西藏拉萨市2020届高三第二次模拟考试数学（理）试题 Word版含解析 21页

拉萨市2020届高三第二次模拟考试试卷 理科数学 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回..‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在复平面内，复数对应的点的坐标为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的乘法运算以及复数表示的几何意义即可求解.‎ ‎【详解】复数i(2+i)=2i﹣1，故复数对应的点的坐标为(﹣1，2)，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的乘法运算以及复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎2.已知集合，，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由，得，选C.‎ ‎【考点】集合的交集运算.‎ ‎【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．‎ ‎2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．‎ ‎3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．‎ ‎4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．‎ ‎3.下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，进而可得出结果.‎ ‎【详解】对于A选项，函数在区间上为增函数；‎ 对于B选项，函数在区间上为增函数；‎ 对于C选项，函数在区间上为减函数；‎ 对于D选项，函数在区间上为增函数.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.‎ ‎4.函数的定义域为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域.‎ ‎【详解】由题意可得，解得或.‎ 因此，函数的定义域为或.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.英国统计学家辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：‎ 法官甲 终审结果 民事庭 行政庭 合计 维持 ‎29‎ ‎100‎ ‎129‎ 推翻 ‎3‎ ‎18‎ ‎21‎ 合计 ‎32‎ ‎118‎ ‎150‎ 法官乙 终审结果 民事庭 行政庭 合计 维持 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 推翻 ‎10‎ ‎5‎ ‎15‎ 合计 ‎100‎ ‎25‎ ‎125‎ 记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为，和，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为，和，则下面说法正确的是（ ）‎ A. ，， B. ，，‎ C. ，， D. ，，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出法官甲、乙民事庭维持原判的案件率为，，行政庭维持原判的案件率，，总体上维持原判的案件率为的值，即可得到答案．‎ ‎【详解】由题意，可得法官甲民事庭维持原判的案件率为，行政庭维持原判的案件率，总体上维持原判的案件率为；‎ 法官乙民事庭维持原判的案件率为，行政庭维持原判的案件率为，总体上维持原判的案件率为．‎ 所以，，．选 D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率公式的应用，其中解答中认真审题，根据表中的数据，利用古典概型及其概率的公式分别求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎6.圆心为且和轴相切的圆的方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.‎ ‎【详解】圆心为且和轴相切的圆的半径为，因此，所求圆的方程为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7.为得到的图象，只需要将的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D．‎ 考点：三角函数的图像变换．‎ ‎8.若正整数除以正整数的余数为，则记为，例如.如图程序框图的算法源于我国古化著名的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的等于（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 8 D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟执行程序，根据循环结构，逐步执行，即可得到结果.‎ ‎【详解】模拟执行程序如下：‎ 开始，‎ ‎，不满足，‎ 故，满足，但不满足，‎ 故，不满足，‎ 故，满足，满足，‎ 输出.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查循环结构语句的执行，只需按照程序框图模拟执行即可，属基础题.‎ ‎9.羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从名男生，，和名女生，，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据组合知识，计算出选出的人分成两队混合双打的总数为，然后计算和分在一组的数目为，最后简单计算，可得结果.‎ ‎【详解】由题可知：‎ 分别从3名男生、3名女生中选2人 ：‎ 将选中2名女生平均分为两组：‎ 将选中2名男生平均分为两组：‎ 则选出的人分成两队混合双打的总数为：‎ 和分在一组的数目为 所以所求的概率为 故选：B ‎【点睛】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成组，则要除以，即，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.‎ ‎10.设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，求出球的半径，然后求解球的体积．‎ ‎【详解】解：因为切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，‎ 所以球的半径为：．‎ 所以球的体积为：．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力，属于基础题．‎ ‎11.已知点、．若点在函数的图象上，则使得的面积为 的点的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出点的坐标，以为底结合的面积计算出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于的方程，求出方程的解，即可得出结论.‎ ‎【详解】设点的坐标为，直线的方程为，即，‎ 设点到直线的距离为，则，解得，‎ 另一方面，由点到直线的距离公式得，‎ 整理得或，，解得或或.‎ 综上，满足条件的点共有三个．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．‎ ‎12.设是等差数列，且公差不为零，其前项和为．则“，”是“为递增数列”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的前项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】是等差数列，且公差不为零，其前项和为，‎ 充分性：，则对任意的恒成立，则，‎ ‎，若，则数列为单调递减数列，则必存在，使得当时，，则，不合乎题意；‎ 若，由且数列为单调递增数列，则对任意的，，合乎题意.‎ 所以，“，”“为递增数列”；‎ 必要性：设，当时，，此时，，但数列是递增数列.‎ 所以，“，”“为递增数列”.‎ 因此，“，”是“为递增数列”的充分而不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前项和公式是解决本题的关键，属于中等题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，结合题意可求得正实数的值.‎ ‎【详解】双曲线的渐近线方程为，‎ 由于该双曲线的一条渐近线方程为，，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.已知向量，，且，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.‎ ‎【详解】，且，则，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，涉及垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎15.在中，，，，则________，的面积为________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理可求得的值，进而可得出的值，最后利用三角形的面积公式可得出的面积.‎ ‎【详解】由余弦定理得，则，‎ 因此，的面积为.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎16.函数的定义域为，其图象如图所示．函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，．给出下列三个结论： ‎ ‎①；‎ ‎②函数在内有且仅有个零点；‎ ‎③不等式的解集为．‎ 其中，正确结论的序号是________．‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数和，得出函数的周期为，由图可直接判断①；利用赋值法求得，结合，进而可判断函数在内的零点个数，可判断②的正误；采用换元法，结合图象即可得解，可判断③的正误.综合可得出结论.‎ ‎【详解】因为函数是奇函数，所以，‎ 又，所以，即，‎ 所以，函数的周期为.‎ 对于①，由于函数是上的奇函数，所以，，故①正确；‎ 对于②，，令，可得，得，‎ 所以，函数在区间上的零点为和.‎ 因为函数的周期为，所以函数在内有个零点，分别是、、、、，故②错误；‎ 对于③，令，则需求的解集，由图象可知，，所以，故③正确.‎ 故答案为：①③.‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象与性质，涉及奇偶性、周期性和零点等知识点，考查学生分析问题的能力和数形结合能力，属于中等题．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23‎ 题为选考题，考生根据要求作答..‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.记为数列的前项和，N.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）令，证明数列是等比数列，并求其前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见详解，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，可得，然后作差，可得结果.‎ ‎（2）根据（1）的结论，用取代，得到新的式子，然后作差，可得结果，最后根据等比数列的前项和公式，可得结果.‎ ‎【详解】（1）由①，则②‎ ‎②-①可得：‎ 所以 ‎（2）由（1）可知：③‎ 则④‎ ‎④-③可得：‎ 则，且 令，则，‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列 所以 ‎【点睛】本题主要考查递推公式以及之间的关系的应用，考验观察能力以及分析能力，属中档题.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，、分别为、的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用中位线的性质得出，然后利用线面平行的判定定理可证明出平面；‎ ‎（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以．‎ 又因为平面，平面，所以平面；‎ ‎（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，‎ 则，，，，，‎ ‎，，．‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，令，则，，所以．‎ 设直线与平面所成角为，所以．‎ 因此，直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成的角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎19.某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如下的频率分布直方图：‎ ‎（1）根据频率分布直方图，求这个零件尺寸的中位数（结果精确到）；‎ ‎（2）若从这个零件中尺寸位于之外的零件中随机抽取个，设表示尺寸在上的零件个数，求的分布列及数学期望；‎ ‎（3）已知尺寸在上的零件为一等品，否则为二等品，将这个零件尺寸的样本频率视为概率. 现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱个. 企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为元. 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付元的赔偿费用. 现对一箱零件随机抽检了个，结果有个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见详解，期望为；（3）余下所有零件不用检验，理由见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算的频率，并且与进行比较，判断中位数落在的区间，然后根据频率的计算方法，可得结果.‎ ‎（2）计算位于之外的零件中随机抽取个的总数，写出 所有可能取值，并计算相对应的概率，列出分布列，计算期望，可得结果.‎ ‎（3）计算整箱的费用，根据余下零件个数服从二项分布，可得余下零件个数的期望值，然后计算整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值，进行比较，可得结果.‎ ‎【详解】（1）尺寸在的频率：‎ 尺寸在的频率：‎ 且 所以可知尺寸的中位数落在 假设尺寸中位数为 所以 所以这个零件尺寸中位数 ‎（2）尺寸在的个数为 尺寸在的个数为 的所有可能取值为1，2，3，4‎ 则，‎ ‎，‎ 所以的分布列为 ‎（3）二等品的概率为 如果对余下的零件进行检验则整箱的检验费用为 ‎（元）‎ 余下二等品的个数期望值为 如果不对余下的零件进行检验，‎ 整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值为 ‎（元）‎ 所以，所以可以不对余下的零件进行检验.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，掌握中位数，平均数，众数的计算方法，中位数的理解应该从中位数开始左右两边的频率各为0.5，考验分析能力以及数据处理，属中档题.‎ ‎20.已知函数，．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的极小值；‎ ‎（3）求函数零点个数．‎ ‎【答案】（1）；（2）极小值；（3）函数的零点个数为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；‎ ‎（2）利用导数分析函数的单调性，进而可得出该函数的极小值；‎ ‎（3）由当时，以及，结合函数在区间上的单调性可得出函数的零点个数.‎ ‎【详解】（1）因为，所以．‎ 所以，．‎ 所以曲线在点处的切线为；‎ ‎（2）因为，令，得或．‎ 列表如下：‎ ‎0‎ 极大值 极小值 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，‎ 所以，当时，函数有极小值；‎ ‎（3）当时，，且．‎ 由（2）可知，函数在上单调递增，所以函数的零点个数为．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、极值以及利用导数研究函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎21.已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，焦距为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点、，设为直线上一点，且直线、的斜率的积为．证明：点在轴上．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知条件得出、的值，进而可得出的值，由此可求得椭圆的方程；‎ ‎（2）设点，可得，且，，求出直线的斜率，进而可求得直线与的方程，将直线直线与的方程联立，求出点的坐标，即可证得结论.‎ 详解】（1）由题设，得，所以，即．‎ 故椭圆的方程为；‎ ‎（2）设，则，，．‎ 所以直线斜率为，‎ 因为直线、的斜率的积为，所以直线的斜率为．‎ 直线的方程为，直线的方程为．‎ 联立，解得点的纵坐标为．‎ 因为点在椭圆上，所以，则，所以点在轴上．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4--4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.已知曲线的参数方程为为参数， 曲线的参数方程为为参数).‎ ‎（1）求与的普通方程；‎ ‎（2）若与相交于，两点，且，求的值.‎ ‎【答案】（1），（2）0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；‎ ‎（2）把直线的参数方程代入的普通方程，化为关于的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时的几何意义求解．‎ ‎【详解】（1）由曲线的参数方程为为参数），消去参数，可得；‎ 由曲线的参数方程为为参数），消去参数，可得，即．‎ ‎（2）把为参数）代入，‎ 得．‎ ‎，．‎ ‎．‎ 解得：，即，满足△．‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数的几何意义的应用，是中档题．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23.已知，，且.‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用基本不等式即可求得最小值；‎ ‎（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．‎ ‎【详解】（1），当且仅当“”时取等号，‎ 故的最小值为；‎ ‎（2），‎ 当且仅当时取等号，此时．‎ 故．‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．‎