高中数学第6章（第11课时）不等式的证明（6） 5页

课 题：不等式的证明（6）‎ 教学目的：‎ 要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式 教学重点：构造法 教学难点： 构造法 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎ 1．重要不等式：‎ 如果 ‎2．定理：如果a,b是正数，那么 ‎3公式的等价变形：ab≤，ab≤（）2‎ ‎4． ≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；‎ ‎5．定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）‎ ‎6．推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”）‎ ‎7．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 ‎8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法 用综合法证明不等式的逻辑关系是：‎ 综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 ‎9分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法 用分析法证明不等式的逻辑关系是：‎ 分析法的思维特点是：执果索因 分析法的书写格式：‎ ‎ 要证明命题B为真，‎ ‎ 只需要证明命题为真，从而有……‎ ‎ 这只需要证明命题为真，从而又有……‎ ‎ ……‎ 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故命题B必为真 ‎10三角换元：‎ 若0≤x≤1，则可令x = sinq ()或x = sin2q ()‎ 若，则可令x = cosq , y = sinq ()‎ 若，则可令x = secq, y = tanq ()‎ 若x≥1，则可令x = secq ()‎ 若xÎR，则可令x = tanq ()‎ ‎11代数换元：“整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法 ‎12．放缩法:‎ ‎13．反证法:‎ 二、讲解新课：‎ 构造法：构造函数法; 构造方程法; 构造图形法 三、讲解范例：‎ 例1已知x > 0，求证： ‎ 证明：（构造函数法）构造函数 ，， 设2≤a 0, ab - 1 > 0, ab > 0 ∴上式 > 0‎ ‎∴f (x)在上单调递增，∴左边 例2 求证： ‎ 证明：（构造函数法）设 则 令 3≤t1 0，‎ 则 即b, c是二次方程的两个实根 ‎∴ a≥2‎ 例3 求证： ‎ 证明：（构造方程法）设 ，‎ 则(y - 1)tan2q + (y + 1)tanq + (y - 1) = 0‎ 当 y = 1时，命题显然成立 当 y ¹ 1时，△= (y + 1)2 - 4(y - 1)2 = (3y - 1)(y - 3)≥0，∴‎ 综上所述，原不等式成立（此法也称判别式法）‎ ‎ ‎ 例5 已知0 < a < 1，0 < b < 1，求证：‎ 证明：（构造图形法）构造单位正方形，O是正方形内一点 O到AD, AB的距离为a, b，‎ 则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|≥|AC| + |BD|‎ 其中，，‎ ‎， ‎ 又 ‎ ∴‎ 四、小结 ：‎ 五、课后作业：‎ 证明下列不等式：‎ ‎1．‎ ‎（构造函数法）令，则 (y - 1)x2 + (y + 1)x + (y - 1) = 0‎ 用△法，分情况讨论 ‎2．已知关于x的不等式(a2 - 1)x2 - (a - 1)x - 1 < 0 (aÎR)，对任意实数x恒成立，求证：‎ 分a2 - 1 = 0和 讨论 ‎3．若x > 0, y > 0, x + y = 1，则 ‎（构造函数法）左边 ‎ 令 t = xy，则 在上单调递减 ∴‎ ‎4．若，且a2 < a - b，则 ‎（构造函数法）令，又，在上单调递增 ，∴‎ ‎5．记，a > b > 0，则| f (a) - f (b) | < | a - b|‎ ‎（构造图形法）构造矩形ABCD, F在CD上，‎ 使|AB| = a, |DF| = b, |AD| = 1, 则|AC| - |AF| < |CF|‎ ‎6．若x, y, z > 0，则 ‎（构造图形法）作ÐAOB = ÐBOC = ÐCOA = 120°, 设|OA| = x, |OB| = y, |OC| = z 则由余弦定理 |AC|＝ ‎ ‎|BC| ＝,|CA|＝‎ 因为|AC+||BC|>|CA|，所以 +>‎ 六、板书设计（略）‎ 七、课后记：‎ ‎ ‎