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- 2021-06-15 发布
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第二章
函数、导数及其应用
第二讲 函数的定义域、值域
1
知识梳理
•
双基自测
2
考点突破
•
互动探究
3
名师讲坛
•
素养提升
知识梳理
•
双基自测
知识点一 函数的定义域
函数
y
=
f
(
x
)
的定义域
1
.
求定义域的步骤:
(1)
写出使函数式有意义的不等式
(
组
)
;
(2)
解不等式
(
组
)
;
(3)
写出函数定义域.
(
注意用区间或集合的形式写出
)
2
.求函数定义域的主要依据
(1)
整式函数的定义域为
R
.
(2)
分式函数中分母
____________.
(3)
偶次根式函数被开方式
________________.
(4)
一次函数、二次函数的定义域均为
______.
(5)
函数
f
(
x
)
=
x
0
的定义域为
__________________.
(6)
指数函数的定义域为
______.
(7)
对数函数的定义域为
________________.
不等于
0
大于或等于
0
R
{
x
|
x
≠0}
R
(0
,+∞
)
R
{
y
|
y
≠0}
(0
,+∞
)
R
1
.定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用
“
或
”
连接,而应该用并集符号
“
∪
”
连接.
2
.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的
________.
3
.函数
f
(
x
)
与
f
(
x
+
a
)(
a
为常数
a
≠0)
的值域相同.
并集
CD
C
B
[2
,+∞
)
2
考点突破
•
互动探究
考点一 求函数的定义域
——
多维探究
角度
1
求具体函数的定义域
例
1
C
B
例
2
角度
2
求抽象函数的定义域
[
引申
1]
(1)
若将本例中
f
(
x
)
与
f
(2
x
+
1)
互换,结果如何?
[
解析
]
(1)
f
(2
x
+
1)
的定义域为
(
-
1,0)
,即-
1<
x
<0
,
∴
-
1<2
x
+
1<1
,
∴
f
(
x
)
的定义域为
(
-
1,1)
.
[
引申
2]
(
理
)
若将本例中
f
(
x
)
改为
f
(2
x
-
1)
定义域改为
[0,1]
,求
y
=
f
(2
x
+
1)
的定义域,又该怎么办?
[
解析
]
(
理
)
∵
y
=
f
(2
x
-
1)
定义域为
[0,1]
.
∴
-
1
≤
2
x
-
1
≤
1
,要使
y
=
f
(2
x
+
1)
有意义应满足-
1
≤
2
x
+
1
≤
1
,解得-
1
≤
x
≤
0
,
因此
y
=
f
(2
x
+
1)
定义域为
[
-
1,0].
函数定义域的求解策略
(1)
已知函数解析式:构造使解析式有意义的不等式
(
组
)
求解.
(2)
实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式
(
组
)
求解.
(3)
抽象函数:
①
若已知函数
f
(
x
)
的定义域为
[
a
,
b
]
,其复合函数
f
(
g
(
x
))
的定义域由不等式
a
≤
g
(
x
)
≤
b
求出;
②
若已知函数
f
(
g
(
x
))
的定义域为
[
a
,
b
]
,则
f
(
x
)
的定义域为
g
(
x
)
在
x
∈
[
a
,
b
]
时的值域.
B
D
B
求下列函数的值域.
考点二 求函数的值域
——
师生共研
例
3
名师讲坛
•
素养提升
已知函数
f
(
x
)
=
lg[(
a
2
-
1)
x
2
+
(
a
+
1)
x
+
1]
.
(1)
若
f
(
x
)
的定义域为
R
,求实数
a
的取值范围;
(2)
若
f
(
x
)
的值域为
R
,求实数
a
的取值范围.
[
分析
]
(1)
由
f
(
x
)
的定义域为
R
知
(
a
2
-
1)
x
2
+
(
a
+
1)
x
+
1>0
的解集为
R
,即
(
a
2
-
1)
x
2
+
(
a
+
1)
x
+
1>0
恒成立;
(2)
由
f
(
x
)
的值域为
R
知
(
a
2
-
1)
x
2
+
(
a
+
1)
x
+
1
能取所有正数,即
y
=
(
a
2
-
1)
x
2
+
(
a
+
1)
x
+
1
图象的开口向上且与
x
轴必有交点.
已知函数的定义域或值域求参数的取值范围
例
4
已知函数的定义域,等于是知道了
x
的范围,
(1)
当定义域不是
R
时,往往转化为解集问题,进而转化为与之对应的方程解的问题,此时常利用代入法或待定系数法求解;
(2)
当定义域为
R
时,往往转化为恒成立的问题,常常结合图形或利用最值求解.
[0,1]
C
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