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- 2021-06-15 发布
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第八章 第四节 圆的方程
课下练兵场
命 题 报 告
难度及题号
知识点
容易题
(题号)
中等题
(题号)
稍难题
(题号)
圆的方程求法
1
4、5、6、9
10、12
与圆有关的最值问题
2、3
8
与圆有关的轨迹问题
7
11
一、选择题
1.(2009·永州模拟)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是 ( )
A.1 C.m< D.m>1
解析:由(4m)2+4-4×5m>0知m<或m>1.
答案:B
2.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为 ( )
A.10 B.20 C.30 D.40
解析:圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=52,由题意得|AC|=2×5=10,|BD|=2
=4,且AC⊥BD,四边形ABCD的面积S=|AC|·|BD|=×10×4=20.
答案:B
3.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,则当圆的面积最大时,圆心为 ( )
A.(-1,1) B.(-1,0) C.(0,-1) D.(1,-1)
解析:方程为x2+y2+kx+2y+k2=0化为标准方程为2+(y+1)2=1-,因为r2=1-≤1,所以当k=0时,r最大,圆的面积最大,此时圆心为(0,-1).
答案:C
4.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,半径为的圆的方程为 ( )
A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0
C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0
解析:由(a-1)x-y+a+1=0得(x+1)a-(x+y-1)=0,∴该直线恒过点(-1,2),
∴所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.
答案:C
5.以双曲线-=1的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是 ( )
A.x2+y2-10x+9=0 B.x2+y2-10x+16=0
C.x2+y2+10x+16=0 D.x2+y2+10x+9=0
解析:右焦点(5,0),渐近线y=±,
∴r=4.
答案:A
6.圆心在抛物线x2=2y(x<0)上,并且与抛物线的准线及y轴相切的圆的方程为 ( )
A.(x-1)2+(y-)2=1 B.(x+1)2+(y-)2=1
C.(x+1)2+(y-)2= D.(x-1)2+(y+)2=
解析:准线方程为y=-,设P(t,t2)为圆心且t<0,
∴-t=|t2+|⇒t=-1.
答案:B
二、填空题
7.已知=(2+2cosα,2+2sinα),α∈R,O为坐标原点,向量满足+=0,则动点Q的轨迹方程是__________.
解析:设Q(x,y),
由+=(2+2cosα+x,2+2sinα+y)=0,
∴
∴(x+2)2+(y+2)2=4.
答案:(x+2)2+(y+2)2=4
8.若实数x、y满足(x-2)2+y2=3,则的最大值为______.
解析:=,即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率,因此的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率.
设=k,则kx-y=0.由=,得k=±,
故( )max=,( )min=-.
答案:
9.求经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程为__________________.
解析:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
令y=0得x2+Dx+F=0,
∴圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D,
令x=0得y2+Ey+F=0,
∴圆在y轴的截距之和为y1+y2=-E,
由题设x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2,
∴D+E=-2. ①
又A(4,2),B(-1,3)在圆上,
∴16+4+4D+2E+F=0, ②
1+9-D+3E+F=0, ③
由①②③解得D=-2,E=0,F=-12.
故所求圆的方程为:x2+y2-2x-12=0.
答案:x2+y2-2x-12=0
三、解答题
10.已知圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为,求该圆的方程.
解:设圆P的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|.
由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°,知圆P截x轴所得的弦长为r.
故2|b|=r,得r2=2b2,
又圆P被y轴所截得的弦长为2,由勾股定理得
r2=a2+1,得2b2-a2=1.
又因为P(a,b)到直线x-2y=0的距离为,
得d==,
即有a-2b=±1,
综前述得或
解得或于是r2=2b2=2.
所求圆的方程是:(x+1)2+(y+1)2=2,
或(x-1)2+(y-1)2=2.
11.如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连结BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.
解:设动点P(x,y),由题意可知P是△ABD的重心,故连接AD.
由A(-1,0),B(1,0),令动点C(x0,y0),则D(2x0-1,2y0),
由重心坐标公式:
则代入x2+y2=1,整理得
所求轨迹方程为(x+)2+y2=(y≠0).
12.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上.
(1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程;
(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且只有一个?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.
解:(1)依题意,可设动圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=25,其中圆心(a,b)满足a-b+10=0.
又∵动圆过点(-5,0),故(-5-a)2+(0-b)2=25.
解方程组
可得或
故所求的圆C方程为
(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.
(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d==5.
当r满足r+5<d时,动圆C中不存在与圆O:x2+y2=r2相切的圆;
当r满足r+5=d,即r=5-5时,动圆C中有且仅有1个圆与圆O:x2+y2=r2相外切;当r满足r+5>d,与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有两个.
综上:r=5-5时,动圆C中满足与圆
O:x2+y2=r2相外切的圆有一个.
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