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- 2021-06-15 发布
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规范答题系列3 高考中的立体几何问题
(对应学生用书第142页)
[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看,立体几何解答题主要出现在18题或19题的位置上,解答题一般有两个问题,第一个问题重点考查线、面的平行、垂直关系,第二个问题,有三个热点题型:一是考查空间几何体的体积;二是考查点面距离;三是与平行、垂直有关的存在性问题.
[典例示范] (本题满分12分)
(2019·全国卷Ⅱ)如图,长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.
(1)证明:BE⊥平面EB1C;
(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥EBB1C1C的体积②.
[信息提取] 看到①想到线面垂直的判定定理及其几何体中与BE有关的垂直关系;
看到②想到四棱锥的底面形状和如何求高.
[规范解答](1)证明:由已知得B1C1⊥平面ABB1A1 1分
BE平面ABB1A1,故B1C1⊥BE. 2分
又BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,
所以BE⊥平面EB1C1. 4分
(2)由(1)知∠BEB1=90°. 5分
由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E, 6分
所以∠AEB=∠A1EB1=45°, 7分
故AE=AB=3,AA1=2AE= 6.8分
如图,作EF⊥BB1,垂足为F,
则EF⊥平面BB1C1C,且EF=AB=3. 10分
所以四棱锥EBB1C1C的体积
V=×3×6×3=18.12分
[易错防范]
易错点
防范措施
证明时书写步骤不规范,缺少BE平面ABB1A1及B1C1∩EC1=C1等必要条件
严格按照线面垂直的判定定理及性质定理的要求书写
得不到AE=AB=3这个结论,而是凭感觉直接使用这个结论
在计算过程中,需要用到的结论,都需要通过推理得到
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[通性通法] 证明线面垂直的方法较多,常用的有:(1)线面垂直的判定定理;(2)面面垂直的性质定理等.体积的计算是高考的重点与热点,其方法灵活多样,而直接求解、分割、补形、等积变换是常见方法.
[规范特训] (2019·石家庄模拟)如图,已知三棱锥PABC中,PC⊥AB,△ABC是边长为2的正三角形,PB=4,∠PBC=60°.
(1)证明:平面PAC⊥平面ABC;
(2)设F为棱PA的中点,在AB上取点E,使得AE=2EB,求三棱锥FACE与四棱锥CPBEF的体积之比.
[解](1)在△PBC中,∠PBC=60°,BC=2,PB=4,
由余弦定理可得PC=2,
∴PC2+BC2=PB2,∴PC⊥BC,
又PC⊥AB,AB∩BC=B,
∴PC⊥平面ABC,
∵PC平面PAC,
∴平面PAC⊥平面ABC.
(2)设三棱锥FACE的高为h1,三棱锥PABC的高为h,
则VFACE=×S△ACE×h1
=×S△ABC××h×
=×S△ABC×h×
=×VPABC.
∴三棱锥FACE与四棱锥CPBEF的体积之比为1∶2.
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