宁夏银川一中2021届高三第三次月考数学（文）试题 8页

1 银川一中 2021 届高三年级第三次月考 文 科 数 学 命题人： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知集合    0,1,2,3 , | 0 2A B x R x     ，则 A B 的子集个数为 A．2 B．4 C．7 D．8 2．下列命题中错误的是 A．若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“pV(¬q)”为真命题 B．命题“若 a+b≠7，则 a≠2 或 b≠5”为真命题 C．命题“若 x2-x=0，则 x=0 或 x=1”的否命题为“若 x2-x=0，则 x≠0 且 x≠1” D．命题 p： x>0，sinx>2x-1，则  p 为 x>0，sinx≤2x-1 3．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图 是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称 统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O (O 为坐标原点)的 周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题： ①对于任意一个圆O ，其“优美函数”有无数个； ②函数 2 2( ) ln( 1)f x x x   可以是某个圆的“优美函数”； ③正弦函数 siny x 可以同时是无数个圆的“优美函数”； ④函数 ( )y f x 是“优美函数”的充要条件为函数 ( )y f x 的图象是中心对称图形． 其中正确的是 A．①④ B．①③④ C．②③ D．①③ 4．对于实数 a，b，c，下列命题中正确的是 A．若  a b ，则 2 2ac bc B．若 2 2ac bc ，则  a b C．若 0a b  ，则 1 1 a b  D．若 0 a b  ，则 b a a b  2 5．若函数   2 2 lnf x x x a x   在( )0,1 上单调递减， 则实数 a 的取值范围是 A． 4a  B． 4a  C. 4a   D． 4a   6．将函数 sin 2y x 的图象向左平移 π 4 个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式是 A． cos2y x B． 1 cos2y x  C． 1 si π2 4ny x      D． cos2 1y x  7．设向量 (0,1)b  ， 1 1,2 2a        ，则下列结论中正确的是 A． / /a b   B． a b  C． a  与b  的夹角为 3 4  D．b  在 a  方向上的投影为 2 2 8．已知正项数列{ }na 满足： 1 1a  ， 2 2 1 2n na a   ，则使 7na  成立的 n 的最大值为 A．3 B．4 C．24 D．25 9．已知函数 e 0( ) ln 0 x xf x x x     ， ， ， ， ( ) ( )g x f x x a   ．若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围 是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 10．已知函数 ( ) cos( )f x x   (0 4,0 )      的部分图象如图所示， (0) cos2f  ，则下列判断正确的是 A．函数 ( )f x 的最小正周期为 4 B．函数 ( )f x 的图象关于直线 6 1x   对称 C．函数 ( )f x 的图象关于点 ( 1,0)4   对称 D．函数 ( )f x 的图象向左平移 2 个单位得到一个偶函数的图象 11．在边长为 2 的正方形 ABCD 中， E 为CD 的中点， AE 交 BD 于 F .若 2 3AF xAB yAD    ，则 x y  A．1 B． 7 18 C． 1- 3 D． 5 9  12．若函数   sinx xf x e e x x    ，则满足 2 ( 2ln( 1)) 02 xf a x f        恒成立的实数 a 的 取值范围为 3 A． 12ln 2 ,2     B． 1ln 2 ,4      C． 7 ,4    D． 3 ,2     二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知 2( ) 3 (2)f x x xf   ，则 (2)f  =________. 14．已知复数 3 4 2 iz i   （i 是虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于第 象限. 15．在ΔABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ．若 tan 7C  ， 5 2cos 8A  ， 3 2b  时，则ΔABC 的面积为________. 16．已知正项等比数列 na （ *n N ）满足 7 6 52a a a  ，若存在两项 ma ， na 使得 14m na a a ， 则 1 5 m n  的最小值为________. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分) 17．（本题满分 12 分） 在递增的等比数列{an}中，a3=16．a2+a4=68．Sn 为等差数列{bn}的前 n 项和，b1=a1 ，S2=a2． （1）求{an}，{bn}的通项公式； （2）求数列{ 4 n na S }的前 n 项和 Tn． 18.（本题满分 12 分） 在三角形 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，若 3sin 5A  ， 1tan( ) 3A B  ，角C 为 钝角， 5b  ． （1）求sin B 的值； （2）求边 c 的长． 19．（本题满分 12 分） 已知数列 }{ na 满足 0),,2(2,4 1 * 111   nnnnn aNnnaaaaa （1）证明数列 )}(11{ *Nna n  为等比数列，求出 }{ na 的通项公式； （2）数列 }{ na 的前项和为 Tn，求证：对任意 3 2,*  nTNn . 4 20．（本题满分 12 分） 已知函数    22cos 1 3 tanf x p x x   ，在 R 上的最大值为 3． （1）求 p 的值及函数  f x 的周期与单调递增区间； （2）若锐角 ABC△ 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且   0f A  ，求 b c 的取值 范围． 21．（本题满分 12 分） 已知函数 f（x）＝lnx+ax2﹣3x（a∈R）． （1）函数 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 y＝﹣2，求函数 f（x）的极值； （2）当 a＝1 时，对于任意 x1，x2∈[1，10]，x2＞x1 时，不等式 12 12 21 )()()( xx xxmxfxf  恒成 立，求出实数 m 的取值范围． (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 2 2 21 2 cos    ， 射 线  π 03    与 曲 线 C 交 于 点 P ， 点 Q 满 足 2 3PQ PO  ，设倾斜角为 的直线 l 经过点Q ． （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线 l 的参数方程； （2）直线l 与曲线C 交于 M 、 N 两点，当 为何值时，QM QN  最大？求出此最大值． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ( ) 2 2 5  f x x ． （1）解不等式 ( ) 1 f x x ； （2）当 m≥－1 时，函数 ( ) ( )  g x f x x m 的图象与 x 轴围成一个三角形，求实数 m 的取 值范围． 5 银川一中 2021 届高三第三次月考数学(文科)参考答案 一、选择题：只有一项符合题目要求（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C D B C B C C C C B A 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．-2 14．一 15. 3 7 2 16． 4 7 三、解答题 18.解：（1）因为角C 为钝角， 3sin 5A  ，所以 2 4cos 1 sin 5A A   ，……2 分 又 1tan( ) 3A B  ，所以 0 2A B    ， 且 1 3sin( ) ,cos( ) 10 10 A B A B    ， ………………………4 分 所以sin sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )B A A B A A B A A B       …………6 分 3 3 4 1 1 5 510 10 10      ． ………………………8 分 （2）因为 sin 3 10 sin 5 a A b B   ，且 5b  ，所以 3 10a  ，……………………10 分 又 9cos cos( ) cos cos sin sin 5 10 C A B A B A B        ，……………12 分 17． 6 则 2 2 2 92 cos 90 25 2 3 10 5( ) 169 5 10 c a b ab C          ， 所以 13c  ． 19.（1）由 有 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列. （2） ， ， = = 20．解：（1）依题意    22cos 1 3 tanf x p x x   22cos 2 3sin cosp x x x   1 cos2 3sin 2p x x    π1 2sin 2 6p x       ， ∵  f x 的最大值为 3，∴ 1 2 3p    ，∴ 2p  ， ∴   π1 2sin 2 6f x x      ，其中 ππ 2x k  ， k Z ，其周期为 2π π2T   ． 已知      2 3262 kx ， Zk  时，  f x 单调递增， 解得      3 2,6 kkx ． ∴  f x 的单调递增区间为       2,6 kk ，       3 2,2 kk ， Zk  ． （2）∵   π1 2sin 2 06f A A       ，且 A 为锐角， ∴ π 5π2 6 6A  ，∴ π 3A  ，∴ 2π 3B C  ． 又∵ B ，C 为锐角，∴ π π,6 2C     ． 7 ∴ 2π 3 1sin cos sinsin 3 13 2 2 sin sin sin 2tan 2 C C Cb B c C C C C          ， 其中 3tan ,3C       ，∴ 1 ,22 b c     ． 21.解：（1）函数的定义域（0，+∞）， ，f′（1）＝2a﹣2＝0 可得 a＝1， 故 f（x）＝lnx+x2﹣3x， ＝0 所以 x＝1 或 x＝ ， 当 时，f′（x）＞0，函数单调递增，当 x 时，f′（x）＜0，函数单调递减， 当 x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增， 故当 x＝1 时，函数取得极小值 f（1）＝﹣2，当 x＝ 时，函数取得极大值 f（ ）＝ 2 1ln ﹣ ， （2）由 可变为 f（x1）﹣f（x2） ， 即 ， 所以 f（x）﹣ 在[1，10]上单调递减， 令 h（x）＝f（x）﹣ ＝lnx+ ，则 ≤0 在[1，10]上恒成立， 所以 m≤﹣2x3+3x2﹣x， 令 F（x）＝﹣2x3+3x2﹣x，则 F′（x）＝﹣6x2+6x﹣1＝ ＜0， ∴F（x）在[1，10]上单调递减，F（x）min＝F（10）＝﹣1710， 故 m≤﹣1710， 故 m 的范围（﹣∞，﹣1710] 22．解：（1）∵  2 2 2 2 2 2 221 2 cos 2 2 2x y x x y        ， ∴曲线C 的直角坐标方程为 2 22 21x y  ． ∵点 P 的极径为 2 21 2 3π2 cos 3   ， 又∵ 2 3PQ PO  ，∴点Q 的极径为 1 22 3 33 3   ， ∴点Q 的直角坐标为 3 ,13       ， ∴直线 l 的参数方程为 3 cos3 1 sin x t y t         ，其中 t 为参数． 8 （2）将 l 的参数方程代入 2 22 21x y  ， 得 2 2 2 561 sin 4sin 3cos 03 3t t          ， 设交点 M ， N 所对应的参数分别为 1t ， 2t ，则  1 2 2 56 3 1 sin t t    ， ∴  1 2 2 56 28 33 1 sin QM QN t t          ，当 2sin 1  时取得．