2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：9 23页

www.ks5u.com ‎9．1.2　余弦定理 ‎[课程目标] 1.掌握余弦定理及余弦定理的推导；2.了解余弦定理常用的几种变形公式；3.会利用余弦定理解决三角形问题．‎ 知识点一　　余弦定理 ‎[填一填]‎ ‎(1)语言表达：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍．‎ ‎(2)公式表示：a2＝b2＋c2－2bccosA；‎ b2＝a2＋c2－2accosB；‎ c2＝a2＋b2－2abcosC.‎ ‎(3)变形：cosC＝；‎ cosB＝；‎ cosA＝.‎ ‎[答一答]‎ ‎1．余弦定理公式c2＝a2＋b2－2abcosC与勾股定理c2＝a2＋b2很类似，它们之间有联系吗？‎ 提示：对于余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC中，若∠C＝90°，则有c2＝a2＋b2，此即为勾股定理，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况．‎ 知识点二　　余弦定理的应用 ‎[填一填]‎ 应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其夹角，可以求出该三角形的第三边，另一类是已知3条边时，可以求出该三角形的3个角，而且该三角形也唯一确定．‎ ‎[答一答]‎ ‎2．已知两边和其中一边的对角解三角形时，用正弦定理可以求解，但需要判别解的情况，想一想，这类问题能不能用余弦定理求解？‎ 提示：可以用余弦定理求解，例如已知a、b和∠A，可先由公式a2＝b2＋c2－2bccosA解关于c的方程求出c.进而再求其他量．要注意一点：关于c的方程的解的个数对应三角形解的个数，这比用正弦定理求解好．‎ ‎3．有人说：公式cosA＝中，可以用b2＋c2－a2的值的符号判断该三角形是锐角三角形，钝角三角形，还是直角三角形．你认为这种说法对吗？‎ 提示：不完全对．若b2＋c2－a2＝0，则△ABC是直角三角形．若b2＋c2－a2<0，则△ABC是钝角三角形，但是若b2＋c2－a2>0，△ABC不一定是锐角三角形，还要考虑B、C的大小．‎ ‎1．除课本证明方法外，余弦定理其他证明方法．‎ 证法1：(向量法)如图(1)所示，在△ABC中，显然有＝－，所以·＝(－)·(－)＝2－2·＋2＝||2－2||·| ‎|·cosA＋||2，也就是a2＝b2＋c2－2bccosA，同理可得b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.‎ 证法2：(解析法)如图(2)所示，以A为原点，AC边所在的直线为x轴建立直角坐标系，则可得点A，C的坐标分别为A(0,0)，C(b,0)．‎ 设点B的坐标为(x，y)，由三角函数的定义，得：‎ ＝cosA，＝sinA，即点B的坐标为(ccosA，csinA)．‎ 根据两点间的距离公式，‎ 得a＝|BC|＝，‎ 故a2＝b2＋c2－2bccosA，‎ 同理可得b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.‎ ‎2．对余弦定理的理解．‎ ‎(1)余弦定理是勾股定理的推广．余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，便可求得其他量．‎ 在应用中，如果出现a2＋b2＝c2，则为直角三角形；若出现a2＋b2c2，不能因此断定为锐角三角形，只能说明角C为锐角．即：‎ ‎∠C为锐角⇔a2＋b2>c2；∠C为直角⇔a2＋b2＝c2；∠C为钝角⇔a2＋b2a，sinA＝，∴∠A＝30°，‎ ‎∴∠B＝180°－∠A－∠C＝135°.‎ 利用余弦定理解三角形时通常要结合正弦定理，其求解关键是根据题设条件恰当地选择余弦定理、正弦定理及其他相关定理，所要注意的是在使用正弦定理求角时，务必要利用边角关系确定解的个数，避免产生增解或漏解.‎ ‎[变式训练1]　在△ABC中，已知b＝5，c＝5，∠A＝30°，求a、∠B、∠C及面积S.‎ 解：由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA ‎＝52＋(5)2－2×5×5cos30°＝25，‎ ‎∴a＝5.‎ ‎∴a＝b.∴∠B＝∠A＝30°.‎ ‎∴∠C＝180°－∠A－∠B＝120°，‎ S＝bcsinA＝×5×5×sin30°＝.‎ 类型二　　已知三边解三角形 ‎[例2]　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.‎ ‎[分析]　已知三角形三边长，要求最大角和sinC的值，可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正、余弦定理求出最大角及sinC.‎ ‎[解]　∵a＞c＞b，∴A为最大角，由余弦定理的推论得：cosA＝＝＝－.‎ 又∵0°＜A＜180°，∴A＝120°.∴sinA＝sin120°＝.‎ 由cosC＝＝＝，‎ ‎∴C为锐角，sinC＝＝＝.‎ ‎(1)已知三角形三边求角可先用余弦定理，再用正弦定理．利用余弦定理求角时，角是唯一确定的，用正弦定理求角时，则需根据三角形边角关系确定角的取值，要防止产生增解或漏掉．‎ ‎(2)求sinC也可以用下面方法：‎ 由正弦定理＝得sinC＝.‎ ‎(3)在解三角形时，既可用余弦定理，也可用正弦定理．‎ ‎[变式训练2]　(1)已知在△ABC中，abc＝12，求A；‎ ‎(2)已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝，求△ABC的最大内角．‎ 解：(1)由于abc＝12，‎ 可设a＝x，b＝x，c＝2x(x>0)．‎ 由余弦定理，得cosA＝＝＝，‎ 又0°a，c>b，∴角C最大．‎ 由c2＝a2＋b2－2abcosC，得37＝9＋16－24cosC，‎ ‎∴cosC＝－，‎ ‎∵0°β　　　　　　　　　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°‎ ‎2．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　D　)‎ A．北偏东10° B．北偏西10°‎ C．南偏东80° D．南偏西80°‎ 解析：由条件及题图可知，∠A＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.‎ ‎3．某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处，然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处，若A处与C处的距离为海里，则x的值为(　D　)‎ A．3 B. C．2 D．2或 解析：由题意可得，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝x，BC＝3，AC＝.由余弦定理得x2＋9－2·x·3cos30°＝()2，解得x＝2或x＝.‎ ‎4．某货轮在A处看到灯塔S在北偏东30°方向，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B处，看灯塔S在北偏东75°方向，此时货轮到灯塔S的距离为12海里．‎ 解析：如图．由题意可知，∠A＝30°，∠BSA＝45°，‎ AB＝36×＝24(海里)．‎ 在△ABS中，根据正弦定理可得：＝ ‎∴＝，解得：SB＝‎12海里．‎ 此时货轮到灯塔S的距离为‎12海里．‎