高中数学第二章几个重要的不等式1柯西不等式学案北师大版选修4-51 4页

§1 柯西不等式 1．认识简单形式的柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义． 2．会证明一般形式的柯西不等式，并能利用柯西不等式来解决有关问题． 1．简单形式的柯西不等式 (1)定理 1(二维形式的柯西不等式的代数形式)： 对任意实数 a，b， c， d，有(a2＋b2)(c2 ＋d2)≥__________________，当向量 ______________与向量________________共线时，等号成立． (2)简单形式的柯西不等式的向量形式： 设α＝(a，b)，β＝(c，d)是平面上任意两个向量，则______≥|α·β|，当向量(a， b)与向量(c，d)共线时，等号成立． (1)二维形式的柯西不等式的推论： ①(a＋b)(c＋d)≥( ac＋ bd)2 (a，b，c，d 为非负实数)； ② a2 ＋b2 · c2 ＋d2 ≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)； ③ a2 ＋b2 · c2 ＋d2 ≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)． (2)二维形式的三角不等式： ① x2 1＋y2 1＋ x2 2＋y2 2≥ x1－x2 2 ＋ y1－y2 2 (x1，y1，x2，y2∈R)； ② 推 论 ： x1－x3 2 ＋ y1－y3 2 ＋ x2－x3 2 ＋ y2－y3 2 ≥ x1－x2 2 ＋ y1－y2 2 (x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)． 【做一做 1－1】已知不等式(x＋y) 1 x ＋ a y ≥9 对任意的正实数 x，y恒成立，则正实数 a的最小值为( )． A．2 B．4 C．6 D．8 【做一做 1－2】已知 x＋2y＝1，则 x2 ＋y2 的最小值为________． 2．一般形式的柯西不等式 (1)定理 2： 设 a1 ， a2 ， … ， an 与 b1 ， b2 ， … ， bn 是 两 组 实 数 ， 则 有 (a 2 1 ＋ a 2 2 ＋ … ＋ a2 n)__________________≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn) 2 ，当向量______________与向量(b1，b2，…， bn)共线时，等号成立． (2)推论(三维形式的柯西不等式)： 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(a2 1＋a2 2＋a2 3)(b 2 1＋b2 2＋b2 3)≥________________．当 向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“＝”成立． 【做一做 2－1】设 a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若 x2＋y2＋z2＝16，则 a·b 的最大 值为________． 【做一做 2－2】已知 x，y，z∈R＋，且 x＋y＋z＝1，则 x2 ＋y2 ＋z2 的最小值是( )． A． 1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 1 5 答案： 1．(1)(ac＋bd)2 (a，b) (c，d) (2)|α||β| 【做一做 1－1】B 由柯西不等式可求出(x＋y) 1 x ＋ a y ≥ x· 1 x ＋ y· a y 2＝(1＋ a)2，当 x＝1，y＝ a时，(x＋y) 1 x ＋ a y 能取到最小值( a＋1)2，故只需(1＋ a)2≥9，即 a≥4 即可． 【做一做 1－2】 1 5 解析：∵1＝x＋2y， ∴1＝(x＋2y)2 ≤(1＋2 2 )(x2 ＋y2 )． 当且仅当 x＝ 1 5 ，y＝ 2 5 时，取等号， ∴(x2 ＋y2 )min＝ 1 5 ． 2．(1)(b2 1＋b2 2＋…＋b2 n) (a1，a2，…，an) (2)(a1b1＋a2b2＋a3b3) 2 【做一做 2－1】4 5 由题知，a·b＝x－2z，由柯西不等式知 [1 2 ＋0 2 ＋(－2) 2 ](x2 ＋y2 ＋z2 )≥(x＋0－2z)2 ， 当且仅当向量 a与 b 共线时“＝”成立， ∴5×16≥(x－2z)2 ， ∴－4 5≤x－2z≤4 5， 即－4 5≤a·b≤4 5． 故 a·b 的最大值为 4 5． 【做一做 2－2】B 根据柯西不等式，有 x2 ＋y2 ＋z2 ＝ 1 3 (1 2 ＋1 2 ＋1 2 )·(x2 ＋y2 ＋ z2)≥ 1 3 (1×x＋1×y＋1×z)2＝ 1 3 (x＋y＋z)2＝ 1 3 ． 当且仅当 1 x ＝ 1 y ＝ 1 z ，即 x＝y＝z＝ 1 3 时等号成立． 1．对柯西不等式的理解 剖析：柯西不等式的几种形式，都涉及对不等式的理解与记忆，因此，二维形式的柯西 不等式可以理解为由四个有顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本 不等式是由两个数来构造的，但怎样构造要仔细体会．(a2 ＋b2 )(c2 ＋d2 )≥(ac＋bd)2 ，(a2 ＋ b2)(d2＋c2)≥(ad＋bc)2，谁与谁组合、联系，要有一定的认识． “二维”是根据向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量：横纵坐标，因此“二 维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系． 2．一般形式的柯西不等式的应用 剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用， 需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用， 因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点．我们要注意在数学式子 中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致，然后应 用解题． 3．“1”的利用 剖析：数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式 外，对数字、系数的处理往往能达到某些用字母所代表的数或式子所不能达到的作用．这要 求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形式”的影响而不 会用柯西不等式． 题型一 利用柯西不等式证明不等式 【例 1】已知 3x2 ＋2y2 ≤6，求证：2x＋y≤ 11． 分析：将不等式 2x＋y≤ 11的左边凑成柯西不等式的形式，然后证明． 反思：为了利用柯西不等式，将 2x＋y 平方，这一运算技巧是证明不等式的关键． 【例 2】已知正数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝1．证明 a3 ＋b3 ＋c3 ≥ a2 ＋b2 ＋c2 3 ． 分析：如何构造两组数，利用柯西不等式是关键． 反思：在本题中，a，b，c 的指数的变化是关键，要根据柯西不等式的需要进行适当的 变形． 题型二 利用柯西不等式求最值 【例 3】设 x，y，z∈R，且 x－1 2 16 ＋ y＋2 2 5 ＋ z－3 2 4 ＝1．求 x＋y＋z 的最大 值和最小值． 分析：根据柯西不等式的需要给式子进行变形，注意等价性． 反思：当式子中有根号、平方等形式时，经常用柯西不等式来解决． 答案： 【例 1】证明：由柯西不等式，得 (2x＋y)2≤[( 3x)2＋( 2y)2] 2 3 2 ＋ 1 2 2 ＝(3x2 ＋2y2 ) 4 3 ＋ 1 2 ≤6× 11 6 ＝11． 于是 2x＋y≤ 11． 当且仅当 3x 2 3 ＝ 2y 1 2 ，即 x y ＝ 4 3 时等号成立． 【例 2】证明：利用柯西不等式，有 3 1 3 1 3 1 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ]( )a b c a a b b c c a b c a b c    ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ 3 3 3 3 3 3 2=( )( )=( )( )a b c a b c a b c a b c        ， 又∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 在此不等式两边同乘以 2，再加上 a2 ＋b2 ＋c2 ， 得(a＋b＋c)2 ≤3(a2 ＋b2 ＋c2 )． ∴(a2 ＋b2 ＋c2 ) 2 ≤(a3 ＋b3 ＋c3 )·3(a2 ＋b2 ＋c2 )， ∴a3 ＋b3 ＋c3 ≥ a2 ＋b2 ＋c2 3 ． 当且仅当 a＝b＝c＝ 1 3 时等号成立． 【 例 3 】 解 ： 根 据 柯 西 不 等 式 ， 知 [4 2 ＋ ( 5 ) 2 ＋ 2 2 ] x－1 4 2 ＋ y＋2 5 2 ＋ z－3 2 2 ≥ 4· x－1 4 ＋ 5· y＋2 5 ＋2· z－3 2 2 ， 当且仅当 x－1 16 ＝ y＋2 5 ＝ z－3 4 ，即 x＝ 21 5 ，y＝－1，z＝ 19 5 或 x＝－ 11 5 ，y＝－3，z＝ 11 5 时 等号成立． ∴25×1≥(x＋y＋z－2) 2 ． ∴|x＋y＋z－2|≤5， ∴－3≤x＋y＋z≤7， 即 x＋y＋z的最大值为 7，最小值为－3． 1设 x，y，m，n＞0，且 m x ＋ n y ＝1，则 u＝x＋y 的最小值是( )． A．( m＋ n)2 B． m C． n D．(m＋n)2 2 若 a，b∈R，且 a2＋b2＝10，则 a－b 的取值范围为( )． A．[－2 5，2 5] B．[－2 10，2 10] C．[－ 10， 10] D．[－ 5， 5] 3 函数 y＝2 1－x＋ 2x＋1的最大值为________． 4 设 x1，x2，…，xn为正数，求证：(x1＋x2＋…＋xn)· 1 x1 ＋ 1 x2 ＋…＋ 1 xn ≥n2 ． 答案： 1．A 根据柯西不等式，得 x＋y＝(x＋y) m x ＋ n y ≥ x· m x ＋ y· n y 2 ＝( m＋ n)2 ， 当且仅当 x m ＝ y n 时，等号成立，这时 u 取最小值为( m＋ n)2 ． 2．A 解析：由柯西不等式知(a2 ＋b2 )[1 2 ＋(－1) 2 ]≥(a－b)2 ， 当且仅当 a＝ 5，b＝－ 5或 a＝－ 5，b＝ 5时等号成立， ∴10×2≥(a－b)2 ，∴－2 5≤a－b≤2 5． 3 ． 3 利 用 柯 西 不 等 式 进 行 变 形 ， 得 到 [( 2 ) 2 ＋ 1 2 ][( 2 1－x ) 2 ＋ ( 2x＋1) 2 ]≥(2 1－x＋ 2x＋1) 2 ， 即 3×3≥(2 1－x＋ 2x＋1) 2 ，当且仅当 x＝0 时等号成立， ∴2 1－x＋ 2x＋1≤3． 4．证明：由柯西不等式，得 (x1＋x2＋…＋xn) 1 x1 ＋ 1 x2 ＋…＋ 1 xn ≥(1＋1＋…＋1 共n个 1 2 ， 即(x1＋x2＋…＋xn) 1 x1 ＋ 1 x2 ＋…＋ 1 xn ≥n2 ．