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- 2021-06-15 发布
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湖南师范大学附属学校2020 届高三5 月模拟
文科数学试题卷
本试卷共 6 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟。
文科数学试卷第 1页 共 6页
注意事项:
文科数学试卷第 1页 共 6页
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 A = {(x,y) | x + y = 2},B = {(x ,y) | y = x 2} ,则 A I B =
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A. {(1,1)}
B.{(-2, 4)}
C. {(1,1)},{(-2, 4)}
D. F
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2.已知 (ii 为虚数单位),则复数 z =
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A. 1+ i B.1- I C.-1+ i D.-1- i
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3.现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛,其中只有一位获奖. 有人走访了四人,甲说:“乙、丁都未获奖”,乙说:“是甲或丙获奖”,丙说:“是甲获奖”,丁说:“是乙获奖”,四人所说话中只有一位是真话,则获奖的人是
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
4.已知直线a,b 表示不同的直线,则a / /b 的充要条件是
A.存在平面 a ,使a / /a,b / /a B.存在平面 a ,使a ^a,b ^a
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C.存在直线 c ,使a ^ c,b ^ c D.存在直线c ,使a,b 与直线c 所成的角都是60o
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5.函数 f (x) = 2x - 4sin x , x Î[- ,]的图像大致是
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A. B.
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C. D.
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6.某几何体三视图如图,则该几何体体积是
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4 8
A.4 B. C.
3 3
D.2
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7.“割圆术”是我国古代计算圆周率p的一种方法.在公元 263 年左右,由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆 的面积,进而求p.当时刘微就是利用这种方法,把p的近似值计算到 3.1415
和 3.1416 之间,这是当时世界上对圆周率p的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的,用有限的来逼近 无穷的.为此,刘微把它概括为“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”.这种方法极其重要,对后世产生了巨大影
响,在欧洲,这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”,若用正二十四边形来估算圆周率p,则p的近似值是 (精确到0.01) (参考数据sin15° » 0.2588)
A.3.05 B.3.10 C.3.11 D.3.14
8.关于函数 f (x) = 有下述三个结论:
文科数学试卷第 1页 共 6页
①函数 f (x) 的图象既不关于原点对称,也不关于 y 轴对称;
②函数 f (x) 的最小正周期为π ; ③ $x0 Î R , f (x0 ) =-1.
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其中正确结论的个数为
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A.0 B.1 C.2 D.3
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9.设 A, B, C Î ,且cos A + cos B = cos C , sin A - sin B = sin C ,则 C-A=
文科数学试卷第 1页 共 6页
文科数学试卷第 1页 共 6页
A. B. C. D.或
10.已知椭圆 ,作倾斜角为的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,线段 AB 的
中点为 M,O 为坐标原点OM 与MA 的夹角为q,且 tanq =3,则b =
A.1 B. C. D.
11.在四面体 ABCD中,AB = AC = 2,BC= 6,AD^底面ABC,G 为DDBC 的重心,且直
线 DG 与平面 ABC 所成的角是30°,若该四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上,则球O的
表面积是
A. 24π B. 32π C. 46π D. 49π
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12.已知函数 f(x)= -1-nln x(m>0,0≤n≤e)在区间[1,e]内有唯一零点,则的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
开始
n = 1, S = 0
S = S + tan n p
3
n = n + 1
n < 2019 ?
是
否
输 S
结束
13.执行如图所示的程序框图,输出S 的值是
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14.在锐角三角形 ABC 中,sin 2C =
3 cos 2C +
3, c cos B + b cos C = 2
,则△ABC 的面积的取值
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2
范围为 。
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15.已知P为椭圆,点 M , N 分别在直线l1 : y = x 与l2 : y = - x 上,且
PM / /l2 , PN / /l1 ,若 PM 2 + PN 2 为定值,则椭圆的离心率为 .
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16.已知数列{an}的前 n 项和Sn=2an-2n+1,若不等式2n2-n-3<(5-l)an对"nÎN*恒成立,则
整数l的最大值为 .
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:60 分。
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17.已知数列{an }的前 n 项和为Sn , a1 = a(a > 0, a Î N* ) , Sn = pan+1( p ¹ 0 且 p ¹ -1, n Î N* )
文科数学试卷第 1页 共 6页
(1)求数列{an }的通项公式;
(2)在① ak +1 , ak +3 , ak + 2 ,② ak + 2 , ak +1 , ak +3 这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,要使问题成立,
对任意的正整数k,若将ak +1 , ak + 2 , ak +3 按 的顺序排列后构成等差数列,且公差为dk ,求p 的值
及对应的dk .
2
18.如图,在三棱锥 A - BCD 中,DABD 是等边三角形,平面 ABD ^ 平面 BCD ,BC ^ CD ,BC = CD =
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,
E 为三棱锥 A - BCD 外一点,且DCDE 为等边三角形.
(Ⅰ)证明: AC ^ BD ;
(Ⅱ)若 AE ^ 平面CDE ,求点 E 到平面 BCD 的距离.
19.已知eM 过点 A(, 0) ,且与eN : (x +)2 + y 2 = 16 内切,设eM 的圆心 M 的轨迹为C ,
(1)求轨迹C 的方程;
(2)设直线l 不经过点 B(2, 0) 且与曲线C 交于点 P ,Q 两点,若直线 PB 与直线QB 的斜率之积
为- ,判断直线l 是否过定点,若过定点,求出此定点的坐标,若不过定点,请说明理由.
20.2019 年,中国的国内生产总值(GDP) 已经达到约 100 万亿元人民币,位居世界第二,这其中实体经济
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
112
61
44.5
35
30.5
28
25
24
的贡献功不可没实体经济组织一般按照市场化原则运行,某生产企业一种产品的成本由原料成本及非原料成本组成,每件产品的非原料成本 y (元) 与生产该产品的数量 x (千件)有关,经统计得到如下数据:
根据以上数据,绘制了如下的散点图.
现考虑用反比例函数模型 y = a + b 和指数函数模型 y = cedx 分别对两个变量的关系进行拟合.为此变换如下:
x
令u = 1 ,则 y = a + bu ,即 y 与u 满足线性关系;令 v = lny ,则v = lnc + dx ,即v 与 x 也满足线性关系.这
x
样就可以使用最小二乘法求得非线性的回归方程.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为 yˆ = 96.54edx ,v
与 x 的相关系数 r 1= -0.94 ,其他参考数据如表(其中 ) :
i
e-2
ln96.54
183.4
0.34
0.115
1.53
360
22385.5
61.4
0.135
4.6
3.7
(Ⅰ)求指数函数模型和反比例函数模型中 y 关于 x 的回归方程;
(Ⅱ)试计算 y 与u 的相关系数 r2 ,并用相关系数判断:选择反比例函数和指数函数两个模型中的哪一个拟合效果更好(计算精确到0.01) ?
(Ⅲ)根据(Ⅱ)小题的选择结果,该企业采取订单生产模式(即根据订单数量进行生产,产品全部售出).根据市场调研数据,该产品单价定为 100 元时得到签订订单的情况如表:
订单数(千件
) 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
概率
( 1 )10
2
( 1 )9
2
( 1 )8
2
( 1 )7
2
( 1 )6
2
( 1 )5
2
( 1 )4
2
( 1 )3
2
( 1 )2
2
1
2
( 1 )10
2
已知每件产品的原料成本为 10 元,试估算企业的利润是多少?(精确到 1 千元) 参考公式:
对于一组数据(u1 , v1 ) , (u2 , v2 ) , , (un , vn ) ,
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其回归直线v = a+ bu 的斜率和截距的最小二乘估计分
å
n
ui vi - nuv
n
别为:bˆ = i =1 ,aˆ = v - bˆu ,相关系数 r =
i
åu2 - nu 2
n
å
ui vi - nuv
( u - nu )( v - nv )
å
n
2
2
å i
n
2
2
i
i =1
i =1
i =1 .
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i =1
21.已知函数 f (x) = lnx - ax(a Î R) .
(Ⅰ)讨论 f (x) 的单调性;
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(Ⅱ)当 a = 1时,设 g(x) = xe- f ( x) - x -1(e 为自然对数的底).若正实数l1,l2满足l1 + l2 = 1, x1 ,x2 Î (0 ,
+¥)(x1 ¹ x2 ) ,证明: g(l1 x1 + l2 x2 ) < l1 g(x1 ) + l2 g(x2 ) .
2
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修 4—4:坐标系与参数方程]
ìx = 2 + 2 cosj
î
在直角坐标系 xOy 中,曲线C1 的参数方程为í y = 2sinj (j为参数,以原点O 为极点, x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2 的极坐标方程为r= 4sinq.
(1)求曲线C1 的普通方程和C2 的直角坐标方程;
(2)已知曲线C3 的极坐标方程为q=a(0 1,求 a 的取值范围;
(2)若 a<0,对 x,y∈(-∞,a],都有不等式 f(x)≤|y+2020|+|y-a|恒成立,求 a 的取值范围.
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