，‎ 则＝＝－，‎ 所以T10＝＋＋…＋ ‎＝1－＋－＋…＋－ - 6 -‎ ‎＝1－＝.‎ ‎10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝3S1，S4＝15，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式及Sn；‎ ‎(2)设数列的前n项和为Tn，若Tn>－3，求正整数n的取值范围．‎ 解：(1)因为S2＝a1＋a2＝3a1，所以a2＝2a1，‎ 所以数列{an}的公比q＝＝2，‎ 因为S4＝＝15a1＝15，所以a1＝1，‎ 所以an＝2n－1，Sn＝＝2n－1.‎ ‎(2)结合(1)得＝＝2n－，‎ 所以Tn＝－＝2n＋1＋－3，‎ 因为Tn>－3，所以2n＋1＋－3>－3，‎ 所以22n＋1>25，‎ 故正整数n的取值范围为n>2(n∈N*)．‎ B级　能力提升 ‎1．(多选)将n2个数排成n行n列的一个数阵，如下图：‎ a11　a12　a13……a1n a21　a22　a23……a2n a31　a32　a33……a3n ‎……‎ an1　an2　an3……ann 该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0)．已知a11＝2，a13＝a61＋1，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有(　　)‎ A．m＝3　　　　　 B．a67＝17×37‎ C．aij＝(3i－1)×3j－1 D．S＝n(3n＋1)(3n－1)‎ 解析：由题意，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，且a11＝2，a13＝a61＋1，‎ - 6 -‎ 可得a13＝a11m2＝2m2，a61＝a11＋5d＝2＋5m，所以2m2＝2＋5m＋1，‎ 解得m＝3或m＝－(舍去)，所以选项A项是正确的．‎ 又由a67＝a61m6＝(2＋5×3)×36＝17×36，所以B项不正确．‎ 又由aij＝ai1mj－1＝[(a11＋(i－1))×m]×mj－1＝[2＋(i－1)×3]×‎ ‎3j－1＝(3i－1)×3j－1，所以C项正确．‎ 又由这n2个数的和为S，‎ 则S＝(a11＋a12＋…＋a1n)＋(a21＋a22＋…＋a2n)＋…＋(an1＋‎ an2＋…＋ann)＝＋＋…＋＝(3n－1)·＝n(3n＋1)(3n－1)，所以D项正确．‎ 答案：ACD ‎2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则该数列的项数n＝________．‎ 解析：＝＝q4＝2.‎ 因为a1＋a2＋a3＋a4＝＝＝－＝1，所以＝－1.‎ 所以Sn＝＝qn－1＝15，‎ 所以qn＝16，即(q4)＝24，所以＝4，所以n＝16.‎ 答案：16‎ ‎3．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋2a2＝5，4a＝a2a6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足b1＝2，且bn＋1＝bn＋an，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(3)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由4a＝a2a6得4a＝a，所以q2＝4，由条件可知q>0，故q＝2，由a1＋2a2＝5得a1＋2a1q＝5，所以a1＝1，故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.‎ ‎(2)由bn＋1＝bn＋an得bn＋1－bn＝2n－1，‎ 故b2－b1＝20，b3－b2＝21，……，bn－bn－1＝2n－2(n≥2)，‎ 以上n－1个等式相加得 bn－b1＝1＋21＋…＋2n－2＝＝2n－1－1，‎ - 6 -‎ 由b1＝2，所以bn＝2n－1＋1(n≥2)．‎ 当n＝1时，符合上式，故bn＝2n－1＋1(n∈N*)．‎ ‎(3)cn＝＝＝－，‎ 所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋…＋＝－＝－.‎ - 6 -‎

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