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  • 2021-06-15 发布

高考数学复习 17-18版 第3章 第14课 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

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第14课 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 线性规划 ‎√‎ ‎1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax+By+C>0‎ 直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括 边界直线 Ax+By+C≥0‎ 包括 边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 ‎2.线性规划中的相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x,y组成的不等式(组)‎ 线性约束条件 由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 关于x,y的函数解析式,如z=2x+3y等 线性目标函数 关于x,y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x,y)‎ 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.(  )‎ ‎(2)线性目标函数的最优解可能不唯一.(  )‎ ‎(3)目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.(  )‎ ‎(4)不等式x2-y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√‎ ‎2.(教材改编)不等式组表示的平面区域是下图中的________.(填序号)‎ 图141‎ ‎③ [x-3y+6<0表示直线x-3y+6=0左上方的平面区域,x-y+2≥0表示直线x-y+2=0及其右下方的平面区域.]‎ ‎3.(2016·全国卷Ⅲ)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为________.‎  [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分.‎ 由得A.‎ 当直线z=x+y过点A时,zmax=1+=.]‎ ‎4.在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是__________.‎ ‎1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示,‎ 由x=1,x+y=0得A(1,-1),‎ 由x=1,x-y-4=0得B(1,-3),‎ 由x+y=0,x-y-4=0得C(2,-2),‎ ‎∴AB=2,∴S△ABC=×2×1=1.]‎ ‎5.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为________万元.‎ 甲 乙 原料限额 A(吨)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎12‎ B(吨)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎18 [设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨,每天所获利润为z万元,则有z=3x+4y,作出可行域如图阴影部分所示,由图形可知,当直线z=3x+4y经过点A(2,3)时,z取最大值,最大值为3×2+4×3=18.]‎ 二元一次不等式(组)表示的平面区域 ‎ (1)(2016·浙江高考改编)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是________.‎ ‎(2)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是________.‎ ‎(1) (2)[5,7) [(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分,当斜率为1的直线分别过A点和B 点时满足条件,联立方程组求得A(1,2),联立方程组求得B(2,1),可求得分别过A,B点且斜率为1的两条直线方程为x-y+1=0和x-y-1=0,由两平行线间的距离公式得距离为=.‎ ‎(2)如图,‎ 当直线y=a位于直线y=5和y=7之间(不含y=7)时满足条件.]‎ ‎[规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域,若直线不过原点,特殊点常选取原点.‎ ‎2.不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集,画出图形后,面积关系结合平面几何知识求解.‎ ‎[变式训练1] 不等式组表示的平面区域的面积为__________. 【导学号:62172079】‎ ‎4 [不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.‎ 由得 ‎∴A(0,2),B(2,0),C(8,-2).‎ 直线x+2y-4=0与x轴的交点D的坐标为(4,0).‎ 因此S△ABC=S△ABD+S△BCD=×2×2+×2×2=4.]‎ 简单的线性规划问题 角度1 求线性目标函数的最值 ‎ (1)(2016·全国卷Ⅱ)若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为________.‎ ‎(2)已知实数x,y满足且数列4x,z,2y为等差数列,则实数z的最大值是__________.‎ ‎(1)-5 (2)3 [ (1)不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.‎ 由z=x-2y得y=x-z.‎ 平移直线y=x,易知经过点A(3,4)时,z有最小值,最小值为z=3-2×4=-5.‎ ‎(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以,,(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界),又由题意易得z=2x+y,所以当目标函数z=2x+y经过平面区域内的点(1,1)时,z=2x+y取得最大值zmax=2×1+1=3.]‎ 角度2 求非线性目标函数的最值 ‎ (1)(2016·江苏高考)已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是________.‎ ‎(2)若变量x,y满足约束条件则z=的取值范围是__________. 【导学号:62172080】‎ ‎(1) (2) [‎ 根据已知的不等式组画出可行域,如图阴影部分所示,则(x,y)为阴影区域内的动点.d=可以看做坐标原点O与可行域内的点(x,y)之间的距离.数形结合,知d的最大值是OA的长,d的最小值是点O到直线2x+y-2=0的距离.由可得A(2,3),‎ 所以dmax==,dmin==,所以d2的最小值为,最大值为13,所以x2+y2的取值范围是.‎ ‎(2)作出不等式组所表示的区域,如图中△ABC所表示的区域(含边界),‎ 其中点A(1,1),B(-1,-1),C.z=表示△ABC区域内的点与点M(2,0)的连线的斜率,显然kMA≤z≤kMB,即≤z≤,化简得-1≤z≤.]‎ 角度3 线性规划中的参数问题 ‎ 已知x,y满足约束条件若目标函数z=y-mx(m>0)的最大值为1,则m的值是________.‎ ‎1 [作出可行域,如图所示的阴影部分.‎ ‎∵m>0,∴当z=y-mx经过点A时,z取最大值,由解得即A(1,2),∴2-m ‎=1,解得m=1.]‎ ‎[规律方法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为:一作图、二平移、三求值.其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义.‎ ‎2.常见的目标函数有:‎ ‎(1)截距型:形如z=ax+by.求这类目标函数的最值时常将函数z=ax+by转化为直线的斜截式:y=-x+,通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.‎ ‎(2)距离型:形如z=(x-a)2+(y-b)2.‎ ‎(3)斜率型:形如z=.‎ 易错警示:注意转化的等价性及几何意义.‎ 线性规划的实际应用 ‎ (2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:‎ ‎  原料 肥料  ‎ A B C 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨.在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.‎ ‎(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;‎ ‎(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.‎ ‎[解] (1)由已知,x,y满足的数学关系式为 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分.‎ ‎(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.‎ 考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,它的图象是斜率为-,随z变化的一族平行直线,为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.根据x,y满足的约束条件,由图②可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.‎ 解方程组得点M的坐标为(20,24),‎ 所以zmax=2×20+3×24=112.‎ 答:生产甲种肥料20车皮,乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.‎ ‎[规律方法] 1.解线性规划应用题的步骤 ‎(1)转化——设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为线性规划问题;‎ ‎(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题;‎ ‎(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案.‎ ‎2.解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关系,最好列成表格,然后用字母表示变量,列出线性约束条件;写出要研究的函数,转化成线性规划问题.‎ ‎[变式训练2] 某企业生产A,B两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表:‎ 产品品种 劳动力(个)‎ 煤(吨)‎ 电(千瓦)‎ A产品 ‎3‎ ‎9‎ ‎4‎ B产品 ‎10‎ ‎4‎ ‎5‎ 已知生产每吨A产品的利润是7万元,生产每吨B产品的利润是12万元,现因条件限制,该企业仅有劳动力300个,煤360吨,并且供电局只能供电200千瓦,试问该企业如何安排生产,才能获得最大利润?‎ ‎[解] ‎ 设生产A,B两种产品分别为x吨,y吨,利润为z万元,依题意,得 目标函数为z=7x+12y.‎ 作出可行域,如图阴影所示.‎ 当直线7x+12y=0向右上方平行移动时,经过M时z取最大值.‎ 解方程组得 因此,点M的坐标为(20,24),‎ ‎∴该企业生产A,B两种产品分别为20吨和24吨时,才能获得最大利润.‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1.确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界,特殊点定域”.‎ ‎(1)直线定界:即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号,把直线画成实线.‎ ‎(2)特殊点定域:当C≠0时,常把原点作为测试点;当C=0时,常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点.‎ ‎2.利用线性规划求最值的步骤是:‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域;‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形;‎ ‎(3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解;‎ ‎(4)求最值:将最优解代入目标函数求最值.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.‎ ‎2.求二元一次函数z=ax+by(ab≠0)的最值,利用其几何意义,通过求y=-x+的截距的最值间接求出z的最值,要注意:当b>0时,截距取最大值时,z也取最大值;截距取最小值时,z也取最小值.当b<0时,结论与b>0的情形恰好相反.‎ 课时分层训练(十四)‎ A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ ‎1.已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则a的取值范围为________.‎ ‎(-7,24) [根据题意知(-9+2-a)·(12+12-a)<0,‎ 即(a+7)(a-24)<0,解得-70)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围是________. ‎ ‎【导学号:62172083】‎  [画出x,y满足约束条件的可行域如图所示,要使目标函数z=ax+y仅在点(3,0)处取得最大值,则直线y=-ax+z的斜率应小于直线x+2y-3=0的斜率,即-a<-,‎ ‎∴a>.]‎ ‎12.实数x,y满足不等式组则z=|x+2y-4|的最大值为________.‎ ‎21 [作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.‎ z=|x+2y-4|=·,即其几何含义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的倍.‎ 由得B点坐标为(7,9),显然点B到直线x+2y-4=0的距离最大,此时zmax=21.]‎ B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.设变量x,y满足约束条件则z=2x-2y的最小值为________.‎  [设m=x-2y,则y=x-,作出不等式组对应的平面区域如图,平移直线y=x-,由图可知当直线y=x-过点A时,直线y=x-的截距最大,此时m最小,由解得即A(2,2),此时m最小,为2-2×2=-2,则z=2x-2y的最小值为2-2=.]‎ ‎2.已知点A(2,-2),点P(x,y)在所表示的平面区域内,则在方向上投影的取值范围是________.‎  [不等式组表示的平面区域,如图所示.由向量投影的几何意义知,当点P与点D重合时投影最大,当点P与点B或点C重合时投影最小.‎ 又C(-1,0),D(0,-1),‎ ‎∴=(-1,0),‎ =(0,-1),‎ ‎∴在方向上的投影为=,‎ 在方向上的投影为=-,‎ 故在方向上投影的取值范围是.]‎ ‎3.(2017·盐城三模)已知实数x,y满足约束条件则的最大值为________.‎  [画出不等式表示的可行域,如图所示.‎ 又表示点P与可行域内的点连线的斜率,显然kAP≤≤k PC.又kPC==,‎ ‎∴的最大值为.]‎ ‎4.设实数x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为10,则a2+b2的最小值为________.‎  [因为a>0,b>0,‎ 所以由可行域得,如图,‎ 当目标函数过点(4,6)时,z取最大值,‎ ‎∴4a+6b=10.‎ a2+b2的几何意义是直线‎4a+6b=10上任意一点到点(0,0)的距离的平方,那么其最小值是点(0,0)到直线‎4a+6b=10距离的平方,则a2+b2的最小值是.]‎ ‎5.(2017·南京模拟)已知点P(x,y)的坐标满足条件那么点P到直线3x-4y-13=0的距离的最小值为________.‎ ‎2 [作出可行域如图所示.‎ 由图可知,当直线3x-4y-13=0的平行线经过可行域中的点A(1,0)时,可行域中的点距直线3x-4y-13=0的距离最小,为d==2.]‎ ‎6.(2017·苏州模拟)已知点P(x,y)满足条件(k为常数),若z=x+3y的最大值为8,则k=________.‎ ‎-6 [画出x,y满足的可行域,如图中阴影部分所示.‎ 联立得 即A.‎ 因此,目标函数z=x+3y在点A处取得最大值,‎ 所以-+3×=8,所以k=-6.]‎