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- 2021-06-15 发布
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精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升
第六章 平面向量及其应用
§6.2 平面向量的运算
6.2.3 向量的数乘运算
第
一
篇
教
材
过
关
精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升
一只兔子第1秒钟向东跑了2米,第2、3秒钟又向东各跑了2米.
问题1:兔子3秒的位移一共是多少?
情景导学
精读教材·必备知识
答案 设兔子第1秒的位移是向量a,则3秒的位移是向量3a.
问题2:若兔子向西跑3秒,则向量是多少?
答案 -3a(用a表示向东跑1秒).
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1.向量的数乘
教材研读
定义 实数λ与向量a的积是一个①
记法 λa
长度 |λa|=|λ||a|
方向 λ>0 λa的方向与a的方向②
λ<0 λa的方向与a的方向③
向量
相同
相反
几何
意义
λa中的实数λ是向量a的系数
λ>0 λa可以看作是把向量a沿着a的方向扩大④ 倍得到
λ<0 λa可以看作是把向量a沿着a的反方向缩小|λ|倍得到
|λ|
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特别提醒
当λ=0时,λa=0.当λ≠0时,若a=0,也有λa=0.
思考1:实数与向量能否进行加减运算?
提示 不能.
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2.向量的数乘运算的运算律
设λ,μ为实数,那么
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=⑤ ;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
思考2:向量数乘运算律与实数乘法运算律有什么关系?
λa+μa
提示 两种运算律类似,(2)(3)式是向量因式不同的分配律.
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3.向量的线性运算
(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍
是⑥ .
(2)对于任意向量a,b以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
思考3:向量的线性运算法则与实数的运算法则有什么关系?
向量
提示 在形式上类似.
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4.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使⑦ .
思考4:λ与向量a,b的方向有什么关系?
b=λa
提示 若λ>0,则a与b同向;若λ<0,则a与b反向.
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探究一 向量的线性运算
互动探究·关键能力
例1 (1)化简下列各式:
①3(6a+b)-9 ;
② -2 ;
③2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
(2)已知向量a,b,m,n满足a=3m+2n,b=m-3n,试用向量a,b表示向量m,n.
1
3
a b
1
2
13 2 -
2
a b a b
1 3
2 8
a b
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解析 (1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a.
②原式= -a- b=a+ b-a- b=0.
③原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
(2)a=3m+2n①,b=m-3n②,
则①×3+②×2得3a+2b=11m,
即m= a+ b.
①-②×3得a-3b=11n,
1
2
32
2
a b
3
4
3
4
3
4
3
11
2
11
即n= a- b.
1
11
3
11
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思维突破
向量的线性运算的技巧
向量的线性运算类似于代数多项式的运算.
(1)实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等方法在向量线性
运算中也可以使用.
(2)这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
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跟踪训练
1-1 化简下列各式:
(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);
(2) [2(2a+8b)-4(4a-2b)];
(3)(m+n)(a-b)-(m-n)(a+b).
1
6
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解析 (1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.
(2)原式= ×(4a+16b-16a+8b)= ×(-12a+24b)=-2a+4b.
(3)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b)
=(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b
=2na-2mb.
1
6
1
6
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探究二 共线向量定理及其应用
例2 设两个非零向量a与b不共线.
(1)若 =a+b, =2a+8b, =3(a-b),求证:A、B、D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.
AB
BC
CD
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解析 (1)证明:∵ =a+b, =2a+8b,
=3(a-b),
∴ = + =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5 .
∴ 、 共线,
又∵ 与 有公共点B,∴A、B、D三点共线.
(2)∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
AB
BC
CD
BD
BC
CD
AB
AB
BD
AB
BD
即ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a、b是不共线的两个非零向量,
∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.
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思维突破
用向量法证明三点共线的关键与步骤
(1)关键:能否找到一个实数λ,使得b=λa(a、b为这三点构成的任意两个向量).
(2)步骤:先证明向量共线,然后指出两向量有公共点,从而证得三点共线.
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跟踪训练
2-1 如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在线段BD上,且有BN=
BD,求证:M,N,C三点共线.
1
3
精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升
证明 设 =a, =b,则 = + = + = + ( - )= a+ (b
-a)= a+ b, = + = + = a+b=3× =3 ,∴ , 共线,
AB
BC
MN
MB
BN
1
2
AB
1
3
BD
1
2
AB
1
3
AD
AB
1
2
1
3
1
6
1
3
MC
MB
BC
1
2
AB
BC
1
2
1 1
6 3
a b
MN
MC
MN
又 与 有公共点M,∴M,N,C三点共线. MC
MN
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探究三 向量线性运算的应用
例3 (易错题)已知点E,F分别为四边形ABCD的对角线AC,BD的中点,设 =a,
=b,试用a,b表示 .
BC
DA
EF
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解析 如图所示,取AB的中点P,连接EP,FP.
在△ABC中,EP是中位线,
所以 = = a.
在△ABD中,FP是中位线,
PE
1
2
BC
1
2
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所以 = =- =- b.
在△EFP中, = + =- + =- ·a- b
=- (a+b).
PF
1
2
AD
1
2
DA
1
2
EF
EP
PF
PE
PF
1
2
1
2
1
2
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易错点拨
在根据平面几何图形进行化简、证明时,要准确应用平面几何图形的性质.应
根据题意判断所给图形是不是特殊图形,不能盲目运用特殊图形的性质进行
求解.
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跟踪训练
3-1 已知四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC,AB的
中点,已知 =a, =b,试用a,b表示 和 .
AB
AD
BC
MN
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解析 解法一:如图,连接CN,
易知AN DC,
所以四边形ANCD是平行四边形.
=- =-b,又因为 + + =0,
所以 =- - =b- a,
CN
AD
CN
NB
BC
BC
CN
NB
1
2
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= - = + =-b+ a.
解法二:因为 + + + =0,
所以a+ + +(-b)=0,
所以 =b- a,
又因为在四边形ADMN中有 + + + =0,
所以b+ a+ + =0,
MN
CN
CM
CN
1
2
AN
1
4
AB
BC
CD
DA
BC
1-
2
a
BC
1
2
AD
DM
MN
NA
1
4
MN
1-
2
a
所以 = a-b.MN
1
4
精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升
3-2 设O为△ABC内任意一点,且满足 +2 +3 =0,若D,E分别是BC,CA的
中点.
(1)求证:D,E,O三点共线;
(2)求 的值.
OA
OB
OC
ABC
AOC
S
S
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解析 (1)证明:如图, + = 2 , + =2 ,
∴ +2 +3 =( + )+2( + )=2(2 + )=0,
∴2 + =0,∴ 与 共线,
又 与 有公共点O,
∴D,E,O三点共线.
OB
OC
OD
OA
OC
OE
OA
OB
OC
OA
OC
OB
OC
OD
OE
OD
OE
OD
OE
OD
OE
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(2)由(1)知2| |=| |,
∴S△AOC=2S△COE=2× S△CDE=2× × ×S△ABC= S△ABC,
∴ =3.
OD
OE
2
3
2
3
1
4
1
3
ABC
AOC
S
S
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1.已知非零向量a,b满足a=4b,则 ( )
A.|a|=|b|
B.4|a|=|b|
C.a,b的方向相同
D.a,b的方向相反
课堂检测
评价检测·素养提升
解析 ∵a=4b,4>0,∴|a|=4|b|.
∵4b与b的方向相同,∴a与b的方向相同.
C
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2.(多选题)下列向量中,a,b一定共线的是 ( )
A.a=2e,b=-2e
B.a=e1-e2,b=-2e1+2e2
C.a=4e1- e2,b=e1- e2
2
5
1
10
D.a=e1+e2,b=2e1-2e2
解析 A中,b=-a,则a,b共线;B中,b=-2a,则a,b共线;C中,a=4b,则a,b共线;
D中,a,b不共线.
ABC
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3.已知向量a=e1+λe2,b=2e1,λ∈R,且λ≠0,若a∥b,则 ( )
A.e1=0 B.e2=0
C.e1∥e2 D.e1∥e2或e1=0或e2=0
D
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4.已知x,y是实数,向量a,b不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则x= ,
y= .
解析 由已知得 解得x=y= .
-1 0,
- 0,
x y
x y
1
2
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5.已知两个非零向量e1、e2不共线,若 =2e1+3e2, =6e1+23e2, =4e1-8e2.求
证:A、B、D三点共线.
AB
BC
CD
证明 ∵ = + + AD
AB
BC
CD
=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2
=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6 ,
∴ , 共线.
又∵ 和 有公共点A,
∴A、B、D三点共线.
AB
AD
AB
AD
AB
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数学运算——在几何图形中进行向量线性运算
如图所示,已知▱ ABCD的边BC,CD上的中点分别为K,L,且 =e1, =e2,试用e1,
e2表示 , .
审:几何图形中用已知向量表示待求向量,可考虑用三角形法则或共线定理.
AK
AL
BC
CD
素养演练
精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升
联:结合图形特征,把待求向量放在三角形中,进行加减运算.
解:解法一:设 =a,则 =① ,BC
BK
= + =e1- a, = e1- a. AB
AK
KB
1
2
DL
1
2
1
4
又 = =a,由 + = ,得a+ e1- a=e2,
解得a=② .
AD
BC
AD
DL
AL
1
2
1
4
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由 =- , =e1- a,得
=③ .
解法二:设 =m, =n,则 = m, =- n.
由 + = , + = ,
得④ ,
CD
AB
AB
1
2
CD
BC
CD
BK
1
2
DL
1
2
AB
BK
AK
AD
DL
AL
得m= (2e2-e1),n=⑤ ,
2
3
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即 = e2- e1, =- e1+ e2.
解法三:如图所示,BC的延长线与AL的延长线交于点E,则△DLA≌ △CLE.
从而 =2 , = = , = ,
BC
4
3
2
3
CD
4
3
2
3
AE
AL
CE
AD
BC
KE
3
2
BC
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由 = - ,得 =2e2-e1,
即 =⑥ .
同理可得 =⑦ .
思:解决此类问题的一般思路是将所表示向量置于某一个三角形内,用加减法
进行运算,然后逐步用已知向量表示待求向量,过程中体现数学运算核心素养.
KE
AE
AK
3
2
BC
BC
CD
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针对训练
如图所示,四边形OADB是以向量 =a, =b为邻边的平行四边形,又BM=
BC,CN= CD,试用a,b表示 、 、 .
OA
OB
1
3
1
3
OM
ON
MN
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解析 = = = ( - )= (a-b)= a- b,
∴ = + =b+ a- b= a+ b.
∵ = = ,
∴ = + = + = = ( + )= a+ b,
= - = a+ b- a- b= a- b.
BM
1
3
BC
1
6
BA
1
6
OA
OB
1
6
1
6
1
6
OM
OB
BM
1
6
1
6
1
6
5
6
CN
1
3
CD
1
6
OD
ON
OC
CN
1
2
OD
1
6
OD
2
3
OD
2
3
OA
OB
2
3
2
3
MN
ON
OM
2
3
2
3
1
6
5
6
1
2
1
6
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