2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第2章 2 9页

www.ks5u.com ‎2.4　圆的方程 ‎2.4.1　‎圆的标准方程 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点)‎ ‎2.会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)‎ ‎3.能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)‎ 通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.‎ ‎“南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米． ‎ 请问游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？‎ ‎1．圆的标准方程 ‎(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．‎ ‎(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．‎ ‎(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－‎ b)2＝r2.‎ 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆．‎ 思考：平面内确定圆的要素是什么？‎ ‎[提示]　圆心坐标和半径．‎ ‎2．点与圆的位置关系 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝.‎ 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d＞r ‎(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2‎ 点在圆上 d＝r ‎(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2‎ 点在圆内 d＜r ‎(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆． (　　)‎ ‎(2)若圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝m2(m≠0)，则圆心为(a，b)，半径为m. (　　)‎ ‎(3)圆心是原点的圆的标准方程是x2＋y2＝r2(r＞0)． (　　)‎ ‎[提示]　(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　)‎ A．(－2,3)，1　　　 B．(2，－3)，3‎ C．(－2,3)， D．(2，－3)， D　[由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为.]‎ ‎3．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是(　　)‎ A．x2＋y2＝2‎ B．x2＋y2＝4‎ C．(x－2)2＋(y－2)2＝8‎ D．x2＋y2＝ B　[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.]‎ ‎4．已知点P(1，－1)在圆(x＋2)2＋y2＝m的内部，则实数m的取值范围是________．‎ m＞10　[由条件知(1＋2)2＋(－1)2＜m，解得m＞10.]‎ 点与圆的位置关系 ‎【例1】　已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5,6)，求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？‎ ‎[思路探究]　先求出两直线的交点坐标即圆心坐标，再求出半径并写出方程；求出A，B，C各点与圆心的距离，分别与半径比较，判断出点与圆的位置关系．‎ ‎[解]　解方程组得 ‎∴圆心M的坐标为(0,1)，‎ 半径r＝|MP|＝＝5.‎ ‎∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.‎ ‎∵|AM|＝＝＜r，‎ ‎∴点A在圆内．‎ ‎∵|BM|＝＝＝r，‎ ‎∴点B在圆上．‎ ‎∵|CM|＝＝＞r，‎ ‎∴点C在圆外．∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50，且点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．‎ ‎1.判断点与圆的位置关系的方法 ‎(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；‎ ‎(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．‎ ‎2．灵活运用 若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1．已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．‎ ‎[解]　因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点，‎ 所以圆的半径r＝＝5，‎ 所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.‎ 因为|P1C|＝＝＝2<5，‎ 所以P1(－1,0)在圆内；‎ 因为|P2C|＝＝5，‎ 所以P2(1，－1)在圆上；‎ 因为|P3C|＝＝6>5，‎ 所以P3(3，－4)在圆外.‎ 求圆的标准方程 ‎【例2】　求过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．‎ ‎[思路探究]　法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程．‎ ‎[解]　法一：设所求圆的标准方程为 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2，‎ 由已知条件知 解此方程组，得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.‎ 法二：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，‎ ‎∴可设点C的坐标为(a,2－a)．‎ 又∵该圆经过A，B两点，‎ ‎∴|CA|＝|CB|.‎ ‎∴＝，‎ 解得a＝1.‎ ‎∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.‎ 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.‎ 法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，‎ kAB＝＝－1，‎ 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，‎ 所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，‎ 即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，‎ 由得 即圆心为(1,1)，圆的半径为 r＝＝2，‎ 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.‎ 确定圆的标准方程的方法 ‎(1)几何法 它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程．‎ ‎(2)待定系数法 由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：‎ ‎①设—设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；‎ ‎②列—由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；‎ ‎③解—解方程组，求出a，b，r；‎ ‎④代—将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎2．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的标准 方程为________．‎ ‎(x－2)2＋y2＝10　[由圆的几何性质得，圆心在AB的垂直平分线上，结合题意知，AB的垂直平分线为y＝2x－4，令y＝0，得x＝2，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径r＝＝，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.]‎ 与圆有关的最值问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？‎ ‎[提示]　可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值．‎ ‎2．若点M是⊙C内一点，那么过点M的弦中，弦长最长和最短的弦分别是哪一条？‎ ‎[提示]　弦长最长的弦是MC所在的直径，弦长最短的弦是过M且与MC垂直的弦．‎ ‎【例3】　已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求x2＋y2的最值．‎ ‎[思路探究]　首先观察x、y满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值．‎ ‎[解]　由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0,0)到圆心C(－1,0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和.‎ ‎1．[变条件]把本例中圆的方程变为(x＋1)2＋y2＝4，则过(0,0)的弦中，最长弦长为________，最短弦长为________．‎ ‎4　2　[点(0,0)在圆内，最长的弦为过O的直径，所以最大弦长为2r＝4.最短弦是过O且与过O的直径垂直的弦，因为O(0,0)与圆的距离为1，所以最短弦长为2＝2.]‎ ‎2．[变结论]本例条件不变，试求的取值范围．‎ ‎[解]　设k＝，变形为k＝，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率，‎ 由k＝，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，‎ 即≤，‎ 解得－≤k≤.‎ 即的取值范围是.‎ 与圆有关的最值问题的常见类型及解法 ‎(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．‎ ‎(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ x＋截距的最值问题．‎ ‎(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．‎ ‎1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．‎ ‎2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、简捷．‎ ‎3．与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题，渗透着直观形象的数学素养．‎ ‎4．几种特殊的对称 ‎(1)圆C关于点M对称⇔点M就是圆心．‎ ‎(2)圆C关于直线l对称⇔直线l经过圆心．‎ ‎(3)圆C1、C2关于点M对称⇔ ‎(4)圆C1、C2关于直线l对称⇔‎ ‎1．圆心为(1,1)，且过原点的圆的标准方程是(　　)‎ A．(x－1)2＋(y－1)2＝1‎ B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1‎ C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2‎ D．(x－1)2＋(y－1)2＝2‎ D　[由圆过原点知r＝＝，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，选D.]‎ ‎2．两个点M(2，－4)，N(－2,1)与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0的位置关系是(　　)‎ A．点M在圆C外，点N在圆C外 B．点M在圆C内，点N在圆C内 C．点M在圆C外，点N在圆C内 D．点M在圆C内，点N在圆C外 D　[将点的坐标代入方程左边得22＋(－4)2－2×2＋4×(－4)－4＝－4＜0，∴M点在圆内，(－2)2＋12－2×(－2)＋4×1－4＝9＞0，∴N点在圆外．故选D.]‎ ‎3．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________．‎ ‎(x－2)2＋(y－4)2＝20　[由可得，即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.]‎ ‎4．点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．‎ ‎[0,1)　[由于点在圆的内部，所以(5＋1－1)2＋()2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.]‎ ‎5．已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．‎ ‎[解]　如图，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.‎ 在Rt△AOC中，‎ ‎|OC|＝＝＝3.‎ 设点C坐标为(a,0)，‎ 则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.‎