2015年广东省高考数学试卷（文科） 22页

‎2015年广东省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）‎ ‎1．（5分）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（　　）‎ A．{0．﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1}‎ ‎2．（5分）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（　　）‎ A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2‎ ‎3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）‎ A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+ D．y=x2+sinx ‎4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（　　）‎ A．2 B．5 C．8 D．10‎ ‎5．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（　　）‎ A．3 B．2 C．2 D．‎ ‎6．（5分）若直线 l1和l2 是异面直线，l1在平面 α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）‎ A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 ‎7．（5分）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（　　）‎ A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1‎ ‎8．（5分）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．9‎ ‎9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，‎ ‎=（1，﹣2），=（2，1）则•=（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎10．（5分）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则 card（E）+card（F）=（　　）‎ A．200 B．150 C．100 D．50‎ ‎　‎ 二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）‎ ‎11．（5分）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为　　．（用区间表示）‎ ‎12．（5分）已知样本数据 x1，x2，…，xn的均值=5，则样本数据 2x1+1，2x2+1，…，2xn+1 的均值为　　．‎ ‎13．（5分）若三个正数 a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则 b=　　．‎ ‎　‎ 坐标系与参数方程选做题 ‎14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为 （t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为　　．‎ ‎　‎ 几何证明选讲选做题 ‎15．如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则 AD=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分80分）‎ ‎16．（12分）已知 tanα=2．‎ ‎（1）求tan（α+）的值；‎ ‎（2）求 的值．‎ ‎17．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求直方图中x的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？‎ ‎18．（14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．‎ ‎（1）证明：BC∥平面PDA；‎ ‎（2）证明：BC⊥PD；‎ ‎（3）求点C 到平面PDA的距离．‎ ‎19．（14分）设数列 {an}的前n项和为Sn，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1．‎ ‎（1）求a4的值；‎ ‎（2）证明：{an+1﹣an}为等比数列；‎ ‎（3）求数列{an}的通项公式．‎ ‎20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．‎ ‎（1）求圆C1的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；‎ ‎（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎21．（14分）设 a为实数，函数 f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．‎ ‎（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；‎ ‎（2）讨论 f（x）的单调性；‎ ‎（3）当a≥2 时，讨论f（x）+ 在区间 （0，+∞）内的零点个数．‎ ‎　‎ ‎2015年广东省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）‎ ‎1．（5分）（2015•广东）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（　　）‎ A．{0．﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1}‎ ‎【分析】进行交集的运算即可．‎ ‎【解答】解：M∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2015•广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（　　）‎ A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2‎ ‎【分析】利用完全平方式展开化简即可．‎ ‎【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）‎ A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+ D．y=x2+sinx ‎【分析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择．‎ ‎【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是R，‎ 对于A，﹣x+sin（﹣2x）=﹣（x+sin2x）；是奇函数；‎ 对于B，（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2﹣cosx；是偶函数；‎ 对于C，，是偶函数；‎ 对于D，（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx≠x2+sinx，x2﹣sinx≠﹣（x2+‎ sinx）；所以是非奇非偶的函数；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（　　）‎ A．2 B．5 C．8 D．10‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．‎ ‎【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），‎ 由z=2x+3y，得y=，‎ 平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．‎ 由，解得，‎ 即B（4，﹣1）．‎ 此时z的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（　　）‎ A．3 B．2 C．2 D．‎ ‎【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．‎ ‎【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，‎ 由余弦定理可得，‎ a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ 即有4=b2+12﹣4×b，‎ 解得b=2或4，‎ 由b＜c，可得b=2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2015•广东）若直线 l1和l2 是异面直线，l1在平面 α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）‎ A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 ‎【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可推出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．‎ ‎【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：‎ ‎∴该选项错误；‎ B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；‎ C．l可以和l1，l2都相交，如下图：‎ ‎，∴该选项错误；‎ D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；‎ ‎∵l和l1，l2都共面；‎ ‎∴l和l1，l2都平行；‎ ‎∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；‎ ‎∴该选项正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2015•广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（　　）‎ A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1‎ ‎【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．‎ ‎【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；‎ ‎∴基本事件总数为10；‎ 设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；‎ ‎∴P（A）==0.6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2015•广东）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1‎ ‎（﹣4，0），则m=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．9‎ ‎【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．‎ ‎【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），‎ ‎∴25﹣m2=16，‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴m=3，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【分析】由向量加法的平行四边形法则可求=的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求 ‎【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，==（3，﹣1）．‎ ‎∴=3×2+（﹣1）×1=5．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2015•广东）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则 card（E）+card（F）=（　　）‎ A．200 B．150 C．100 D．50‎ ‎【分析】‎ 对于集合E，s=4时，p，q，r从0，1，2，3任取一数都有4种取法，从而构成的元素（p，q，r，s）有4×4×4=64个，再讨论s=3，2，1的情况，求法一样，把每种情况下元素个数相加即可得到集合E的元素个数，而对于集合F，需讨论两个数：u，w，方法类似，最后把求得的集合E，F元素个数相加即可．‎ ‎【解答】解：（1）s=4时，p，q，r的取值的排列情况有4×4×4=64种；‎ s=3时，p，q，r的取值的排列情况有3×3×3=27种；‎ s=2时，有2×2×2=8种；‎ s=1时，有1×1×1=1种；‎ ‎∴card（E）=64+27+8+1=100；‎ ‎（2）u=4时：若w=4，t，v的取值的排列情况有4×4=16种；‎ 若w=3，t，v的取值的排列情况有4×3=12种；‎ 若w=2，有4×2=8种；‎ 若w=1，有4×1=4种；‎ u=3时：若w=4，t，v的取值的排列情况有3×4=12种；‎ 若w=3，t，v的取值的排列情况有3×3=9种；‎ 若w=2，有3×2=6种；‎ 若w=1，有3×1=3种；‎ u=2时：若w=4，t，v的取值的排列情况有2×4=8种；‎ 若w=3，有2×3=6种；‎ 若w=2，有2×2=4种；‎ 若w=1，有2×1=2种；‎ u=1时：若w=4，t，v的取值的排列情况有1×4=4种；‎ 若w=3，有1×3=3种；‎ 若w=2，有1×2=2种；‎ 若w=1，有1×1=1种；‎ ‎∴card（F）=100；‎ ‎∴card（E）+card（F）=200．‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）‎ ‎11．（5分）（2015•广东）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为　（﹣4，1）　．（用区间表示）‎ ‎【分析】首先将二次项系数化为正数，然后利用因式分解法解之．‎ ‎【解答】解：原不等式等价于x2+3x﹣4＜0，所以（x+4）（x﹣1）＜0，所以﹣4＜x＜1；‎ 所以不等式的解集为（﹣4，1）；‎ 故答案为：（﹣4，1）．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2015•广东）已知样本数据 x1，x2，…，xn的均值=5，则样本数据 2x1+1，2x2+1，…，2xn+1 的均值为　11　．‎ ‎【分析】利用平均数计算公式求解 ‎【解答】解：∵数据x1，x2，…，xn的平均数为均值=5，‎ 则样本数据 2x1+1，2x2+1，…，2xn+1 的均值为：=5×2+1=11；‎ 故答案为：11．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2015•广东）若三个正数 a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则 b=　1　．‎ ‎【分析】由已知可得，b2=ac，代入已知条件即可求解b ‎【解答】解：∵三个正数 a，b，c 成等比数列，‎ ‎∴b2=ac，‎ ‎∵a=5+2，c=5﹣2，‎ ‎∴=1，‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ 坐标系与参数方程选做题 ‎14．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为 （t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为　（2，﹣4）　．‎ ‎【分析】曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，把代入可得直角坐标方程．曲线C2的参数方程为 （t为参数），化为普通方程：y2=8x．联立解出即可．‎ ‎【解答】解：曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，化为直角坐标方程：x+y+2=0．‎ 曲线C2的参数方程为 （t为参数），化为普通方程：y2=8x．‎ 联立，解得，‎ 则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．‎ 故答案为：（2，﹣4）．‎ ‎　‎ 几何证明选讲选做题 ‎15．（2015•广东）如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则 AD=　3　．‎ ‎【分析】连接OC，则OC⊥DE，可得，由切割线定理可得CE2=BE•AE，求出BE，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：连接OC，则OC⊥DE，‎ ‎∵AD⊥DE，‎ ‎∴AD∥OC，‎ ‎∴‎ 由切割线定理可得CE2=BE•AE，‎ ‎∴12=BE•（BE+4），‎ ‎∴BE=2，‎ ‎∴OE=4，‎ ‎∴，‎ ‎∴AD=3‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分80分）‎ ‎16．（12分）（2015•广东）已知 tanα=2．‎ ‎（1）求tan（α+）的值；‎ ‎（2）求 的值．‎ ‎【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可．‎ ‎（2）利用二倍角公式化简求解即可．‎ ‎【解答】解：tanα=2．‎ ‎（1）tan（α+）===﹣3；‎ ‎（2）==‎ ‎==1．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2015•广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求直方图中x的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？‎ ‎【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；‎ ‎（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；‎ ‎（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．‎ ‎【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，‎ 解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；‎ ‎（2）月平均用电量的众数是=230，‎ ‎∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，‎ ‎∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，‎ 设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，‎ ‎∴月平均用电量的中位数为224；‎ ‎（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，‎ 月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，‎ 月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，‎ 月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，‎ ‎∴抽取比例为=，‎ ‎∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．‎ ‎　‎ ‎18．（14分）（2015•广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．‎ ‎（1）证明：BC∥平面PDA；‎ ‎（2）证明：BC⊥PD；‎ ‎（3）求点C 到平面PDA的距离．‎ ‎【分析】（1）利用四边形ABCD是长方形，可得BC∥AD，根据线面平行的判定定理，即可得出结论；‎ ‎（2）利用平面与平面垂直的性质定理得出BC⊥平面PDC，即可证明BC⊥PD；‎ ‎（3）利用等体积法，求点C到平面PDA的距离．‎ ‎【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，‎ 因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA；‎ ‎（2）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，‎ 因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂面ABCD，‎ 所以BC⊥平面PDC，‎ 因为PD⊂平面PDC，‎ 所以BC⊥PD；‎ ‎（3）解：取CD的中点E，连接AE和PE，‎ 因为PD=PC，所以PE⊥CD，‎ 在Rt△PED中，PE===．‎ 因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，‎ 所以PE⊥平面ABCD．‎ 由（2）知：BC⊥平面PDC，‎ 由（1）知：BC∥AD，‎ 所以AD⊥平面PDC，‎ 因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．‎ 设点C到平面PDA的距离为h．‎ 因为VC﹣PDA=VP﹣ACD，‎ 所以，‎ 所以h==，‎ 所以点C到平面PDA的距离是．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2015•广东）设数列 {an}的前n项和为Sn，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1．‎ ‎（1）求a4的值；‎ ‎（2）证明：{an+1﹣an}为等比数列；‎ ‎（3）求数列{an}的通项公式．‎ ‎【分析】（1）直接在数列递推式中取n=2，求得；‎ ‎（2）由4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1（n≥2），变形得到4an+2+an=4an+1（n≥2），进一步得到，由此可得数列{}是以为首项，公比为的等比数列；‎ ‎（3）由{}是以为首项，公比为的等比数列，可得．进一步得到，说明{}是以为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列{an}的通项公式．‎ ‎【解答】（1）解：当n=2时，4S4+5S2=8S3+S1，即，‎ 解得：；‎ ‎（2）证明：∵4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1（n≥2），∴4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn（n≥2），‎ 即4an+2+an=4an+1（n≥2），‎ ‎∵，∴4an+2+an=4an+1．‎ ‎∵=．‎ ‎∴数列{}是以=1为首项，公比为的等比数列；‎ ‎（3）解：由（2）知，{}是以为首项，公比为的等比数列，‎ ‎∴．‎ 即，‎ ‎∴{}是以为首项，4为公差的等差数列，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴数列{an}的通项公式是．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．‎ ‎（1）求圆C1的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；‎ ‎（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；‎ ‎（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；‎ ‎（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，‎ 整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，‎ ‎∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；‎ ‎（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），‎ 联立方程组，‎ 消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，‎ 由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜‎ 由韦达定理，可得x1+x2=，‎ ‎∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，‎ ‎∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；‎ ‎（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．‎ 理由如下：‎ 联立方程组，‎ 消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，‎ 令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，‎ 又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，‎ ‎∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，‎ k的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2015•广东）设 a为实数，函数 f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．‎ ‎（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；‎ ‎（2）讨论 f（x）的单调性；‎ ‎（3）当a≥2 时，讨论f（x）+ 在区间 （0，+∞）内的零点个数．‎ ‎【分析】（1）利用f（0）≤1，得到|a|+a﹣1≤0，对a分类讨论求解不等式的解集即可．‎ ‎（2）化简函数f（x）的解析式，通过当x＜a时，当x≥a时，利用二次函数f（x）的对称轴求解函数的单调区间即可．‎ ‎（3）化简F（x）=f（x）+‎ ‎，求出函数的导数，利用导函数的符号，通过a的讨论判断函数的单调性，然后讨论函数的零点的个数．‎ ‎【解答】解：（1）若f（0）≤1，即：a2+|a|﹣a（a﹣1）≤1．可得|a|+a﹣1≤0，‎ 当a≥0时，a，可得a∈[0，]．‎ 当a＜0时，|a|+a﹣1≤0，恒成立．‎ 综上a．‎ ‎∴a的取值范围：；‎ ‎（2）函数 f（x）==，‎ 当x＜a时，函数f（x）的对称轴为：x==a+＞a，‎ y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数，‎ 当x≥a时，函数f（x）的对称轴为：x==a﹣＜a，‎ y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，‎ ‎（3）F（x）=f（x）+=，‎ ‎，‎ 当x＜a时，=，‎ 所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数．‎ 当x≥a时，因为a≥2，所以，F′（x）=═‎ ‎，‎ 所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数．‎ F（a）=a﹣a2+．当a=2时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣a2+，‎ F′（a）=1﹣2a==．‎ 所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，‎ 所以F（a）＜，即F（a）＜0，‎ 当x＞0且x→0时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点．‎ 综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：wkl197822；changq；maths；双曲线；刘长柏；吕静；沂蒙松；qiss；lincy；sxs123；cst（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日