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- 2021-06-15 发布
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第6节 对数与对数函数
课时作业
A组——基础对点练
1.函数y=的定义域是( )
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(2,3)∪(3,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞)
解析:要使函数有意义应满足
即解得x>2且x≠3.故选C.
答案:C
2.设x=30.5,y=log32, =cos 2,则( )
A. <x<y B.y< <x
C. <y<x D.x< <y
解析:由指数函数y=3x的图像和性质可知30.5>1,由对数函数y=log3x的单调性可知log32<log33=1,又cos 2<0,所以30.5>1>log32>0>cos 2,故选C.
答案:C
3.(2016·高考全国卷Ⅱ)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( )
A.y=x B.y=lg x
C. y=2x D.y=
解析:函数y=10lg x的定义域为(0,+∞),又当x>0时,y=10lg x=x,故函数的值域为(0,+∞).只有D选项符合.
答案:D
4.函数y=的值域为( )
A.(0,3) B.[0,3]
C.(-∞,3] D.[0,+∞)
解析:当x<1时,0<3x<3;当x≥1时,log2x≥log21=0,所以函数的值域为[0,+∞).
答案:D
5.若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|y≥1},则函数y=loga|x|的图像大致是( )
9
解析:
若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|y≥1},则a>1,故函数y=loga|x|的大致图像如图所示.
故选B.
答案:B
6.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图像如图,则下列结论成立的是( )
A.a>1,c>1
B.a>1,0<c<1
C.0<a<1,c>1
D.0<a<1,0<c<1
解析:由对数函数的性质得00时是由函数y=logax的图像向左平移c个单位得到的,所以根据题中图像可知00时,y=xln x,y′=ln x+1,令y′>0,得x>e-1,所以当x>0时,函数在(e-1
9
,+∞)上单调递增,结合图像可知D正确,故选D.
答案:D
9.已知f(x)=asin x+b+4,若f(lg 3)=3,则f(lg)= ( )
A. B.-
C.5 D.8
解析:∵f(x)=asin x+b+4,
∴f(x)+f(-x)=8,
∵lg=-lg 3,f(lg 3)=3,
∴f(lg 3)+f(lg)=8,
∴f(lg)=5.
答案:C
10.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0]时,f(x)为减函数,若a=f(20.3),b=f(log4),c=f(log25),则a, b,c的大小关系是( )
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>c>b
解析:函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,
当x∈(-∞,0]时,f(x)为减函数,
∴f(x)在[0,+∞)上为增函数,
∵b=f(log4)=f(-2)=f(2),
又1<20.3<2b>a.故选B.
答案:B
11.已知b>0,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是( )
A.d=ac B.a=cd
C.c=ad D.d=a+c
解析:由已知得5a=b,10c=b,∴5a=10c,∵5d=10,∴5dc=10c,则5dc=5a,∴dc=a,故选B.
答案:B
12.已知函数f(x)=ln(-2x)+3,则f(lg 2)+f=( )
A.0 B.-3
9
C.3 D.6
解析:由函数解析式,得f(x)-3=ln(-2x),所以f(-x)-3=ln(+2x)=ln=-ln(-2x)=-[f(x)-3],所以函数f(x)-3为奇函数,则f(x)+f(-x)=6,于是f (lg 2)+f=f(lg 2)+f(-lg 2)=6.故选D.
答案:D
13.已知4a=2,lg x=a,则x=________.
解析:∵4a=2,∴a=,又lg x=a,x=10a=.
答案:
14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2x-1,则f=________.
解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f=-f=-=.
答案:
15.函数f(x)=log2(-x2+2)的值域为________.
解析:由题意知0<-x2+2≤2=2,结合对数函数图像(图略),知f(x)∈,故答案为.
答案:
16.若log2a<0,则a的取值范围是________.
解析:当2a>1时,
∵log2a<0=log2a1,∴<1.
∵1+a>0,∴1+a2<1+a,
∴a2-a<0,∴0<a<1,∴<a<1.
当0<2a<1时,∵log2a<0=log2a1,
∴>1.
9
∵1+a>0,∴1+a2>1+a.
∴a2-a>0,∴a<0或a>1,此时不合题意.
综上所述,a∈.
答案:
B组——能力提升练
1.(2018·甘肃诊断考试)已知函数f(x)=,则f(1+log25)的值为( )
A. B.1+log25
C. D.
解析:∵2<log25<3,∴3<1+log25<4,则4<2+log25<5,f(1+log25)=f(1+1+log25)=f(2+log25)=2+log25=×log25=×=,故选D.
答案:D
2.(2018·四川双流中学模拟)已知a=log29-log2,b=1+log2,c=+log2,则( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.c>b>a
解析:a=log29-log2=log23,b=1+log2=log22,c=+log2=log2,因为函数y=log2x是增函数,且2>3>,所以b>a>c,故选B.
答案:B
3.设f(x)=lg是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(-∞,0)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
解析:∵f(x)=lg是奇函数,
∴对定义域内的x值,有f(0)=0,
由此可得a=-1,∴f(x)=lg,
根据对数函数单调性,
9
由f(x)<0,得0<<1,∴x∈(-1,0).
答案:A
4.当0<x<1时,f(x)=xln x,则下列大小关系正确的是( )
A.[f(x)]2<f(x2)<2f(x)
B.f(x2)<[f(x)]2<2f(x)
C.2f(x)<f(x2)<[f(x)]2
D.f(x2)<2f(x)<[f(x)]2
解析:当0<x<1时,f(x)=xln x<0,2f(x)=2xln x<0,f(x2)=x2ln x2<0,[f(x)]2=(xln x)2>0.又2f(x)-f(x2)=2xln x-x2ln x2=2xln x-2x2ln x=2x(1-x)ln x<0,所以2f(x)<f(x2)<[f(x)]2.故选C.
答案:C
5.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,若对于任意的实数x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(2 014)+f(-2 015)+f(2 016)的值为( )
A.-1 B.-2
C.2 D.1
解析:∵当x≥0时,f(x+2)=f(x),∴f(2 014)=f(2 016)=f(0)=log21=0,∵f(x)为R上的奇函数,∴f(-2 015)=-f(2 015)=-f(1)=-1.∴f(2 014)+f(-2 015)+f(2 016)=0-1+0=-1.故选A.
答案:A
6.已知y=loga(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,则a的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2)
C.(1,2) D.[2,+∞)
解析:因为y=loga(2-ax)在 [0,1]上单调递减,u=2-ax(a>0)在[0,1]上是减函数,所以y=logau是增函数,所以a>1,又2-a>0,所以1<a<2.
答案:C
7.已知f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,若f(lg x)>f(2),则x的取值范围是( )
A. B.∪(1,+∞)
C. D.(0,1)∪(100,+∞)
解析:不等式可化为或,解得1≤x<100或<x<1.
9
∴<x<100.故选C.
答案:C
8.已知函数f(x)=|logx|,若m0,从而0g(1)=4,可知选D.
答案:D
9.已知函数y=f(x)(x∈D),若存在常数c,对于任意x1∈D,存在唯一x2∈D,使得=c,则称函数f(x)在D上的均值为c.若f(x)=lg x,x∈[10,100],则函数f(x)在[10,100]上的均值为( )
A.10 B.
C. D.
解析:因为f(x)=lg x(10≤x≤100),则=等于常数c,即x1x2为定值,又f(x)=lg x(10≤x≤100)是增函数,所以取x1=10时,必有x2=100,从而c为定值.选D.
答案:D
10.已知函数f(x)=(ex-e-x)x,f(log5x)+f(logx)≤2f(1),则x的取值范围是( )
A.
B.[1,5]
C.
D.∪[5,+∞)
解析:∵f(x)=(ex-e-x)x,
9
∴f(-x)=-x(e-x-ex)=(ex-e-x)x=f(x)(x∈R),∴函数f(x)是偶函数.
∵f′(x)=(ex-e-x)+x(ex+e-x)>0在(0,+∞)上恒成立.
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
∵f(log5x)+f(logx)≤2f(1),
∴2f(log5x)≤2f(1),即f(log5x)≤f(1),
∴|log5x|≤1,∴≤x≤5.故选C.
答案:C
11.设方程log2x-x=0与logx-x=0的根分别为x1,x2,则( )
A.0<x1x2<1 B.x1x2=1
C.1<x1x2<2 D.x1x2≥2
解析:方程log2x-x=0与logx-x=0的根分别为x1,x2,所以log2x1=x1,logx2=x2,可得x2=,令f(x)=log2x-x,则f(2)f(1)<0,所以1<x1<2,所以<x1x2<1,即0<x1x2<1.故选A.
答案:A
12.已知函数f(x)=ln,若f+f+…+f=503(a+b),则a2+b2的最小值为( )
A.6 B.8
C.9 D.12
解析:∵f(x)+f(e-x)=ln+ln=ln e2=2,∴503(a+b)=f+f+…+f=
+…+f+f=×(2×2 012)=2 012,
∴a+b=4,∴a2+b2≥==8,当且仅当a=b=2时取等号.
∴a2+b2的最小值为8.
答案:B
13.若函数f(x)=(a>0,且a≠1)的值域是(-∞,-1],则实数a的取值范围是________.
解析:x≤2时,
9
f(x)=-x2+2x-2=-(x-1)2-1,
f(x)在(-∞,1)上递增,在(1,2]上递减,
∴f(x)在(-∞,2]上的最大值是-1,又f(x)的值域是(-∞,-1],∴当x>2时,
logax≤-1,故0<a<1,且loga2≤-1,
∴≤a<1.
答案:
14.(2018·湘潭模拟)已知函数f(x)=ln,若f(a)+f(b)=0,且0
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