高三数学同步测试《数列与极限》 8页

高三数学同步测试—《数列与极限》 一、选择题（本题每小题 5 分，共 60 分） 1．在等比数列 }{ na 中，a1+a2=2，a3+a4=50，则公比 q 的值为 （ ） A．25 B．5 C．－5 D．±5 2．已知等差数列{an}中，a6=a3＋a8=5，则 a9 的值是 （ ） A．5 B． 15 C．20 D．25 3．给定正数 p,q,a,b,c，其中 pq，若 p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次方程 bx2_2ax+c=0 （ ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个同号的相异的实数根 D．有两个异号的相异的实数根 4．等差数列 }{ na 的前 n 项和记为 nS ，若 1062 aaa  为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 （ ） A． 6S B． 11S C． 12S D． 13S 5．设数列 na 为等差数列，且 658674 2 4 ,20042 aaaaaaa 则 等于 （ ） A．501 B．±501 C． 2004 D．± 6．已知等差数列 na 的前 n 项和为 Sn，若 m>1，且 38,0 12 2 11   mmmm Saaa ，则 m 等于 （ ） A．38 B．20 C．10 D．9 7．设等比数列 的前 n 项和为 Sn，若 2:1: 36 SS ，则 39 : SS （ ） A．1:2 B．2:3 C．3:4 D．1:3 8．某人为了观看 2008 年奥运会，从 2001 年起，每年 5 月 10 日到银行存入 a 元定期储蓄，若年利率为 p 且保持不变， 并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到 2008 年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数 （元）为 （ ） A． 7)1( pa  B． 8)1( pa  C． )]1()1[( 7 ppp a  D．     ppp a  11 8 9 ．已知   1bxxf 为 x 的 一 次 函 数 ， b 为 不 等 于 1 的 常 量 ， 且   ng      )1()],1([ )0(1 nngf n , 设      Nnngngan 1 ，则数列 na 为 （ ） A．等差数列 B．等比数列 C．递增数列 D．递减数列 10．已知 02log2log  ab ,则 nn nn n ba ba    lim 的值为 （ ） A．1 B．－1 C．0 D．不存在 11．北京市为成功举办 2008 年奥运会，决定从 2003 年到 2007 年 5 年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车 辆数比前一年递增 10%，则 2003 年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据 1.14=1.46 1.15=1.61） （ ） A．10% B．16.4% C．16.8% D．20% 12．已知 3 )(32lim,2)3(,2)3( 3    x xfxff x 则 的值为 （ ） A．－4 B．8 C．0 D．不存在 二、填空题（本题每小题 4 分，共 16 分） 13．已知等比数列 }{ na 及等差数列 }{ nb ，其中 01 b ，公差 d≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列 1，1， 2，…，则这个新数列的前 10 项之和为_________________. 14．设数列{an}满足 a1=6，a2=4，a3=3，且数列{an+1 －an}（n∈N* ） 是等差数列，求数列{an}的通项公式 __________________. 15．设   24 4  x x xf ，利用课本中推导等差数列前 n 项和方法，求          11 2 11 1 ff …      11 10f 的值为______ ___. 16．（文）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案： 则第 n 个图案中有白色地面砖____________块. （理）已知 n na      3 12 ，把数列 na 的各项排成三角形状； 记 A（m,n）表示第 m 行，第 n 列的项，则 A（10，8）= . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）： 17．（本小题满分 12 分）已知一个数列{an}的各项是 1 或 3．首项为 1，且在第 k 个 1 和第 k+1 个 1 之间有 2k-1 个 3， 即 1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…．记数列的前 n 项的和为 Sn． （1）试问第 2004 个 1 为该数列的第几项？ （2）求 a2004； （3）S2004； （4）是否存在正整数 m，使得 Sm=2004？如果存在,求出 m 的值；如果不存在,说明理由． 18．（本小题满分 12 分）如图，曲线 2 ( 0)y x y上的点 iP 与 x 轴的正半轴上的点 iQ 及原点O 构成一系列正三角形 △OP1Q1，△Q1P2Q2，…△Qn-1PnQn…设正三角形 1n n nQ P Q 的边长为 na ,n∈N﹡(记 0Q 为 ),  ,0nnQS . （1）求 1a 的值; （2）求数列{ }的通项公式 ; （3）求证:当 2n 时, 有 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 3 2n n n na a a a      . 19．（本小题满分 12 分）假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案： （Ⅰ）每年年末．．．．加 1000 元； （Ⅱ）每半年．．．结束时加 300 元。请你选择。 （1）如果在该公司干 10 年，问两种方案各加薪多少元？ （2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？ 20．（本小题满分 12 分）已知数列 na 的前 n 项的“均倒数”为 12 1 n ， （1）求 的通项公式； （2）设 12  n ac n n ，试判断并说明  Nncc nn 1 的符号； （3）（理）设函数 124)( 2  n axxxf n ，是否存在最大的实数 ，当 x 时，对 于一切自然数 ，都有 0)( xf 。 （文）已知  0 ttb na n ，数列 nb 的前 项为 nS ，求 n n n S S 1lim   的值。 y O x Q 1 Q2 P1 P2 P3 21．（本小题满分 12 分）若 Sn 和 Tn 分别表示数列{ }na 和 }{ nb 的前 n 项和，对任意正整数 )1(2.  nan n ， Tn－3Sn=4 . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）在平面直角坐标系内，直线 nl 的斜率为 nb .且与曲线 2xy  有且仅一个交点，与 y 轴交于 Dn，记 )72(||3 1 1   nDDd nnn 求 nd ； （Ⅲ）若 .1)(lim:)(2 21 1 22 1    nxxxNndd ddx nnnn nn n 求证 22．（本小题满分 14 分）已知数列 na 中， ,11 a 且点     NnaaP nn 1, 在直线 01 yx 上. （1）求数列 na 的通项公式； （2）若函数  ,2,321)( 321  nNnan n ananannf n 且 求函数 )(nf 的最小值； （3）设 n n n Sab ,1 表示数列 nb 的前项和。试问：是否存在关于 n 的整式  ng ，使得    ngSSSSS nn   11321  对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立？若 存在，写出  ng 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。 参 考 答 案 （ 二 ） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）： (1).D (2). C (3).A (4).B (5). A (6). C (7).C (8). D (9).B (10).B (11). B (12).B 提示（9）B         111111,1  ngbngngban n               bngbbbbngbbngbb  131211121      22 31 bngbb ……       nnnn bbbbgbb   1101 111 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） (13). 978； (14). 2 1872  nnan （n∈N*）； (15).5；(16).（文）4 2n （理）2· 89)3 1( 提示 13。设 }{ na 的公比为 q，由题知：       ， ， ， 22 1 10 2 1 1 1 dqa dqa a 解得       .1 2 11 d q a ， ， 则 12  n na ， nbn 1 ．这个新数列的 前 10 项之和为 )()()( 10102211 bababa   21( aa  9782 )]9(0[10 21 21)() 10 102110   bbba  14. 由已知 a2－a1= －2，a3－a2= －1，－1－(－2)=1 ∴an+1－an=( a2－a1)+(n－1)·1=n－3 n≥2 时，an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+…+(a3－a2)+(a2－a1)+a1 =(n－4)+(n－5) +…+(－1)+(－2)+6= 2 1872  nn n=1 也合适 ∴ （n∈N*） 15.     1224 4 24 4 24 41 1 1    x x x x x x xfxf 设          11 2 11 1 ffSn …… 1011 10 11 11011 10                  fff 5 nS 三、解答题（共 74 分，按步骤得分） 17. 解：将第 k 个 1 与第 k+1 个 1 前的 3 记为第 k 对，即（1，3）为第 1 对，共 1+1=2 项；（1，3，3，3）为第 2 对，共 1+（2×2-1）=4 项； )3,,3,3,3,1( 312   个共 k 为第 k 对，共 1+（2k-1） =2k 项；…．故前 k 对共有项数为 2+4+6+…+2k=k(k+1)． …………2 分 （Ⅰ）第 2004 个 1 所在的项为前 2003 对所在全部项的后 1 项， 即为 2003(2003+1)+1=4014013（项）． …………4 分 （Ⅱ）因 44×45=1980，45×46=2070，故第 2004 项在第 45 对内，从而 a2004=3．…7 分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，前 2004 项中共有 45 个 1 ，其余 1959 个数均为 3 ，于是 S2004=45+3 × 1959=5922． …………9 分 （Ⅳ）前 k 对所在全部项的和为 Sk(k+1)=k+3[k(k+1)-k]=3k2+k． 易得，S25(25+1)=3×252+25=1900，S26(26+1)=3×262+26=2054，S651=1901，且自第 652 项到第 702 项均为 3，而 2004-1901=103 不能被 3 整除，故不存在 m，使 Sm=2004．…………12 分 18. 解 （1）由条件可得 1 1 1 13,22P a a  ,代入曲线 2 ( 0)y x y得 2 1 1 1 1 3 1 2, 0,4 2 3a a a a    ; …………5 分 (2) 12nnS a a a    ∴点 1 1 1 13( , )22n n n nP S a a   代入曲线 并整理得 2 11 31 42n n nS a a, 于是当 *2,n n N时, 22 1 1 1 3 1 3 1( ) ( )4 2 4 2n n n n n n na S S a a a a        即 1 1 1 13( ) ( ) ( )24n n n n n na a a a a a       * 11 20, ( 2, )3n n n na a a a n n N       …………10 分 又当 2 1 2 2 2 3 1 4 21 , , (4 2 3 3n S a a a     时 舍去） 21 2 3aa   ,故 * 1 2 ()3nna a n N    所以数列{ na }是首项为 2 3 、公差为 2 3 的等差数列, 2 3nan ;…………12 分 19．解：设方案一第 n 年年末加薪 an，因为每年末加薪 1000 元，则 an=1000n； 设方案二第 n 个半年加薪 bn，因为每半年加薪 300 元，则 bn=300n； (1)在该公司干 10 年(20 个半年)，方案 1 共加薪 S10=a1＋a2＋……＋a10=55000 元。 方案 2 共加薪 T20=b1＋b2＋……＋b20=20×300＋ 3002 )120(20  =63000 元；……6 分 (2)设在该公司干 n 年，两种方案共加薪分别为： Sn=a1＋a2＋……＋an=1000×n＋ 10002 )1( nn =500n2＋500n T2n=b1＋b2＋……＋b2n=2n×300＋ 3002 )12(2  nn =600n2＋300n …………10 分 令 T2n≥Sn 即：600n2＋300n>500n2＋500n，解得：n≥2，当 n=2 时等号成立。 ∴如果干 3 年以上(包括 3 年)应选择第二方案；如果只干 2 年，随便选；如果只干 1 年，当然选择第一方 案。 …………12 分 20. 解：（ 1）  12121   nnaaaa nn ，  12)1(121   nnaaa n 两式相减，得  214  nnan ，  Nnnaa n  14,31 ……4 分 （2） 32 32,12 3212 14 12 1    ncnn n n ac n n n ， nnnn ccnncc   11 ,032 3 12 3 即 。 …………8 分 （3）（理）由（2）知 11 c 是数列 nc 中的最小项， ∵ x 时，对于一切自然数 n ，都有 0)( xf ，即 n n cn axx  1242 ， ∴ 14 1 2  cxx ，即 0142  xx ，解之，得 3232  xx 或 ， ∴取 32  。 ………………12 分 （文） 147314 ,   n n n n tttStb  ，  0t 当 1t 时， nSn  ， 1lim 1   n n n S S ；当 1t 时， 4 4 44 1 1 1limlim t t t S S n n nn n n        ； 当 10  t 时， 1lim 1   n n n S S 。综上得，          1, 10,1lim 4 1 tt t S S n n n ………………12 分 21．解：（ I） nnSdana nn 324)1(2 2 1  nnnST nn 5343 2  ……2 分 当 853,1 11  bTn 时 当 .2626,2 1   nbnTTbn nnnn时 ……4 分 （II）设 :nl .mxby n  由 02 2       mxbx xy mxby n n 得 由于仅有一个公共点. 分 得令 分 824)72(||3 1 56])13()43[(3 1||3 1 ))4(3,0())1(3,0()13(0 6.)13()26(: )13(4 )26( 4.04 1 22 1 2 1 22 2 2 22 2           nnDDd nnnDD nDnDnyx nxnyl nnbmmb nnn nn nn n n n （III） )12 1 12 1(11)12)(12( 212 )( 2 1 2 1 1 22 1      nnnndd dd dd ddx nn nn nn nn n …10 分 分12.1)(lim 12 11)12 1 12 1()5 1 3 1()3 11( 21 21      nxxx nnnnxxx nn n 22．（本小题满分 14 分）   , 1 1 1 1 1 ( ) 1 0 1, 1 11 1 ( 1) 1 ( 2), 1 . 3 n n n n n nn P a a x y a a a a a n n n a a n                  解:（） 点 在直线 上，即 且 数列 是以 为首项，为公差的等差数列。 也满足 分 1 1 12 ( ) ,1 2 2 1 1 1 1 1 1( 1) 2 3 4 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1( 1) ( ) 0, 62 1 2 2 1 2 2 2 2 1 7( ) ( ) (2) 812 fn n n n fn n n n n n n f n f n n n n n n n f n f n f                                 （ ） ， 分 是单调递增的，故 的最小值是 。 分 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 13 1 , ( 2), 1023 ( 1) 1, ( 1) ( 2) 1, 1 1 ( 1) ( 2) ( ) . 13 n n n n n n n n n n nn n n n b S S S nn n n nS n S S n S n S S S S S nS S S S S n S S S nS n S n n g n n                                                     （ ） 分 即 ， ， , 分 故存在 ( ) 2 14n g n n n关于 的整式 ，使等式对于一切不小于 的自然数 恒成立 分