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- 2021-06-15 发布
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第1课时 等比数列的前n项和
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.(重点)
2.会用错位相减法求数列的和.(难点)
3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.
[基础·初探]
教材整理 等比数列的前n项和
阅读教材P48~P50,完成下列问题.
等比数列的前n项和公式
1.设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{an}前7项的和为________.
【解析】 ∵a5=a1q4,∴q=±2.∵q>0,∴q=2,
∴S7===127.
【答案】 127
2.在等比数列{an}中,a1=2,S3=26,则公比q=________.
【解析】 ∵S3===26,∴q2+q-12=0,∴q=3或-4.
9
【答案】 3或-4
3.等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1=________.
【解析】 由S5==44,
得a1=4.
【答案】 4
4.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=________.
【解析】 由8a2+a5=0,
得=-8,即q3=-8,
所以q=-2.
===-11.
【答案】 -11
[小组合作型]
等比数列的前n项和公式的基本运算
在等比数列{an}中,
(1)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n;
(2)若a3=,S3=,求a1和公比q.
【精彩点拨】 利用等比数列的前n项和公式及通项公式,列出方程组求相应各个量.
【自主解答】 (1)法一:由Sn=,an=a1qn-1以及已知条件得
∴a1·2n=192,
∴2n=.
∴189=a1(2n-1)=a1,
∴a1=3.
9
又∵2n-1==32,∴n=6.
法二:由公式Sn=及条件得
189=,解得a1=3,
又由an=a1·qn-1,
得96=3·2n-1,解得n=6.
(2)①当q≠1时,S3==,
又a3=a1·q2=,
∴a1(1+q+q2)=,
即(1+q+q2)=,
解得q=-(q=1舍去),∴a1=6.
②当q=1时,S3=3a1,∴a1=.
综上得或
1.在等比数列 {an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过列方程组求解,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
2.在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.
[再练一题]
1.在等比数列{an}中,
(1)若q=2,S4=1,求S8;
【导学号:18082035】
(2)若a1+a3=10,a4+a6=,求a4和S5.
【解】 (1)法一:设首项为a1,∵q=2,
S4=1,∴=1,即a1=,
9
∴S8===17.
法二:∵S4==1,且q=2,
∴S8==(1+q4)=S4·(1+q4)=1×(1+24)=17.
(2)设公比为q,由通项公式及已知条件得
即
∵a1≠0,1+q2≠0,
∴②÷①得,q3=,即q=,
∴a1=8.
∴a4=a1q3=8×=1,
S5===.
等比数列前n项和公式的实际应用
借贷10 000元,以月利率为1%,每月以复利计息借贷,王老师从借贷后第二个月开始等额还贷,分6个月付清,试问每月应支付多少元?(1.016≈1.061,1.015≈1.051)
【精彩点拨】 解决等额还贷问题关键要明白以下两点
(1)所谓复利计息,即把上期的本利和作为下一期本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,复利的计算公式为S=P(1+r)n,其中P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本利和.
(2)从还贷之月起,每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列,首项是什么,公比或公差是多少.
【自主解答】 法一:设每个月还贷a元,第1个月后欠款为a0元,以后第n个月还贷a元后,还剩下欠款an元(1≤n≤6),
则a0=10 000,a1=1.01a0-a,
a2=1.01a1-a=1.012a0-(1+1.01)a,
…
a6=1.01a5-a=…=1.016a0-[1+1.01+…+1.015]a.
由题意,可知a6=0,
9
即1.016a0-[1+1.01+…+1.015]a=0,
a=.
∵1.016=1.061,
∴a=≈1 739.
故每月应支付1 739元.
法二:一方面,借款10 000元,将此借款以相同的条件存储6个月,则它的本利和为
S1=104(1+0.01)6=104×(1.01)6(元).
另一方面,设每个月还贷a元,分6个月还清,到贷款还清时,其本利和为
S2=a(1+0.01)5+a(1+0.01)4+…+a
=
=a[1.016-1]×102(元).
由S1=S2,得a=.
以下解法同法一,得a≈1 739,故每月应支付1 739元.
解数列应用题的具体方法步骤:
(1)认真审题,准确理解题意,达到如下要求,①明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,还是含有递推关系的数列问题?是求an,还是求Sn?特别要注意准确弄清项数是多少.,②弄清题目中主要的已知事项.
(2)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达
(3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,列出满足题意的数学关系式.
[再练一题]
2.为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨,该矿区计划从2014年开始出口,当年出口a吨,以后每年出口量均比上一年减少10%.
(1)以2014年为第一年,设第n年出口量为an吨,试求an的表达式;
(2)因稀土资源不能再生,国家计划10年后终止该矿区的出口,问2014年最多出口多少吨?(保留一位小数.参考数据:0.910≈0.35.)
【解】 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项a1=a,公比q=1-10%=0.9,∴an=a·0.9n-1(n≥1).
9
(2)10年的出口总量
S10==10a(1-0.910).
∵S10≤80,
∴10a(1-0.910)≤80,即a ≤,
∴a≤12.3,故2014年最多出口12.3吨.
[探究共研型]
错位相减法求和
探究1 由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗?是等差数列吗?该数列的前n项和Sn的表达式是什么?
【提示】 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·2n}既不是等差数列,也不是等比数列.该数列的前n项和Sn的表达式为Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n.
探究2 在等式 Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后,该等式的变形形式是什么?认真观察两式的结构特征,你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗?
【提示】 在等式Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n ①
两边同乘以{2n}的公比可变形为
2Sn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1 ②
②-①得:Sn=-1·21-22-23-24-…-2n+n·2n+1
=-(21+22+23+…+2n)+n·2n+1.
此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题.我们把这种求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前n项和的方法叫错位相减法.
已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
【精彩点拨】 (1)利用Sn与an的关系求出an,再利用待定系数法求出bn.(2)先化简cn,再利用错位相减法求和.
【自主解答】 (1)由题意知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,
当n=1时,a1=S1=11,满足上式,
所以an=6n+5.
设数列{bn}的公差为d.
由即
可解得所以bn=3n+1.
9
(2)由(1)知cn==3(n+1)·2n+1,
又Tn=c1+c2+…+cn,
得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],
2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],
两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]
=3×
=-3n·2n+2,
所以Tn=3n·2n+2.
错位相减法的适用范围及注意事项:
(1)适用范围:它主要适用于{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前n项和.
(2)注意事项:
①利用“错位相减法”时,在写出Sn与qSn的表达式时,应注意使两式错对齐,以便于作差,正确写出(1-q)Sn的表达式.
②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况.
[再练一题]
3.+++…+=________.
【解析】 令Sn=+++…+,①
则Sn=+++…++,②
由①-②得,Sn=+++…+-
=-,
得Sn=2--=.
9
【答案】
1.数列 {2n-1}的前99项和为( )
A.2100-1 B.1-2100
C.299-1 D.1-299
【解析】 数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S99==299-1.
【答案】 C
2.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( )
【导学号:18082036】
A.2 B.
C.4 D.
【解析】 a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得,a4-a3=3a3即a4=4a3,∴q=4.
【答案】 C
3.已知等比数列{an}中,q=2,n=5,Sn=62,则a1=________.
【解析】 ∵q=2,n=5,Sn=62,
∴=62,
即=62,
∴a1=2.
【答案】 2
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=3a3,则公比q=________.
【解析】 ∵S3=a1+a2+a3=3a3,∴a1+a2=2a3,∵a1≠0,∴1+q=2q2,即2q2-q-1=0,∴q=-或1.
【答案】 -或1
5.已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.
9
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{bn}的前n项和.
【解】 (1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.
所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.
(2)由(1)知anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=,
因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.
记{bn}的前n项和为Sn,
则Sn==-.
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