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- 2021-06-15 发布
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1. 2.1 函数的概念
第二课时 函数概念的应用
【教学目标】
1.进一步加深对函数概念的理解,掌握同一函数的标准;
2.了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域.
3.经历求函数定义域及值域的过程,培养学生良好的数学学习品质。
【教学重难点】
教学重点
能熟练求解常见函数的定义域和值域.
教学难点
对同一函数标准的理解,尤其对函数的对应法则相同的理解.
【教学过程】
1、创设情境
下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数?为什么?
(1)f(x)= (x-1) 0;g(x)=1 ; (2) f(x)=x;g(x)=;
(3)f(x)=x 2;g(x)=(x + 1) 2 ; 、 (4) f(x) =|x|;g(x)=.
2、讲解新课
总结同一函数的标准:定义域相同、对应法则相同
3、典例
例1 求下列函数的定义域:
(1); (2);
分析: 一般来说,如果函数由解析式给出,则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围.当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.
解 : (1)由得即,故函数的定义域是,.
(2)由得即≤x≤且x≠±,
故函数的定义域是{x|≤x≤且x≠±}.
点评: 求函数的定义域,其实质就是求使解析式各部分有意义的的取值范围,列出不等式(组),然后求出它们的解集.其准则一般来说有以下几个:
① 分式中,分母不等于零.
② 偶次根式中,被开方数为非负数.
③ 对于中,要求 x≠0.
变式练习1求下列函数的定义域: (1);(2)
.
解 (2)由得 故函数是{x|x<0,且x≠}.
(4)由即 ∴≤x<2,且x≠0,
故函数的定义域是{x|≤x<2,且x≠0}.
说明:若A是函数的定义域,则对于A中的每一个x,在集合B都有一个值输出值y与之对应.我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域.
因此我们可以知道:对于函数f:A B而言,如果如果值域是C,那么,因此不能将集合B当成是函数的值域.
我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素.如果函数的对应法则与定义域都确定了,那么函数的值域也就确定了.
A
B
C
f
例2.求下列两个函数的定义域与值域:
(1)f (x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3};
(2)f (x)=( x-1)2+1.
解:(1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3},
f(-1)= 5,f(0)=2,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5,
所以这个函数的值域为{1,2,5}.
(2)函数的定义域为R,因为(x-1)2+1≥1,所以这个函数的值域为{y∣y≥1}
点评: 通过对函数的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,来求出函数的值域的方法我们称为观察法.
变式练习2 求下列函数的值域:
(1),,;
(2);
解:(1).
作出函数,,的图象,由图观察得函数的值域为≤<.
(2)解法一:,显然可取0以外的一切实数,即所求函数的值域为{y|y≠3}.
解法二:把看成关于x的方程,变形得(y-3)x+(y+1)=0,该方程在原函数定义域{x|x≠-1}内有解的条件是
,解得y≠3,即即所求函数的值域为{y|y≠3}.
点评:(1)求函数值域是一个难点,应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法;
(2)求二次函数在区间上的值域问题,一般先配方,找出对称轴,在对照图象观察.
4、 课堂小结
(1)同一函数的标准:定义域相同、对应法则相同
(2)求解函数值域问题主要有两种方法:一是根据函数的图象和性质(或借助基本的函数的值域)由定义域直接推算;二是对于分式函数,利用分离常数法得到y的取值范围.
【板书设计】
一、 函数三要素
二、 典型例题
例1: 例2:
小结:
【作业布置】完成本节课学案预习下一节。
1.2.1 函数的概念
第二课时 函数概念的应用
课前预习学案
一 、预习目标
1.通过预习熟知函数的概念
2.了解函数定义域及值域的概念
二 、预习内容
1.函数的概念:设A、B是__________,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的_______数x,在集合B中都有__________的数f(x)和它对应,那么就称_______为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的_______;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合_________叫做函数的值域.值域是集合B的______。
注意:①如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;② 函数的定义域、值域要写成_________的形式.
定义域补充:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母________; (2)偶次方根的被开方数_________; (3)对数式的真数_______;(4)指数、对数式的底_________. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以_______ (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
2. 构成函数的三要素:_______、_________和__________高.考.资.源.
注意:(1)函数三个要素中.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的_______和_________完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法:①____________________;②______________________(两点必须同时具备)
3. 函数图象的画法
①描点法:②图象变换法:常用变换方法有三种,即平移变换、__________和___________
4.区间的概念(1)区间的分类:________、_________、_________;
说明:实数集可以表示成(–∞,+∞)不可以表示成[–∞,+∞]--------切记高.考.资.源.
5.什么叫做映射:一般地,设A、B是两个____的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的________元素x,在集合B中都有_________的元素y与之对应,那么就称对应_________为从集合A到集合B的一个映射。
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应高.考.资.源.
①集合A、B及对应法则f是确定的②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有____与之对应(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是____;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有对应的元素。
6.函数最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:高.考.资.源.
(1)__________________________________(2)________________________________
那么我们称M是函数y=f(x)的最大值;
函数最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)__________________________________ (2)__________________________________
那么我们称M是函数y=f(x)的最小值
7:分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应把几种不同的表达式用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.说明:(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的____,值域是各段值域的_____.
三、提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1.进一步加深对函数概念的理解,掌握同一函数的标准;
2.了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域.
学习重点
能熟练求解常见函数的定义域和值域.
学习难点
对同一函数标准的理解,尤其对函数的对应法则相同的理解.
二 、学习过程
创设情境
下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数?为什么?
(1)f(x)= (x-1) 0;g(x)=1 ; (2) f(x)=x;g(x)=;
(3)f(x)=x 2;g(x)=(x + 1) 2 ; 、 (4) f(x) =|x|;g(x)=.
讲解新课
总结同一函数的标准:定义域相同、对应法则相同
例1 求下列函数的定义域:
(1); (2);
变式练习1求下列函数的定义域: (1);(2).
若A是函数的定义域,则对于A中的每一个x,在集合B都有一个值输出值y与之对应.我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域.
因此我们可以知道:对于函数f:A B而言,如果如果值域是C,那么,因此不能将集合B当成是函数的值域.
我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素.如果函数的对应法则与定义域都确定了,那么函数的值域也就确定了.
例2.求下列两个函数的定义域与值域:
A
B
C
f
(1)f (x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3};
(2)f (x)=( x-1)2+1.
变式练习2 求下列函数的值域:
(1),,;
(2);
三 、 当堂检测
(1)P25练习7;
(2)求下列函数的值域:
①;②,,6].③.
课后练习与提高
1.函数满足则常数等于( )
≤1)
>1)
A. B. C. D.
2.设 , 则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知函数定义域是,则的定义域是( )
A. B. C. D.
4.函数的值域是( )
A. B. C. D.
5.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,f(-2)=10,则f(2)=____.
6.若函数,则=
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