高考数学（理）一轮复习人教A版-第五章 平面向量-第五章 第3节平面向量的数量积及其应用 28页

第3节　平面向量的数量积及其应用 最新考纲　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量 的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向 量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断 两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问 题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 1.平面向量数量积的有关概念 知 识 梳 理 |a||b|cos θ |b|cos θ 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). [常用结论与微点提醒] 1.两个向量a，b的夹角为锐角 ⇔ a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为 钝角 ⇔ a·b<0且a，b不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边 不能约去同一个向量. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) 诊 断 自 测 解析　(1)两个向量夹角的范围是[0，π]. (4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b 和c不一定相等. 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.(2018·云南11校跨区调研)平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，1)，|b|＝2， 则|3a＋b|等于(　　) 答案　D 3.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直， 则m＝________. 解析　由题意得a＋b＝(m－1，3)， 因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 答案　7 4.(必修4P104例1改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a方向上的投影为________. 解析　由数量积的定义知，b在a方向上的投影为 |b|cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案　－2 考点一　平面向量的数量积及在平面几何中的应用 解析　(1)依题意，F是△ABC的重心， (2)如图，以B为坐标原点，BC，BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐 标系， 设|AD|＝a(a>0)，则|BC|＝2a，又S△ABD＝1， 规律方法　1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的 坐标运算；利用数量积的几何意义. 2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运 算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角 的关系是相等还是互补. 考点二　平面向量的夹角与垂直 解析　(1)由题意，得－2×3＋3m＝0，∴m＝2. (3)∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c<0， 即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3. 【训练2】 (1)(2018·广东省际名校联考)已知向量a，b满足|a|＝2|b|＝2， 且(a＋3b)⊥(a－b)，则a，b夹角的余弦值为________. (2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2， 则m＝________. 解析　(1)∵|a|＝2|b|＝2，且(a＋3b)⊥(a－b)， ∴(a＋3b)·(a－b)＝0，即a2＋2a·b－3b2＝0， (2)由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2. 考点三　平面向量的模及其应用 解析　(1)由|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝9＋2×2×2cos 120°＋2×2×1×cos 120°＋2×2×1×cos 120°＝9－4－2－2＝1， 则|a＋b＋c|＝1. 答案　(1)1　(2)5