高中数学必修1教案：第九章直线平面简单几何体(B)(第24课)距离(2) 6页

课 题：9．8距离 (二) ‎ 教学目的：‎ ‎1.了解异面直线的公垂线、公垂线段的定义；‎ ‎2. 掌握异面直线的距离的概念，并会解决距离的问题 教学重点：两条异面直线的距离 教学难点：简单与复杂之间的转化，空间与平面之间的转化 授课类型：新授课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ ‎1.点到平面的距离：‎ 已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离 即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离（转化为点到点的距离）‎ 结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短 ‎2.直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)‎ ‎3．两个平行平面的公垂线、公垂线段：‎ ‎（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线 ‎（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段 ‎（3）两个平行平面的公垂线段都相等 ‎（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长 ‎4．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离 二、讲解新课：‎ ‎1 异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线．‎ ‎2．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线 证明：设是两条异面直线．在上任取一点，过引，‎ 设 确定平面，则．在上任取一点，过引，‎ 垂足为，设确定的平面与平面相交于直线，‎ 相交于点，在内作，交于点，‎ 则，又∵，∴，‎ ‎∴的公垂线段，‎ 如果还有直线也是的公垂线，‎ 则于是，，‎ ‎∴，即共面，这与是两条异面直线矛盾，‎ 所以，两条异面直线的公垂线只有一条 ‎3．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；‎ ‎4．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；‎ ‎5．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度 说明：两条异面直线的距离即为直线到平面的距离即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离 三、讲解范例（异面直线间距离的求法）‎ 例1 如图已知是两条异面直线，所成的角为，点分别在直线上，线段是公垂线段，且，求线段的长．‎ 解：‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎　　‎ ‎∵或 ‎∴，‎ 所以，．‎ 说明：（1）由上例：的长是异面直线上任意两点的距离，的长是异面直线的距离；‎ ‎ （2）当时，的长的运算中取＂－＂．‎ 例2．已知是所在平面外的一点，分别是和的中点，，，‎ ‎（1）求证：是的公垂线；‎ ‎（2）当成角时，求间的距离 解：（1）连结，，‎ ‎ ∴，∵的中点，∴，‎ 又是的中点，∴，同理：，‎ ‎∴是和的公垂线 ‎（2）取的中点，连结，∵分别是和的中点，‎ ‎∴，，‎ ‎∴是异面直线所成的角，即，‎ 且可得：，，‎ ‎∴，即间的距离为．‎ 例3．如图直二面角中，两点分别在平面内，，与平面所成的角分别是和，求两点在棱上的射影间的距离 解：作于，于，连结，‎ ‎∵二面角是直二面角，∴平面平面，‎ ‎∴，‎ ‎∴分别是在平面内的射影，‎ ‎∴分别是与平面所成的角，‎ ‎∴，，∵，∴，‎ ‎∴，即两点在棱上的射影间的距离为．‎ 四、课堂练习：‎ ‎1已知正方体的棱长为，是的中点，是对角线的中点，‎ ‎（1）求证：是异面直线和的公垂线；（2）求异面直线和的距离 解：（1）（法一）：延长交于，则为的中点，∴，‎ ‎ ∵，‎ ‎∴，连结，则，‎ 又是的中点，∴，‎ ‎∴是异面直线和的公垂线 ‎（2）由（1）知，．‎ ‎（法二）：建立空间直角坐标系，用坐标运算证明（略）‎ 引申：求与间的距离 解（法一）：（转化为到过且与平行的平面的距离）‎ 连结，则//，∴//平面，连，可证得 ‎，，∴平面，‎ ‎∴平面平面，且两平面的交线为，过作，垂足为，则即为与平面的距离，也即与间的距离，‎ 在中，，∴．‎ ‎（法二）：坐标法：‎ 以为原点，所在的直线分别为轴，轴、轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，‎ 由（法一）求点到平面的距离，设，‎ ‎∵在平面上，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ 解得：，∴，∴．‎ 另解：直接求与间的距离 设与的公垂线为，且，‎ 设，设，‎ 则，∴，∴，‎ 同理，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ 解得：，，．‎ 五、小结 ：异面直线的距离的概念；异面直线的距离的求法：找出垂线段并证明，求垂线段的长；距离的求法：（1）向量；（2）坐标公式；（3）解三角形 点到面的距离的概念及求法（转化为点点距）； 直线到与它平行的平面的距离的概念及求法（转化为点面距）；两个平行平面的距离的概念及求法；异面直线的距离的概念及求法（找出公垂线段或转化为线面距离）‎ 六、课后作业：‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎