高中数学必修1教案第二章 2_1_1指数函数 9页

‎2．1　指数函数 ‎2．1.1　指数与指数幂的运算 ‎[学习目标]　1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．4的平方根为±2,8的立方根为2.‎ ‎2．23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，＝4.‎ ‎[预习导引]‎ ‎1.n次方根 ‎(1)n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.‎ ‎(2)n次方根的性质 ‎①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示．‎ ‎②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可合并写成±(a＞0)．‎ ‎③0的任何次方根都是0，记作＝0.‎ ‎④负数没有偶次方根. ‎ ‎2．根式 ‎(1)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．‎ ‎(2)式子对任意a∈R都有意义，当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ ‎3．分数指数幂 ‎(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．‎ ‎(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝ (a＞0，m，n∈N*, 且n＞1)．‎ ‎(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．‎ ‎4．有理数指数幂的运算性质 ‎(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；‎ ‎(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；‎ ‎(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．‎ ‎5．无理数指数幂 无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．‎ 要点一　根式的运算 例1　求下列各式的值．‎ ‎(1)；(2)；(3)；‎ ‎(4)－，x∈(－3,3)．‎ 解　(1)＝－2.‎ ‎(2)＝＝.‎ ‎(3)＝|3－π|＝π－3.‎ ‎(4)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，‎ 当－3＜x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.‎ 当1＜x＜3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.‎ 因此，原式＝ 规律方法　1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．‎ ‎2．开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．‎ 跟踪演练1　化简下列各式．‎ ‎(1)；(2)；(3).‎ 解　(1)＝－2.‎ ‎(2)＝|－10|＝10.‎ ‎(3)＝|a－b|＝ 要点二　根式与分数指数幂的互化 例2　将下列根式化成分数指数幂形式．‎ ‎(1)·；　(2) ；‎ ‎(3)·；　(4)()2·.‎ 解　(1)·＝·＝.‎ ‎(2)原式＝··＝.‎ ‎(3)原式＝·＝.‎ ‎(4)原式＝()2··＝.‎ 规律方法　在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：＝和＝＝，其中字母a要使式子有意义．‎ 跟踪演练2　用分数指数幂表示下列各式：‎ ‎(1) ·(a＜0)；‎ ‎(2) (a，b＞0)；‎ ‎(3)(b＜0)；‎ ‎(4)(x≠0)．‎ 解　(1)原式＝·(－a)‎ ‎＝－(－a)·(－a)＝－(－a)(a＜0)．‎ ‎(2)原式＝＝‎ ‎＝(·)＝(a，b＞0)．‎ ‎(3)原式＝＝(－b)(b＜0)．‎ ‎(4)原式＝＝＝(x≠0)．‎ 要点三　分数指数幂的运算 例3　(1)计算：0.064－0＋[(－2)3]＋16－0.75＋|－0.01|；‎ ‎(2)化简： ÷(a＞0)．‎ 解　(1)原式＝(0.43)－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)＝0.4－1－1＋＋＋0.1＝.‎ ‎(2)原式＝[·]÷[·]‎ ‎＝＝a0＝1.‎ 规律方法　指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．‎ 跟踪演练3　计算或化简：‎ ‎(1)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0；‎ ‎(2)·.‎ 解　(1)原式＝(－1)＋－＋1‎ ‎＝－＋(500)－10(＋2)＋1‎ ‎＝＋10－10－20＋1‎ ‎＝－.‎ ‎(2)原式＝(·)·[(a－5)·(a)13]‎ ‎＝(a0)·(·)‎ ‎＝(a－4)＝a－2.‎ ‎1．下列各式正确的是(　　)‎ A．()3＝a B．()4＝－7‎ C．()5＝|a| D.＝a 答案　A 解析　()4＝7，()5＝a，＝|a|.‎ ‎2.＋的值是(　　)‎ A．0 B．2(a－b)‎ C．0或2(a－b) D．a－b 答案　C 解析　当a－b≥0时，‎ 原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)；‎ 当a－b＜0时，原式＝b－a＋a－b＝0.‎ ‎3．计算[(－)2]的结果是(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　[(－)2]＝[()2]＝.‎ ‎4．在－1,2，，2－1中，最大的数是(　　)‎ A.－1 B．2‎ C. D．2－1‎ 答案　C 解析　－1＝－2,2＝＝，＝，2－1＝，所以最大．‎ ‎5．2＋＋－·8＝________.‎ 答案　2－3‎ 解析　原式＝＋＋＋1－22＝2－3.‎ ‎1.掌握两个公式：(1)()n＝a；(2)n为奇数，＝a，n为偶数，＝|a|＝ ‎2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．‎ 一、基础达标 ‎1．化简 的结果是(　　)‎ A．a B. C．a2 D. 答案　B 解析　＝(a·)＝()＝＝.‎ ‎2．若(1－2x)有意义，则x的取值范围是(　　)‎ A．x∈R B．x∈R且x≠ C．x＞ D．x＜ 答案　D 解析　∵(1－2x)＝，∴1－2x＞0，‎ 得x＜.‎ ‎3．若a<，则化简的结果是(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　∵a<，∴2a－1<0，‎ ‎∴＝1－2a，‎ ‎∴＝.‎ ‎4．化简(a，b＞0)的结果是(　　)‎ A. B．ab C. D．a2b 答案　C 解析　原式＝[a3b2(ab2)]÷(a1b2ba)‎ ‎＝÷()＝×＝.‎ ‎5．计算(2a－3b)·(－3a－1b)÷(4a－4b)得(　　)‎ A．－b2 B.b2‎ C．－b D.b 答案　A 解析　原式＝＝－b2.‎ ‎6．如果a＝3，b＝384，那么an－3＝________.‎ 答案　3×2n－3‎ 解析　an－3＝3n－3＝3[(128)]n－3＝3×2n－3.‎ ‎7．(1)求 ＋ －的值；‎ ‎(2)化简＋.‎ 解　(1)原式＝＋－ ‎＝ ＋ － ‎＝＋－0.4＝.‎ ‎(2)原式＝＝.‎ 二、能力提升 ‎8．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)‎ A. B．10 C．20 D．100‎ 答案　A 解析　∵2a＝m,5b＝m，∴2＝，5＝，∵2×5＝·＝∴m2＝10，∴m＝.故选A.‎ ‎9．化简 得(　　)‎ A．3＋ B．2＋ C．1＋2 D．1＋2 答案　A 解析　原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝3＋.‎ ‎10．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.‎ 答案　　2‎ 解析　利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝.‎ 则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.‎ ‎11．计算下列各式的值：‎ ‎(1)(0.027)－＋256＋(2)－3－1＋π0；‎ ‎(2)7－3－6＋；‎ ‎(3)(a·b)·÷(a＞0，b＞0)．‎ 解　(1)原式＝[(0.3)3]－＋(44)＋(2)－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝.‎ ‎(2)原式＝7×3－3－6＋‎ ‎＝7×3－6×3－6×3＋3‎ ‎＝2×3－2×3×3‎ ‎＝2×3－2×3＝0.‎ ‎(3)原式＝··÷‎ ‎＝··÷‎ ‎＝＝a0b0＝1.‎ 三、探究与创新 ‎12．(1)已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－x的值；‎ ‎(2)已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求的值．‎ 解　(1)∵4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2‎ ‎＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝a2－2，‎ ‎∴8x＋8－x＝23x＋2－3x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)·[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)＝a(a2－2－1)＝a3－3a.‎ ‎(2)＝‎ ‎＝.①‎ ‎∵x＋y＝12，xy＝9，②‎ ‎∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.‎ 又∵x＜y，∴x－y＝－6.③‎ 将②③代入①，得＝＝－.‎ ‎13．若a＝2，b>0，‎ 求＋的值．‎ 解　原式＝＋b－1＋3－3‎ ‎＝＋b－1＋－b－1＝2＝2×＝4.‎