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  • 2021-06-15 发布

高考数学一轮复习练案15第二章函数导数及其应用第十二讲导数在研究函数中的应用第1课时导数与函数的单调性含解析

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‎ [练案15]第十二讲 导数在研究函数中的应用 第一课时 导数与函数的单调性 A组基础巩固 一、单选题 ‎1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( D )‎ A.(-∞,2)   B.(0,3)‎ C.(1,4)   D.(2,+∞)‎ ‎[解析] f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令f′(x)>0,解得x>2.故选D.‎ ‎2.已知函数f(x)=xln x,则f(x)( D )‎ A.在(0,+∞)上单调递增 B.在(0,+∞)上单调递减 C.在(0,)上单调递增 D.在(0,)上单调递减 ‎[解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),所以f′(x)=ln x+1(x>0).当f′(x)>0时,解得x>,即函数的单调递增区间为(,+∞);当f′(x)<0时,解得0f(2)>f(3)   B.f(3)>f(e)>f(2)‎ C.f(3)>f(2)>f(e)   D.f(e)>f(3)>f(2)‎ ‎[解析] f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=,令f′(x)=0,得x=e.所以当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,故f(x)max=f(e)=,而f(2)==,所以f(3)==,所以f(e)>f(3)>f(2).故选D.‎ ‎4.设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( A )‎ A.(1,2]   B.[4,+∞)‎ C.(-∞,2]   D.(0,3]‎ - 6 -‎ ‎[解析] f′(x)=x-(x>0),当x-≤0时,有01的解集为( A )‎ A.(-3,-2)∪(2,3)‎ B.(-,)‎ C.(2,3)‎ D.(-∞,-)∪(,+∞)‎ ‎[解析] 由y=f′(x)的图象知,f(x)在(-∞,0]上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,又f(-2)=1,f(3)=1,所以f(x2-6)>1可化为-20恒成立,则下列不等式成立的是( A )‎ A.f(-3)f(-5)‎ C.f(-5)0即f′(x)<0,‎ ‎∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,又f(x)为偶函数,‎ ‎∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ ‎∴f(3)n   B.m30,f(x)单调递增,‎ - 6 -‎ 又由m3+sin 0时,求函数f(x)的单调区间.‎ ‎[解析] (1)a=0时,f(x)=xex,f′(x)=(x+1)ex,‎ 所以切线的斜率是k=f′(1)=2e.‎ - 6 -‎ 又f(1)=e,所以y=f(x)在点(1,e)处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.‎ ‎(2)f′(x)=(x+1)(ex-a),令f′(x)=0,得x=-1或x=ln a.‎ ‎①当a=时,f′(x)≥0恒成立,所以f(x)在R上单调递增.‎ ‎②当00,得x-1,由f′(x)<0,得ln a时,ln a>-1,由f′(x)>0,得x<-1或x>ln a,由f′(x)<0,得-1时,单调递增区间为(-∞,-1),(ln a,+∞),单调递减区间为(-1,ln a).‎ ‎13.(2020·四川成都诊断)已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x(a≠0).‎ ‎(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围.‎ ‎[解析] (1)h(x)=ln x-ax2-2x,x∈(0,+∞),则h′(x)=-ax-2.‎ 由h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,知当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解,即a>-有解.‎ 设G(x)=-,则只要a>G(x)min即可,‎ 而G(x)=(-1)2-1,所以G(x)min=-1,所以a>-1.‎ ‎(2)由h(x)在[1,4]上单调递减,得当x∈[1,4]时,‎ h′(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥-恒成立,‎ 设G(x)=-,则a≥G(x)max,而G(x)=(-1)2-1,又x∈[1,4],所以∈[,1],所以G(x)max=-(此时x=4),所以a≥-.‎ B组能力提升 - 6 -‎ ‎1.(2020·河北九校第二次联考)函数f(x)=x++2ln x的单调递减区间是( B )‎ A.(-3,1)   B.(0,1)‎ C.(-1,3)   D.(0,3)‎ ‎[解析] 解法一:令f′(x)=1-+<0,得00,故排除A,C选项;又f(1)=40,解得x<-2或x>3.当g′(x)<0时,x<,所以g(x)的单调递减区间为(-∞,-2).所以函数y=log2(x2+bx+)的单调递减区间为(-∞,-2).故选D.‎ ‎3.(2020·武汉模拟)函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0,设a=f(0),b=f(),c=f(3),则( C )‎ A.a0,f(x)为增函数;又f(3)=f(-1),且-1<0<<1,因此有f(-1)1,f(0)=4,则不等式exf(x)>ex+3的解集为( B )‎ - 6 -‎ A.(0,+∞)   B.(-∞,0)∪(3,+∞)‎ C.(-∞,0)∪(0,+∞)   D.(3,+∞)‎ ‎[解析] 令g(x)=exf(x)-ex,∴g′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex=ex(f(x)+f′(x)-1)>0,g(0)=f(0)-1=3,而exf(x)>ex+3,即为exf(x)-ex>e‎0f(0)-e0等价于g(x)>g(0),∴x>0,选A.‎ ‎5.(2020·江西上饶联考)已知函数f(x)=aln x+x2+(a+1)x+1.‎ ‎(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.‎ ‎[解析] (1)当a=-1时,f(x)=-ln x+x2+1(x>0),‎ 则f′(x)=-+x=,由 解得x>1.所以函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞).‎ ‎(2)因为f(x)=aln x+x2+(a+1)x+1,‎ 所以f′(x)=+x+a+1==,‎ 又函数f(x)=aln x+x2+(a+1)x+1在(0,+∞)上单调递增,‎ 所以f′(x)≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,‎ 即x+a≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,‎ 所以a≥0.‎ 故实数a的取值范围是[0,+∞).‎ - 6 -‎