高中数学模块综合测评二新人教A版选修4-41 8页

模块综合测评(二) （时间 120 分钟，满分 150 分） 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（请把正确答案填入括号内，每小题 5 分，共 60 分） 1.椭圆    θ+y= θ+x= sin51 ,cos24 (θ为参数)的焦距为（ ） A. 21 B.2 21 C. 29 D.2 29 答案：B 2.极坐标方程ρ=4cos(θ+π4)化为直角坐标方程为…（ ） A.（x- 2 ）2+(y- 2 )2=4 B.(x- 2 )2+(y+ 2 )2=4 C.(x+ 2 )2+(y- 2 )2=2 D.(x- 2 )2+(y+ 2 )2=2 解析：由ρ=4cos(θ+ 4 π ),得ρ=2 2 cosθ-2 2 sinθ. ∴ρ2=2 2 ρcosθ-2 2 ρsinθ. ∴x2+y2=2 2 x-2 2 y. ∴(x- 2 )2+(y+ 2 )2=4. 答案：B 3.参数方程      11 ,11 +ty=t- -tx=t+ (t 为参数)表示的曲线是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析：        　　　　② ①　　 ,11 ,11 tty ttx ①2-②2 得(x+1)2-(y-1)2=4. 答案：C 4.下列以 t 为参数的参数方程所表示的曲线中，与 xy=1 所表示的曲线完全一致的是（ ） A.       2 1 2 1 ty tx B.      ty tx 1 || C.    ty= tx= sec cos D.    ty= tx= cot tan 解析：由已知 xy=1 可知 x、y 同号且不为 0，而 A、B、C 选项中尽管都满足 xy=1，但 x、y 的取值范围与已知不同.所以选 D. 答案：D 5.方程 2ρ=2ρcos2 2  +5 表示的曲线为（ ） A.直线 B.圆 C.抛物线 D.双曲线 解析：由原方程得 2ρ=ρ(1+cosθ)+5,即ρ=ρcosθ+5. ∴ 22 yx  =x+5,y2=10x+25. 答案：C 6.直线 y=ax+b 通过第一、二、四象限，则圆    θy=b+r θx=a+r sin ,cos (θ为参数)的圆心位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：由已知，得 a<0,b>0. ∴圆心（a,b）在第二象限. 答案：B 7.曲线    θy= θx= sin3 ,cos3 (0≤θ≤π)与直线 y=x+b 有公共点，则 b 满足（ ） A.-3 2 ≤b≤3 2 B.-3≤b≤3 2 C.3≤b≤3 2 D.0≤b≤3 2 解析：曲线        sin3 ,cos3 y x (0≤θ≤π)只包括 x 轴及 x 轴上方部分的圆. 答案：B 8.圆 x2+y2=1 上的点到直线         ty tx 2 2 ,2 23 (t 为参数)的距离的最大值为（ ） A. 22 3 +1 B. 22 3 -1 C. 22 3 D.1 解析：由         ,2 2 ,2 23 ty tx 得 x+y-3=0. ∴圆心（0，0）到直线的距离 d= .22 3 2 |3|  ∴所求的距离最大值为 22 3 ＋1. 答案：A 9.在极坐标系中，点（2，- 6 π ）到直线ρsin(θ- 6 π )=1 的距离是（ ） A.2 B.1 C. 3 D.1+ 3 解析：点（2，－ 6 π ）的直角坐标为（ 3 ，－1），直线ρsin(θ- 6 π )=1 可化为 x- 3 y+2=0. ∴所求距离为| .312 |233|  答案：D 10.直线    +ty= t+x= 2 ,21 (t 为参数)被圆 x2+y2=9 截得的弦长等于（ ） A. 5 12 B. 55 12 C. 5 29 D. 105 9 解析：直线      ty tx 2 ,21 化为普通方程为 x-2y+3=0.圆 x2+y2=9 的圆心（0，0）到直线的距离 为 d= .55 12 5 3  ∴所求弦长为 2× .55 12)55 3(3 22  答案：B 11.双曲线      ay ax sec6 ,tan32 (α为参数)的两焦点坐标是…（ ） A.（0，-4 3 ），（0，4 3 ） B.（-4 3 ，0）（4 3 ，0） C.（0，- 3 ），（0， 3 ） D.（- 3 ，0），（ 3 ，0） 解析：双曲线      ay ax sec6 ,tan32 (α为参数)的标准方程为 1236 22 xy  =1,焦点在 y 轴上， c2=a2+b2=48. 答案：A 12.直线      20cos ,320sin y=-t +x=t (t 为参数)的倾斜角为（ ） A.20° B.70° C.110° D.160° 解析：可化成普通方程求解，也可化为      .)sin110(-=sin70-= )cos110(-+3=cos70+3= tty ttx ， ∴直线的倾斜角为 110°. 答案：C 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（请把正确答案直接填到题后的横线上，每小题 4 分，共 16 分） 13.设有半径为 4 的圆，在极坐标系内它的圆心坐标为（4，π），则这个圆的极坐标方程是 ___________. 答案：ρ=-8cosθ 14.直线 y=2x- 2 1 与曲线    φy= φx= 2cos ,sin (φ为参数)的交点坐标为___________. 解析：           ② ① .sin21 ,sin 2cos sin 2     y x y x 将①代入②中，得 y=1-2x2,∴2x2+y=1. ∴              .2 1 ,2 1 12 2 12 2 y x yx xy 答案：( 2 1 , 2 1 ) 15.曲线ρsin2θ-2ρcosθ=0(ρ>0)关于极点的对称曲线是___________. 解析：设曲线ρsin2θ-2ρcosθ=0 上任一点极坐标为（ρ′，θ′）,其关于极点的对称点 坐标为（ρ，θ）,则ρ′sin2θ′-2ρ′cosθ′=0. ∵      ,π ,   ∴ρsin2(θ-π)-2ρcos(θ-π)=0,即ρsin2θ+2ρcosθ=0. 答案： ρsin2θ+2ρcosθ=0 16.直线 y=2 与直线    -ty= x=-t 2 , 的夹角是___________. 解析：直线 y=2 的倾斜角为 0，      ty tx 2 , 消去参数后，x+y-2=0,倾斜角为 4 3π , ∵夹角范围是［0, 2 π ］, ∴两直线夹角为 4 π . 答案： 4 π 三、解答题（请写出详细的做题步骤，共 74 分） 17.(本小题满分 12 分)化参数方程      )1( ),1( tt-y=b tt+x=a (t 为参数)为普通方程. 解：若 a=b=0 时，x=y=0,表示点（0，0）;若 a=0,b≠0 时，x=0,y∈R;若 a≠0,b=0 时， y=0,|x|≥2|a|;若 a≠0,b≠0 时,由        ,1 ,1 ttb y tta x 两式平方相减得 2 2 2 2 44 b y a x  =1. 18.(本小题满分 12 分)(1)求曲线ρcosθ+1=0 关于直线θ= 4 π 对称的曲线方程. （2）从极点 O 引定圆ρ=2cosθ的弦 OP，延长 OP 至 Q，使 PQ OP =23，求点 Q 的轨迹方程. 解：（1）设曲线ρcosθ+1=0 上任一点（ρ′，θ′），其关于直线θ= 4 π 的对称点坐标为（ρ， θ），则ρ′cosθ′+1=0. 将        2 π , 代入方程ρ′cosθ′+1=0,得 ρcos( 2 π -θ)+1=0. ∴ρsinθ+1=0. ∴所求的曲线方程为ρsinθ+1=0. (2)设 P(ρ′,θ′),Q(ρ,θ),则ρ′=2cosθ′, 将        5 2 , 代入方程ρ′=2cosθ′,得 5 2 ρ=2cosθ,即ρ=5cosθ. ∴点 Q 的轨迹方程为ρ=5cosθ. 19.(本小题满分 12 分)过点 P（ 2 10 ，0）作倾斜角为α的直线 l，与曲线 x2+2y2=1 交于点 M、N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α值. 解 ： l 方 程 为      aty atx sin ,sin2 10 (t 为 参 数 ) ， 代 入 曲 线 方 程 整 理 为 （ 1+sinα ） t2+ 10 cosαt+32=0. ∴|PM|·|PN|=|t1·t2|= a2sin1 2 3  . ∴当 sin2α=1 即α= 2 π 时，|PM|·|PN|的最小值为 34,此时α= 2 π . 20.(本小题满分 12 分)如图，过定点 A（m,0）(m>0)作直线交 y 轴于 Q 点，过 Q 作 QP⊥AQ 交 x 轴于 P 点，在 PQ 的延长线上取点 M，使|MQ|=|PQ|.当直线 AQ 变动时，求点 M 的轨迹方 程. 解：以 A 为极点，Ax 为极轴建立极坐标系.设 M（ρ，θ），由已知可得∠APQ= 2  ,|AM|=|AP|. 则|PQ|=ρcos 2  ,|OP|=ρcos2 2  . ∴ρ· 2 cos1  =m,即ρ= .cos1 2  m . ∴点 M 的轨迹方程为ρ= .cos1 2  m 21.(本小题满分 12 分)直线 l1 过点 P（4，3），且倾斜角为 arctan 3 2 . (1)求直线 l1 的参数方程； (2)若直线 l1 和直线 l2:x+y-2=0 交于点 Q，求|PQ|. 解：(1)l1 倾斜角α满足 tanα= 3 2 , ∴sinα= 13 2 ,cosα= 13 3 . ∴l1 的参数方程为         ty tx 13 23 , 13 34 (t 为参数). (2)将上式代入 x+y-2=0,得 4+3 13 3 t+3+2 13 2 t-2=0,解得 t=- 13 . ∴|PQ|=|t|= 13 . 22.(本小题满分 14 分)已知 Rt△ABC 的直角顶点 A 在直线ρcosθ=9 上移动（O＇为原点）， 又∠ACB= 6 π ，求顶点 B 的轨迹的极坐标方程. 解：如图（1），设 B（ρ,θ）,A(ρ1,θ1). 则ρcos 6 π =ρ1,即ρ1＝ 2 3 ρ.而θ1=θ- 6 π . 又∵ρ1cosθ1=9,∴ 2 3 ρcos(θ- 6 π )=9, 即ρcos(θ- 6 π )=6 3 . 若点 B 的位置如图（2）所示，同理得点 B 的轨迹方程为ρcos(θ+ 6 π )=6 3 . 综上所述，点 B 的轨迹方程为ρcos(θ± 6 π )=6 3 .