高科数学专题复习课件：第五章 5_1平面向量的概念及线性运算 51页

§5.1 　 平面向量的概念及线性运算 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 名称 定义 备注 向量 既有 ， 又 有 的 量；向量的大小叫做 向量的 ( 或 称 ) 平面向量是自由向量 零向量 长度 为 的 向量；其方向是任意的 记作 __ 单位向量 长度 等于 的 向量 非零向量 a 的 单位向量为 ± 1. 向量的有关 概念 知识梳理 大小 方向 长度 模 0 0 1 个单位 平行向量 方向 或 的 非零向量 0 与任一 向量 或 共线 共线向量 方向 或 的 非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度 且方向 的 向量 0 的相反向量为 0 相同 相反 相等 相同 相反 相等 平行 相同 相反 2. 向量的线性运算 向量运算 定义 法则 ( 或几何意义 ) 运算律 加法 求两个向量和的运算 法则 法则 (1) 交换律： a ＋ b ＝ ； (2) 结合律： ( a ＋ b ) ＋ c ＝ _________ 平行四边形 三角形 b ＋ a a ＋ ( b ＋ c ) 几何画板展示 几何画板展示 减法 求 a 与 b 的相反向量－ b 的和的运算 法则 a － b ＝ a ＋ ( － b ) 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运算 (1)| λ a | ＝ ； (2) 当 λ >0 时， λ a 的方向与 a 的 方向 ； 当 λ <0 时， λ a 的方向与 a 的 方向 ； 当 λ ＝ 0 时， λ a ＝ __ (1) λ ( μ a ) ＝ ； (2)( λ ＋ μ ) a ＝ ； (3) λ ( a ＋ b ) ＝ _______ 三角形 | λ || a | 相同 相反 ( λμ ) a λ a ＋ μ a λ a ＋ λ b 0 几何画板展示 3. 共线向量定理 向量 a ( a ≠ 0 ) 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ ，使 b ＝ λ a . 1. 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后 一个向量终点的向量， 特别 地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量 . 知识 拓展 2. 若 P 为线段 AB 的中点， O 为平面内任一点， 则 . 3 . ( λ ， μ 为实数 ) ，若点 A ， B ， C 共线，则 λ ＋ μ ＝ 1. 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量 .( 　 　 ) (2)| a | 与 | b | 是否相等与 a ， b 的方向无关 .( 　 　 ) (3) 若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c .( 　 　 ) (4) 若 向量 与向量 是 共线向量，则 A ， B ， C ， D 四点在一条直线上 . ( 　 　 ) (5) 当两个非零向量 a ， b 共线时，一定有 b ＝ λ a ，反之成立 .( 　 　 ) × √ 思考辨析 √ × × 1. 给出下列命题： ① 零向量的长度为零，方向是任意的； ② 若 a ， b 都是单位向量，则 a ＝ b ； ③ 向量 相等 . 则所有正确命题的序号 是 A. ① B . ③ C . ①③ D . ①② 考点自测 根据零向量的定义可知 ① 正确 ； 根据 单位向量的定义可知，单位向量 的模 相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故 ② 错误； 答案 解析 2.( 教材改编 ) D 是 △ ABC 的边 AB 上的中点，则 向量 等于 答案 解析 如图， 3. 对于非零向量 a ， b ， “ a ＋ b ＝ 0 ” 是 “ a ∥ b ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 解析 当 a ＋ b ＝ 0 时， a ＝－ b ， ∴ a ∥ b ； 当 a ∥ b 时，不一定有 a ＝－ b ， ∴ “ a ＋ b ＝ 0 ” 是 “ a ∥ b ” 的充分不必要条件 . A. λ ＋ μ ＝ 2 B. λ － μ ＝ 1 C. λμ ＝－ 1 D. λμ ＝ 1 4. 已知 a ， b 是不共线的向量 ， 那么 A ， B ， C 三点共线的充要条件是 答案 解析 所以 λ a ＋ b ＝ t ( a ＋ μ b ) ＝ t a ＋ tμ b ， 5. 在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O ， 则 λ ＝ __. 答案 解析 2 题型分类　深度剖析 例 1 　 给出下列四个命题： ① 若 | a | ＝ | b | ，则 a ＝ b ； ② 若 A ， B ， C ， D 是不共线的四点， 则 是 四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ③ 若 a ＝ b ， b ＝ c ，则 a ＝ c ； ④ a ＝ b 的充要条件是 | a | ＝ | b | 且 a ∥ b . 其中正确命题的序号 是 A. ②③ B. ①② C . ③④ D . ②④ 题型一　平面向量的概念 答案 解析 ① 不正确 . 两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 . 又 A ， B ， C ， D 是不共线的四点 ， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形 ；反之 ，若四边形 ABCD 为平行四边形， ③ 正确 . ∵ a ＝ b ， ∴ a ， b 的长度相等且方向相同 ，又 b ＝ c ， ∴ b ， c 的长度相等且方向相同 ， ∴ a ， c 的长度相等且方向相同 ， 故 a ＝ c . ④ 不正确 . 当 a ∥ b 且方向相反时，即使 | a | ＝ | b | ，也不能得到 a ＝ b ， 故 | a | ＝ | b | 且 a ∥ b 不是 a ＝ b 的充要条件，而是必要不充分条件 . 综上所述，正确命题的序号是 ②③ . 故选 A . 向量有关概念的关键点 (1) 向量定义的关键是方向和长度 . (2) 非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制 . (3) 相等向量的关键是方向相同且长度相等 . (4) 单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度 . (5) 零向量的关键是方向没有限制，长度是 0 ，规定零向量与任何向量共线 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 设 a 0 为单位向量， ① 若 a 为平面内的某个向量，则 a ＝ | a | a 0 ； ② 若 a 与 a 0 平行，则 a ＝ | a | a 0 ； ③ 若 a 与 a 0 平行且 | a | ＝ 1 ，则 a ＝ a 0 . 上述命题中，假命题的个数 是 A.0 B.1 C.2 D.3 答案 解析 向量是既有大小又有方向的量， a 与 | a | a 0 的模相同，但方向不一定相 同，故 ① 是假命题 ； 若 a 与 a 0 平行，则 a 与 a 0 的方向有两种情况 ： 一 是同向，二是反向，反向时 a ＝－ | a | a 0 ，故 ②③ 也是假命题 . 综上所述 ，假命题的个数是 3. 例 2 　 题型二　平面向量的线性运算 命题点 1 　 向量的线性运算 答案 解析 答案 解析 例 3 ( 1) 设 D 、 E 分别是 △ ABC 的边 AB 、 BC 上的点， 答案 解析 命题 点 2 　根据向量线性运算求参数 (2) 在 △ ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上， 且 　　　　 ， 点 O 在线段 CD 上 ( 与点 C ， D 不重合 ) ， 若 　　　　　　　　　 ， 则 x 的取值范围是 答案 解析 思维 升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1) 向量加法或减法的几何意义 . 向量加法和减法均适合三角形法则 . (2) 求已知向量的和 . 一般共起点的向量求和用平行四边形法则 ； 求 差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则 . (3) 求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值 . 跟踪训练 2 如 图，一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB ， AD 分别交于 E ， F 两点，且交 对角线 AC 于 点 K ，其中， 则 λ 的值为　 答案 解析 求证： A ， B ， D 三点共线； 例 4 　 设两个非零向量 a 与 b 不共线 . 题型三　共线定理的应用 又 ∵ 它们有公共点 B ， ∴ A ， B ， D 三点共线 . 证明 (2) 试确定实数 k ，使 k a ＋ b 和 a ＋ k b 共线 . 解 答 假设 k a ＋ b 与 a ＋ k b 共线， 则存在实数 λ ，使 k a ＋ b ＝ λ ( a ＋ k b ) ， 即 ( k － λ ) a ＝ ( λk － 1) b . 又 a ， b 是两个不共线的非零向量， ∴ k － λ ＝ λk － 1 ＝ 0. 消去 λ ，得 k 2 － 1 ＝ 0 ， ∴ k ＝ ±1. (1) 证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 . 当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 . (2) 向量 a 、 b 共线是指存在不全为零的实数 λ 1 ， λ 2 ，使 λ 1 a ＋ λ 2 b ＝ 0 成立，若 λ 1 a ＋ λ 2 b ＝ 0 ，当且仅当 λ 1 ＝ λ 2 ＝ 0 时成立，则向量 a 、 b 不共线 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 A. A ， B ， C 三点共线 B. A ， B ， D 三点共线 C. A ， C ， D 三点共线 D. B ， C ， D 三点共线 ∴ A ， B ， D 三点共线 . 故选 B. 答案 解析 (2) 如图所示，设 O 是 △ ABC 内部一点， 且 ，则 △ ABC 与 △ AOC 的 面积之比为 ___. ∴ O 是 AC 边上的中线 BD 的中点， ∴ S △ ABC ＝ 2 S △ OAC ， ∴△ ABC 与 △ AOC 面积之比为 2. 答案 解析 2 下列 叙述错误的是 ___. ① 若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c . ② 若非零向量 a 与 b 方向相同或相反，则 a ＋ b 与 a ， b 之一的方向相同 . ③ | a | ＋ | b | ＝ | a ＋ b | ⇔ a 与 b 方向相同 . ④ 向量 b 与向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ ，使得 b ＝ λ a . ⑤ ⑥ 若 λ a ＝ λ b ，则 a ＝ b . 现场纠错系列 5 错解展示 现场纠错 纠错心得 典 例 　 容易忽视的零向量 返回 解析 　 答案 　 ⑤ 解析 对于 ① ，当 b ＝ 0 时， a 不一定与 c 平行 . 对于 ② ，当 a ＋ b ＝ 0 时，其方向任意，它与 a ， b 的方向 都不 相同 . 对于 ③ ，当 a ， b 之一为零向量时结论不成立 . 对于 ④ ，当 a ＝ 0 且 b ＝ 0 时， λ 有无数个值 ； 当 a ＝ 0 但 b ≠ 0 或 a ≠ 0 但 b ＝ 0 时， λ 不存在 . 对于 ⑤ ，由于两个向量之和仍是一个向量 ，所以 . 对于 ⑥ ，当 λ ＝ 0 时，不管 a 与 b 的大小与方向如何，都有 λ a ＝ λ b ， 此时 不一定有 a ＝ b . 故 ①②③④⑤⑥ 均错 . 答案 ①②③④⑤⑥ 返回 在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量 . 返回 课时作业 1. 已知 a ， b 是两个非零向量，且 | a ＋ b | ＝ | a | ＋ | b | ，则下列说法正确的 是 A. a ＋ b ＝ 0 B. a ＝ b C. a 与 b 共线反向 D. 存在正实数 λ ，使 a ＝ λ b √ 因为 a ， b 是两个非零向量，且 | a ＋ b | ＝ | a | ＋ | b | ，则 a 与 b 共线同向，故 D 正确 . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 已知向量 a ， b ， c 中任意两个都不共线，但 a ＋ b 与 c 共线，且 b ＋ c 与 a 共线，则向量 a ＋ b ＋ c 等于 A. a B. b C. c D. 0 依题意，设 a ＋ b ＝ m c ， b ＋ c ＝ n a ， 则 有 ( a ＋ b ) － ( b ＋ c ) ＝ m c － n a ， 即 a － c ＝ m c － n a . 又 a 与 c 不共线 ，于是 有 m ＝－ 1 ， n ＝－ 1 ， a ＋ b ＝－ c ， a ＋ b ＋ c ＝ 0 ，选 D. √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A. A ， B ， C B. A ， B ， D C. B ， C ， D D. A ， C ， D √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A. 点 P 在线段 AB 上 B . 点 P 在线段 BC 上 C. 点 P 在线段 AC 上 D . 点 P 在 △ ABC 外部 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图所示，在 △ ABC 中，点 O 是 BC 的中点 ，过 点 O 的 直线分别交直线 AB ， AC 于 不同的两点 M ， N ， 若 ， ，则 m ＋ n 的值 为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ ∵ O 为 BC 的中点， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 取 BC 的中点 D ，连接 PD ， AD ，则 PD ⊥ BC ， √ 答案 解析 ∴ A ， P ， D 三点共线 ， ∴ AB ＝ AC ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.(2015· 课标全国 Ⅱ ) 设向量 a ， b 不平行，向量 λ a ＋ b 与 a ＋ 2 b 平行，则实数 λ ＝ __. 答案 解析 ∵ 向量 a ， b 不平行， ∴ a ＋ 2 b ≠ 0 ，又向量 λ a ＋ b 与 a ＋ 2 b 平行 ， 则 存在唯一的实数 μ ，使 λ a ＋ b ＝ μ ( a ＋ 2 b ) 成立，即 λ a ＋ b ＝ μ a ＋ 2 μ b ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.(2016· 滨州一模 ) 如图 ，网格 纸上小正方形的边长为 1 ， 若 起点和终点均在格点的向量 a ， b ， c, 满足 c ＝ x a ＋ y b ( x ， y ∈ R ) ，则 x ＋ y ＝ ___. 答案 解析 如图，取单位向量 i ， j ，则 a ＝ i ＋ 2 j ， b ＝ 2 i － j ， c ＝ 3 i ＋ 4 j . ∴ c ＝ x a ＋ y b ＝ x ( i ＋ 2 j ) ＋ y (2 i － j ) ＝ ( x ＋ 2 y ) i ＋ (2 x － y ) j ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 若 A ， B ， D 三点共线，则实数 p 的值是 ____. ∴ 2 a ＋ p b ＝ λ (2 a － b ) ， ∵ a ， b 不 共线， ∴ 2 ＝ 2 λ ， p ＝－ λ ， ∴ λ ＝ 1 ， p ＝－ 1. － 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴ sin B － sin A ＝ 0 ， sin C － sin A ＝ 0 ， 则 sin B ＝ sin A ＝ sin C . 根据正弦定理知 b ＝ a ＝ c ， ∴△ ABC 是等边三角形，则角 B ＝ 60°. 答案 解析 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 . 如图， 在 △ ABC 中， D 、 E 分别为 BC 、 AC 边上的中点， G 为 BE 上一点，且 GB ＝ 2 GE ， 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 设 a ， b 是不共线的两个非零向量 . 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 即 3 a － 2 b ＝ 2 λ a － kλ b ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1) 若 m ＋ n ＝ 1 ，求证： A ， P ， B 三点共线； 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若 A ， P ， B 三点共线，求证： m ＋ n ＝ 1. 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13