人教版高中数学选修2-3练习：第一章1-3-1-3-2“杨辉三角”与二项式系数的性质word版含解析 6页

第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 A 级 基础巩固 一、选择题 1．(1＋x)2n＋1(n∈N*)的展开式中，二项式系数最大的项所在的项 数是( ) A．n，n＋1 B．n－1，n C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3 解析：因为 2n＋1 为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最 大，中间两项的项数是 n＋1，n＋2. 答案：C 2．已知(1＋x)＋(1＋x)2 ＋…＋(1＋x)n＝a0 ＋a1x＋a2x2 ＋…＋ anxn(n∈N*)，若 a0＋a1＋…＋an＝30，则 n 等于( ) A．5 B．3 C．4 D．7 解析：令 x＝1 得 a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝30，解得 n＝ 4. 答案：C 3．在(x＋y)n 展开式中第 4 项与第 8 项的系数相等，则展开式中系 数最大的项是( ) A．第 6 项 B．第 5 项 C．第 5、第 6 项 D．第 6、第 7 项 解析：因为 C3n＝C7n，所以 n＝10，系数最大的项即为二项式系数 最大的项． 答案：A 4．已知 C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝729，则 C1n＋C3n＋C 5n的值等 于( ) A．64 B．32 C．63 D．31 解析：由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得 n＝6，则 C1n＋C3n＋C5n＝C16＋ C36＋C56＝1 2 ×26＝32. 答案：B 5．设 5x－ 1 x n 的展开式中各项系数之和为 M，二项式系数之和 为 N，若 M－N＝240，则展开式中 x 的系数为( ) A．－150 B．150 C．300 D．－300 解析：令 x＝1，得 M＝4n，又 N＝2n，故 4n－2n＝240，解得 n＝ 4.展开式中的通项为 Tr＋1＝Cr4(5x)4－r － 1 x r ＝(－1)r54－rCr4x4－3 2r，令 4 －3 2r＝1 得 r＝2，所以当 r＝2 时，展开式中 x 的系数为(－1)2·C24·52 ＝150. 答案：B 二、填空题 6．(a＋ a)n 的展开式中奇数项系数和为 512，则展开式的第八项 T8＝________． 解析：C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1＝512＝29，所以 n＝10，所以 T8＝ C710a3( a)7＝120a 13 2 . 答案：120a 13 2 7．(1＋ x)n 展开式中的各项系数的和大于 8 而小于 32，则系数最 大的项是________． 解析：因为 8＜C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＜32，即 8＜2n＜32. 所以 n＝4.所以展开式共有 5 项，系数最大的项为 T3＝C24( x)2＝6x. 答案：6x 8．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第 n 行的首尾两个数均 为________． 1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 9 … 解析：由于每行的第 1 个数 1，3，5，7，9，…成等差数列，由等 差数列的知识可知，an＝2n－1. 答案：2n－1 三、解答题 9．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求： (1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2. 解：(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4， 令 x＝1 得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4， 所以 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1. (2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4 中， 令 x＝1 得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，① 令 x＝－1 得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.② 所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋ a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625. 10．(1＋2x)n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中 二项式系数最大的项和系数最大的项． 解：T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有 C5n25＝C6n26， 解得 n＝8. 所以(1＋2x)n 的展开式中，二项式系数最大的项为 T5＝C48(2x)4＝1 120x4. 设第(k＋1)项系数最大，则有 Ck82k≥Ck－18 2k－1， Ck82k≥Ck＋18 2k＋1， 解得 5≤k≤6. 又因为 k∈{0，1，2，…，8}，所以 k＝5 或 k＝6. 所以系数最大的项为 T6＝1 792x5，T7＝1 792x6. B 级 能力提升 1．若 9n＋C1n＋1·9n－1＋…＋Cn－1n＋1·9＋C nn＋1是 11 的倍数，则自然 数 n 为( ) A．奇数 B．偶数 C．3 的倍数 D．被 3 除余 1 的数 解析：9n＋C1n＋1·9n－1＋…＋Cn－1n＋1·9＋Cnn＋1＝1 9(9n＋1＋C1n＋1·9n＋… ＋Cn－1n＋1·92＋Cnn＋1＋Cn＋1n＋1)－1 9 ＝1 9(9＋1)n＋1－1 9 ＝1 9(10n＋1－1)是 11的倍数， 所以 n＋1 为偶数，n 为奇数． 答案：A 2．(2015·山东卷)观察下列各式： C01＝40； C03＋C13＝41； C05＋C15＋C25＝42； C07＋C17＋C27＋C37＝43； …… 照此规律，当 n∈N*时， C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋Cn－12n－1＝________． 解析：具体证明过程可以是： C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋Cn－12n－1＝1 2(2C02n－1＋2C12n－1＋2C22n－1＋… ＋2Cn－12n－1)＝1 2(C02n－1＋C2n－12n－1)＋(C12n－1＋C2n－22n－1)＋(C22n－1＋C2n－32n－1)＋…＋ (Cn－12n－1＋Cn2n－1)]＝1 2(C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋Cn－12n－1＋Cn2n－1＋…＋ C2n－12n－1)＝1 2 ·22n－1＝4n－1. 答案：4n－1 3．已知(a2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于 16 5 x2＋ 1 x 5 的展开 式的常数项，而(a2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于 54，求 a 的值． 解：由 16 5 x2＋ 1 x 5 得 Tr＋1＝Cr5 16x2 5 5－r 1 x r ＝ 16 5 5－r Cr5x 20－5r 2 ， 令 Tr＋1 为常数项，则 20－5r＝0， 所以 r＝4，常数项 T5＝C45·16 5 ＝16. 又(a2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于 2n，由此得到 2n＝16，n ＝4. 所以(a2＋1)4 展开式中系数最大项是中间项 T3＝C24a4＝54. 解得 a＝± 3.