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- 2021-06-15 发布
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高 中 学 生 学 科 素 质 训 练
新课标高一数学同步测试 空间直角坐标系
YCY
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共 150 分.
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代
号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分).
1.在空间直角坐标系中,已知点 P(x,y,z),给出下列 4 条叙述:
①点 P 关于 x 轴的对称点的坐标是(x,-y,z)
②点 P 关于 yOz 平面的对称点的坐标是(x,-y,-z)
③点 P 关于 y 轴的对称点的坐标是(x,-y,z)
④点 P 关于原点的对称点的坐标是(-x,-y,-z)
其中正确的个数是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.若已知 A(1,1,1), B(-3,-3,-3),则线段 AB 的长为 ( )
A.4 3 B.2 C.4 2 D.3
3.已知 A(1,2,3), B(3,3,m), C(0,-1,0), D(2,―1,―1),则 ( )
A.||AB >||CD B. <
C. ≤ D. ≥
4.设 A(3,3,1), B(1,0,5), C(0,1,0), AB 的中点 M,则||CM ( )
A. 53
4 B. 53
2 C. 53
2 D. 13
2
5.如图,三棱锥 A-BCD 中,AB⊥底面 BCD,BC⊥CD,且 AB=BC=1,
CD=2,点 E 为 CD 的中点,则 AE 的长为( )
A. B.
C. 2 D. 5
6.点 B 是点 A(1,2,3)在坐标平面 yOz 内的射影,则 OB 等于 ( )
A. 14 B. 13 C. 32 D. 11
7.已知 ABCD 为平行四边形,且 A(4,1,3), B(2,-5,1), C(3,7,-5),则点 D
的坐标为 ( )
A.(
2
7 ,4,-1) B.( 2,3,1) C.(-3,1,5) D.( 5,13,-3)
8.点 ),,( cbaP 到坐标平面 xOy 的距离是 ( )
A. 22 ba B.c C. c D. ba
9.已知点 )11,2,1( A , )3,2,4(B , )15,,( yxC 三点共线,那么 yx, 的值分别是 ( )
A.
2
1 ,4 B.1,8 C.
2
1 ,-4 D.-1,-8
10.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是 1,则该点到原点的距离是( )
A.
2
6 B. 3 C.
2
3 D.
3
6
第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分).
11.如右图,棱长为 3a 正方体 OABC- ' ' ' 'D A B C ,
点 M 在| ' ' |BC 上,且| ' |CM 2| ' |MB ,以 O
为坐标原点,建立如图空间直有坐标系,则点
M 的坐标为 .
12.如右图,为一个正方体截下的一角 P-ABC,
||PA a ,||PB b ,||PC c ,建立如图坐标
系,求△ABC 的重心 G 的坐标 _ _.
13.若 O(0,0,0), P(x,y,z),且| | 1OP ,则
2 2 2 1x y z 表示的图形是 _ _.
14.已知点 A(-3,1,4),则点 A 关于原点的对称点
B 的坐标为 ;AB 的长为 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分).
15.( 12 分)如图,长方体 ' ' ' 'ABCD A B C D 中,| | 3AD ,| | 5AB ,| ' | 3AA ,设 E
为 'DB 的中点,F 为 'BC 的中点,在给定的空间直角坐标系 D-xyz 下,试写出 A,B,
C,D, 'A , 'B , 'C , 'D ,E,F 各点的坐标.
16.( 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,且边长为 2a,棱 PD⊥底
面 ABCD,PD=2b,取各侧棱的中点 E,F,G,H,写出点 E,F,G,H 的坐标.
17.( 12 分)如图,已知矩形 ABCD 中,| | 3AD ,| | 4AB .将矩形 ABCD 沿对角线 BD
折起,使得面 BCD⊥面 ABD.现以 D 为原点,DB 作为 y 轴的正方向,建立如图空间直
角坐标系,此时点 A 恰好在 xDy 坐标平面内.试求 A,C 两点的坐标.
18.( 12 分)已知 )11,2,1( A , )3,2,4(B , )4,1,6( C ,求证其为直角三角形.
19.( 14 分)如图,已知正方体 ' ' ' 'ABCD A B C D 的棱长为 a,M 为 'BD 的中点,点 N 在
'AC 上,且| ' | 3| '|A N NC ,试求 MN 的长.
20.( 14 分)在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,1)和 B(1,0,-3),试问
(1)在 y 轴上是否存在点 M,满足| | | |MA MB ?
(2)在 y 轴上是否存在点 M,使△MAB 为等边三角形?若存在,试求出点 M 坐标.
参考答案(十一)
一、CADCB BDCCA
二、11.( 2a,3a,3a); 12.G(
3,3,3
bca ) ; 13.以原点 O 为球心,以 1 为半径的球面;
14.(3,-1,-4); 2 26 ;
三、
15.解:设原点为 O,因为 A,B,C,D 这 4 个点都在坐标平面 xOy 内,
它们的竖坐标都是 0,而它们的横坐标和纵坐标可利用| | 3AD ,| | 5AB 写出,
所以 A(3,0,0), B(3,5,0), C(0,5,0), D(0,0,0);
因为平面 ' ' ' 'A B C D 与坐标平面 xOy 平行,且| ' | 3AA ,所以 A',B', 'C ,D'的竖坐标
都是 3,而它们的横坐标和纵坐标分别与 A,B,C,D 的相同,所以 'A (3,0,3), 'B (3,
5,3), (0,5,3), 'D (0,0,3);
由于 E 分别是 'DB 中点,所以它在坐标平面 xOy 上的射影为 DB 的中点,从而 E 的横坐标和纵坐标
分别是 的 1
2
,同理 E 的竖坐标也是 的竖坐标的 ,所以 E( 3 5 3,,222
);
由 F 为 'BC 中点可知,F 在坐标平面 xOy 的射影为 BC 中点,横坐标和纵坐标分别为 3
2
和 5,同理
点 F 在 z 轴上的投影是 AA'中点,故其竖坐标为 ,所以 F( ,5, ).
16.解: 由图形知,DA⊥DC,DC⊥DP,DP⊥DA,故以 D 为原点,建立如图空间坐标系 D-xyz.
因为 E,F,G,H 分别为侧棱中点,由立体几何知识可知,平面 EFGH 与底面 ABCD 平行,
从而这 4 个点的竖坐标都为 P 的竖坐标的一半,也就是 b,
由 H 为 DP 中点,得 H(0,0,b)
E 在底面面上的投影为 AD 中点,所以 E 的横坐标和纵坐标分别为 a 和 0,所以 E(a,0,b),
同理 G(0,a,b);
F 在坐标平面 xOz 和 yOz 上的投影分别为点 E 和 G,故 F 与 E 横坐标相同都是 a,
与 G 的纵坐标也同为 a,又 F 竖坐标为 b,故 F(a,a,b).
17.解: 由于面 BCD⊥面 ABD,从面 BCD 引棱 DB 的垂线 CF 即为面 ABD 的垂线,同理可得 AE 即
为面 BCD 的垂线,故只需求得 DFDECFAE ,,, 的长度即可。
最后得 A(12 9, ,055
), C(0,16 12,55
)
18.略解:利用两点间距离公式,
由 89AB , 75AC , 14BC ,从而 222 ABBCAC ,结论得证.
19.解:以 D 为原点,建立如图空间直角坐标系.因为正方体棱长为 a,
所以 B(a,a,0), A'(a,0,a), (0,a,a), (0,0,a).
由于 M 为 'BD 的中点,取 ''AC 中点 O',所以 M(
2
a , , ), O'( , ,a).
因为| ' | 3| '|A N NC ,所以 N 为 的四等分,从而 N 为 ''OC 的中点,故 N(
4
a ,3
4 a ,a).
根据空间两点距离公式,可得
2 2 236| | ( ) ( ) ( )2 4 2 4 2 4
a a a a aMN a a .
20.解:(1)假设在在 y 轴上存在点 M,满足| | | |MA MB .
因M在 y 轴上,可设 M(0,y,0), 由 ,可得
2 2 2 2 2 23 1 1 3yy ,
显然,此式对任意 yR 恒成立.这就是说 y 轴上所有点都满足关系 .
(2)假设在 y 轴上存在点 M,使△MAB 为等边三角形.
由(1)可知,y 轴上任一点都有 ,所以只要| | | |MA AB 就可以使得△MAB 是等
边三角形.
因为 2 2 2 2| | (3 0) (0 ) (1 0) 10MA y y
2 2 2| | (1 3) (0 0) ( 3 1) 20AB
于是 210 20y ,解得 10y
故 y 轴上存在点 M 使△MAB 等边,M 坐标为(0, 10 ,0), 或(0, 10 ,0).