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- 2021-06-15 发布
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[
最新考纲展示
]
1
.
了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2
.了解函数模型
(
如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型
)
的广泛应用.
第九节 函数的模型及其应用
几类常见函数模型
____________________[
通关方略
]____________________
应用函数模型解应用题要注意
(1)
正确理解题意,选择适当的函数模型.
(2)
要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域.
(3)
在解决函数模型后,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.
1
.据调查,苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为
4 000
辆次,其中变速车存车费是每辆一次
0.3
元,普通车存车费是每辆一次
0.2
元,若普通车存车数为
x
辆次,存车费总收入为
y
元,则
y
关于
x
的函数关系是
(
)
A
.
y
=
0.1
x
+
800(0
≤
x
≤
4 000)
B
.
y
=
0.1
x
+
1 200(0
≤
x
≤
4 000)
C
.
y
=-
0.1
x
+
800(0
≤
x
≤
4 000)
D
.
y
=-
0.1
x
+
1 200(0
≤
x
≤
4 000)
解析:
y
=
0.2
x
+
(4 000
-
x
)
×
0.3
=-
0.1
x
+
1 200.
答案:
D
2
.在某种新型材料和研制中,实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是
(
)
解析:
通过检验可知,
y
=
log
2
x
较为接近.
答案:
B
三种增长型函数模型的图象与性质
____________________[
通关方略
]____________________
三种模型的增长差异
在区间
(0
,+
∞
)
上,尽管函数
y
=
a
x
(
a
>1)
,
y
=
log
a
x
(
a
>1)
和
y
=
x
n
(
n
>0)
都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个
“
档次
”
上.随着
x
的增大,
y
=
a
x
(
a
>1)
的增长速度越来越快,会超过并远远大于
y
=
x
n
(
n
>0)
的增长速度,而
y
=
log
a
x
(
a
>1)
的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个
x
0
,使得当
x
>
x
0
时,有
log
a
x
<
x
n
<
a
x
.
3
.
f
(
x
)
=
x
2
,
g
(
x
)
=
2
x
,
h
(
x
)
=
log
2
x
,当
x
∈
(4
,+
∞
)
时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是
(
)
A
.
f
(
x
)>
g
(
x
)>
h
(
x
)
B
.
g
(
x
)>
f
(
x
)>
h
(
x
)
C
.
g
(
x
)>
h
(
x
)>
f
(
x
) D
.
f
(
x
)>
h
(
x
)>
g
(
x
)
解析:
画出函数的图象,当
x
∈
(4
,+
∞
)
时,指数函数的图象位于二次函数图象的上方,二次函数的图象位于对数函数图象的上方,故
g
(
x
)>
f
(
x
)>
h
(
x
)
.
答案:
B
4
.
(2014
年长春外国语学校模拟
)
物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间
T
内完成预测的运输任务
Q
0
,各种方案的运输总量
Q
与时间
t
的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率
(
单位时间的运输量
)
逐步提高的是
(
)
解析:
由运输效率
(
单位时间的运输量
)
逐步提高得曲线上的点的切线斜率应逐渐增大,故选
B.
答案:
B
二次函数模型
【
例
1】
(2013
年高考陕西卷
)
在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于
300 m
2
的内接矩形花园
(
阴影部分
)
,则其边长
x
(
单位:
m)
的取值范围是
(
)
A
.
[15,20]
B
.
[12,25]
C
.
[10,30] D
.
[20,30]
[
答案
]
C
反思总结
解决二次函数型实际应用问题时,除利用条件建立目标函数外,还要注意自变量的取值范围,如果涉及最值问题,要注意对称轴与定义区间的关系.
变式训练
1
.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润
(
单位:万元
)
分别为
L
1
=
5.06
x
-
0.15
x
2
和
L
2
=
2
x
,其中
x
为销售量
(
单位:辆
)
.若该公司在这两地共销售
15
辆车,则能获得的最大利润为
(
)
A
.
45.606
万元
B
.
45.6
万元
C
.
45.56
万元
D
.
45.51
万元
答案:
B
分段函数模型
②
当
7
≤
x
≤
12
,且
x
∈
N
*
时,
g
(
x
)
=-
480
x
+
6 400
是减函数,
∴
当
x
=
7
时,
g
(
x
)
max
=
g
(7)
=
3 040(
万元
)
.
综上,
2014
年
5
月份的旅游消费总额最大,最大旅游消费总额为
3 125
万元.
反思总结
分段函数模型的应用技巧
(1)
很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需要构建分段函数模型,如出租车的票价与路程的函数就是分段函数.
(2)
构建分段函数时,要做到分段合理,不重不漏,并要注意实际问题中各段自变量的取值范围,特别是端点值.
(3)
在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最小值.
变式训练
2
.如图,在平面直角坐标系中,
AC
平行于
x
轴,四边形
ABCD
是边长为
1
的正方形,记四边形位于直线
x
=
t
(
t
>0)
左侧图形的面积为
f
(
t
)
,则
f
(
t
)
的大致图象是
(
)
答案:
C
指数函数模型
[
答案
]
10
反思总结
指数函数型多涉及增长率、减少率、银行利率.细胞分裂等一系列问题,通常可以表示为
y
=
a
·
(1
+
p
)
x
的形式,利用指数运算与对数函数图象性质去求解.
变式训练
3
.某电脑公司
2012
年的各项经营收入中经营电脑配件的收入为
400
万元,占全年经营总收入的
40%
,该公司预计
2014
年经营总收入要达到
1 690
万元,且计划从
2012
年到
2014
年每年经营总收入的年增长率相同,则
2013
年预计经营总收入为
________
万元.
答案:
1300
——
函数的实际应用问题
函数模型的应用有两个方面:一方面是利用已知函数模型解决问题;另一方面是建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解决实际问题.
建立函数模型解应用问题的步骤如下:
(1)
审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型;
(2)
建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)
求模:求解数学模型,得出数学结论;
(4)
还原:将利用数学知识和方法得出的结论,还原到实际问题中.
[
教你快速规范审题
]
1
.审条件,挖解题信息
2
.审结论,明解题方向
3
.建联系,找解题突破口
[
常见失分探因
]
易漏掉固定成本
注意判断对称轴与定义区间关系
注意回答问题作出结论
___________________
[
教你一个万能模板
]
_________________
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