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  • 2021-06-15 发布

2020版高中数学 第2章 数列 第1课时 等比数列的前n项和

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第1课时 等比数列的前n项和 ‎1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.(重点) ‎2.会用错位相减法求数列的和.(难点) ‎3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.‎ ‎[基础·初探]‎ 教材整理 等比数列的前n项和 阅读教材P48~P50,完成下列问题.‎ 等比数列的前n项和公式 ‎1.设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{an}前7项的和为________.‎ ‎【解析】 ∵a5=a1q4,∴q=±2.∵q>0,∴q=2,‎ ‎∴S7===127.‎ ‎【答案】 127‎ ‎2.在等比数列{an}中,a1=2,S3=26,则公比q=________.‎ ‎【解析】 ∵S3===26,∴q2+q-12=0,∴q=3或-4.‎ 9‎ ‎【答案】 3或-4‎ ‎3.等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1=________.‎ ‎【解析】 由S5==44,‎ 得a1=4.‎ ‎【答案】 4‎ ‎4.设Sn为等比数列{an}的前n项和,‎8a2+a5=0,则=________.‎ ‎【解析】 由‎8a2+a5=0,‎ 得=-8,即q3=-8,‎ 所以q=-2.‎ ===-11.‎ ‎【答案】 -11‎ ‎[小组合作型]‎ 等比数列的前n项和公式的基本运算 ‎ 在等比数列{an}中,‎ ‎(1)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n;‎ ‎(2)若a3=,S3=,求a1和公比q.‎ ‎【精彩点拨】 利用等比数列的前n项和公式及通项公式,列出方程组求相应各个量.‎ ‎【自主解答】 (1)法一:由Sn=,an=a1qn-1以及已知条件得 ‎∴a1·2n=192,‎ ‎∴2n=.‎ ‎∴189=a1(2n-1)=a1,‎ ‎∴a1=3.‎ 9‎ 又∵2n-1==32,∴n=6.‎ 法二:由公式Sn=及条件得 ‎189=,解得a1=3,‎ 又由an=a1·qn-1,‎ 得96=3·2n-1,解得n=6.‎ ‎(2)①当q≠1时,S3==,‎ 又a3=a1·q2=,‎ ‎∴a1(1+q+q2)=,‎ 即(1+q+q2)=,‎ 解得q=-(q=1舍去),∴a1=6.‎ ‎②当q=1时,S3=‎3a1,∴a1=.‎ 综上得或 ‎1.在等比数列 {an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过列方程组求解,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.‎ ‎2.在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.在等比数列{an}中,‎ ‎(1)若q=2,S4=1,求S8; ‎ ‎【导学号:18082035】‎ ‎(2)若a1+a3=10,a4+a6=,求a4和S5.‎ ‎【解】 (1)法一:设首项为a1,∵q=2,‎ S4=1,∴=1,即a1=,‎ 9‎ ‎∴S8===17.‎ 法二:∵S4==1,且q=2,‎ ‎∴S8==(1+q4)=S4·(1+q4)=1×(1+24)=17.‎ ‎(2)设公比为q,由通项公式及已知条件得 即 ‎∵a1≠0,1+q2≠0,‎ ‎∴②÷①得,q3=,即q=,‎ ‎∴a1=8.‎ ‎∴a4=a1q3=8×=1,‎ S5===.‎ 等比数列前n项和公式的实际应用 ‎ 借贷10 000元,以月利率为1%,每月以复利计息借贷,王老师从借贷后第二个月开始等额还贷,分6个月付清,试问每月应支付多少元?(1.016≈1.061,1.015≈1.051)‎ ‎【精彩点拨】 解决等额还贷问题关键要明白以下两点 ‎(1)所谓复利计息,即把上期的本利和作为下一期本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,复利的计算公式为S=P(1+r)n,其中P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本利和.‎ ‎(2)从还贷之月起,每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列,首项是什么,公比或公差是多少.‎ ‎【自主解答】 法一:设每个月还贷a元,第1个月后欠款为a0元,以后第n个月还贷a元后,还剩下欠款an元(1≤n≤6),‎ 则a0=10 000,a1=‎1.01a0-a,‎ a2=‎1.01a1-a=‎1.012a0-(1+1.01)a,‎ ‎…‎ a6=‎1.01a5-a=…=‎1.016a0-[1+1.01+…+1.015]a.‎ 由题意,可知a6=0,‎ 9‎ 即‎1.016a0-[1+1.01+…+1.015]a=0,‎ a=.‎ ‎∵1.016=1.061,‎ ‎∴a=≈1 739.‎ 故每月应支付1 739元.‎ 法二:一方面,借款10 000元,将此借款以相同的条件存储6个月,则它的本利和为 S1=104(1+0.01)6=104×(1.01)6(元).‎ 另一方面,设每个月还贷a元,分6个月还清,到贷款还清时,其本利和为 S2=a(1+0.01)5+a(1+0.01)4+…+a ‎= ‎=a[1.016-1]×102(元).‎ 由S1=S2,得a=.‎ 以下解法同法一,得a≈1 739,故每月应支付1 739元.‎ 解数列应用题的具体方法步骤:‎ (1)认真审题,准确理解题意,达到如下要求,①明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,还是含有递推关系的数列问题?是求an,还是求Sn?特别要注意准确弄清项数是多少.,②弄清题目中主要的已知事项.‎ (2)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达 (3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,列出满足题意的数学关系式.‎ ‎[再练一题]‎ ‎2.为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨,该矿区计划从2014年开始出口,当年出口a吨,以后每年出口量均比上一年减少10%.‎ ‎(1)以2014年为第一年,设第n年出口量为an吨,试求an的表达式;‎ ‎(2)因稀土资源不能再生,国家计划10年后终止该矿区的出口,问2014年最多出口多少吨?(保留一位小数.参考数据:0.910≈0.35.)‎ ‎【解】 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项a1=a,公比q=1-10%=0.9,∴an=a·0.9n-1(n≥1).‎ 9‎ ‎(2)10年的出口总量 S10==‎10a(1-0.910).‎ ‎∵S10≤80,‎ ‎∴‎10a(1-0.910)≤80,即a ≤,‎ ‎∴a≤12.3,故2014年最多出口12.3吨.‎ ‎[探究共研型]‎ 错位相减法求和 探究1 由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗?是等差数列吗?该数列的前n项和Sn的表达式是什么?‎ ‎【提示】 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·2n}既不是等差数列,也不是等比数列.该数列的前n项和Sn的表达式为Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n.‎ 探究2 在等式 Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后,该等式的变形形式是什么?认真观察两式的结构特征,你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗?‎ ‎【提示】 在等式Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n ①‎ 两边同乘以{2n}的公比可变形为 ‎2Sn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1 ②‎ ‎②-①得:Sn=-1·21-22-23-24-…-2n+n·2n+1‎ ‎=-(21+22+23+…+2n)+n·2n+1.‎ 此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题.我们把这种求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前n项和的方法叫错位相减法.‎ ‎ 已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【精彩点拨】 (1)利用Sn与an的关系求出an,再利用待定系数法求出bn.(2)先化简cn,再利用错位相减法求和.‎ ‎【自主解答】 (1)由题意知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,‎ 当n=1时,a1=S1=11,满足上式,‎ 所以an=6n+5.‎ 设数列{bn}的公差为d.‎ 由即 可解得所以bn=3n+1.‎ 9‎ ‎(2)由(1)知cn==3(n+1)·2n+1,‎ 又Tn=c1+c2+…+cn,‎ 得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],‎ ‎2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],‎ 两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]‎ ‎=3× ‎=-3n·2n+2,‎ 所以Tn=3n·2n+2.‎ 错位相减法的适用范围及注意事项:‎ (1)适用范围:它主要适用于{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前n项和.‎ (2)注意事项:‎ ‎①利用“错位相减法”时,在写出Sn与qSn的表达式时,应注意使两式错对齐,以便于作差,正确写出(1-q)Sn的表达式.‎ ‎②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况.‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.+++…+=________.‎ ‎【解析】 令Sn=+++…+,①‎ 则Sn=+++…++,②‎ 由①-②得,Sn=+++…+- ‎=-,‎ 得Sn=2--=.‎ 9‎ ‎【答案】  ‎1.数列 {2n-1}的前99项和为(  )‎ A.2100-1 B.1-2100‎ C.299-1 D.1-299‎ ‎【解析】 数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S99==299-1.‎ ‎【答案】 C ‎2.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于(  ) ‎ ‎【导学号:18082036】‎ A.2 B. C.4 D. ‎【解析】 a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得,a4-a3=‎3a3即a4=‎4a3,∴q=4.‎ ‎【答案】 C ‎ ‎3.已知等比数列{an}中,q=2,n=5,Sn=62,则a1=________.‎ ‎【解析】 ∵q=2,n=5,Sn=62,‎ ‎∴=62,‎ 即=62,‎ ‎∴a1=2.‎ ‎【答案】 2‎ ‎4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=‎3a3,则公比q=________.‎ ‎【解析】 ∵S3=a1+a2+a3=‎3a3,∴a1+a2=‎2a3,∵a1≠0,∴1+q=2q2,即2q2-q-1=0,∴q=-或1.‎ ‎【答案】 -或1‎ ‎5.已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.‎ 9‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求{bn}的前n项和.‎ ‎【解】 (1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.‎ 所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.‎ ‎(2)由(1)知anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=,‎ 因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.‎ 记{bn}的前n项和为Sn,‎ 则Sn==-.‎ 9‎