高考文科数学复习备课课件：第一节　变化率与导数、导数的计算 24页

文数 课标版 第一节　变化率与导数、导数的计算   1.函数 y = f ( x )从 x 1 到 x 2 的平均变化率 函数 y = f ( x )从 x 1 到 x 2 的平均变化率为①             ,若Δ x = x 2 - x 1 ,Δ y = f ( x 2 )- f ( x 1 ),则平均变化率可表示为②             . 教材研读 2.函数 y = f ( x )在 x = x 0 处的导数 (1)定义 称函数 y = f ( x )在 x = x 0 处的瞬时变化率     =     为函数 y = f ( x )在 x = x 0 处的导数,记作 f '( x 0 )或 y '   , 即 f '( x 0 )=     =   . (2)几何意义 函数 f ( x )在点 x 0 处的导数 f '( x 0 )的几何意义是在曲线 y = f ( x )上点③ 　( x 0 , f ( x 0 ))     处的④ 　切线的斜率     .相应地,切线方程为⑤      y - f ( x 0 )= f ' ( x 0 )( x - x 0 )      . 3.函数 f ( x )的导函数 称函数 f '( x )=     为 f ( x )的导函数,导函数有时也记作 y '. 4.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f ( x )= C ( C 为常数) f '( x )=⑥ 　0     f ( x )= x α ( α ∈N * ) f '( x )=⑦      αx α -1      f ( x )=sin x f '( x )=⑧     cos x      f ( x )=cos x f '( x )=⑨ 　-sin x      f ( x )= a x ( a >0且 a ≠ 1) f '( x )=⑩      a x ln a      f ( x )=e x f '( x )=       e x      f ( x )=log a x ( a >0,且 a ≠ 1) f '( x )=             f ( x )=ln x f '( x )=               5.导数的运算法则 (1)[ f ( x ) ± g ( x )]'=        f '( x ) ± g '( x )     ; (2)[ f ( x )· g ( x )]'=        f '( x ) g ( x )+ f ( x ) g '( x )     ; (3)   ‘=               ( g ( x ) ≠ 0). 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1) f '( x 0 )与[ f ( x 0 )]'表示的意义相同.   ( × ) (2)求 f '( x 0 )时,可先求 f ( x 0 )再求 f '( x 0 ).   ( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.   (√) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.   ( × ) (5)函数 f ( x )=sin(- x )的导数是 f ‘( x )=cos x .   ( × ) 1.下列求导运算正确的是   (　　) A.   '=1+   　    B.(log 2 x )'=   C.(3 x )'=3 x log 3 e　　 D.( x 2 cos x )'=-2sin x 答案     B       '= x '+   '=1-   ;(3 x )'=3 x ln 3;( x 2 cos x )'=( x 2 )'cos x + x 2 (cos x )'=2 x cos x - x 2 sin x .故选B. 2.若 f ( x )= ax 4 + bx 2 + c 满足 f '(1)=2,则 f '(-1)=   (　　) A.-4　    B.-2　    C.2　    D.4 答案     B　∵ f ( x )= ax 4 + bx 2 + c , ∴ f '( x )=4 ax 3 +2 bx , 又 f '(1)=2,∴4 a +2 b =2, ∴ f '(-1)=-4 a -2 b =-2. 3.曲线 y = ax 2 - ax +1( a ≠ 0)在点(0,1)处的切线与直线2 x + y +1=0垂直,则 a = 　　     . 答案　 -   解析 　∵ y = ax 2 - ax +1,∴ y '=2 ax - a , ∴ y '| x =0 =- a . 又∵曲线 y = ax 2 - ax +1( a ≠ 0)在点(0,1)处的切线与直线2 x + y +1=0垂直, ∴(- a )·(-2)=-1, 即 a =-   . 4.曲线 y =2 x - x 3 在 x =-1处的切线方程为 　　　　　     . 答案      x + y +2=0 解析 　令 f ( x )= y =2 x - x 3 ,则 f '( x )=2-3 x 2 . ∴ f '(-1)=2-3=-1. 又 f (-1)=-2+1=-1, ∴所求切线方程为 y +1=-( x +1), 即 x + y +2=0. 5.如图,函数 y = f ( x )的图象在点 P 处的切线方程是 y =- x +8,则 f (5)+ f '(5)= 　　     .   答案 　2 解析 　由题意知 f '(5)=-1, f (5)=-5+8=3, ∴ f (5)+ f '(5)=3-1=2. 考点一　导数的运算 典例1 　求下列函数的导数: (1) y =cos     ; (2) y =e x ·ln x . 解析　 (1)∵ y =cos     =cos   sin   -cos 2   =   sin x -   (1+cos x ) =   (sin x -cos x )-   , ∴ y '=   (cos x +sin x )=   sin   . 考点突破 (2) y '=e x ·ln x +e x ·   =e x   . 1.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要 重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在 化简时,要注意变换的等价性,避免不必要的运算失误. 方法技巧 函数的求导原则: 2.利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,如( x n )'= nx n -1 中, n ∈N * ,(cos x )'=-sin x ,还要注意公式不要用混,如( a x )'= a x ln a ,而不是( a x )'= xa x -1 . 1-1 　求下列函数的导数: (1) y =(3 x 3 -4 x )(2 x +1); (2) y =   ; (3) y =e x ln x +2 x +e. 解析 　(1)解法一:∵ y =(3 x 3 -4 x )(2 x +1)=6 x 4 +3 x 3 -8 x 2 -4 x ,∴ y '=24 x 3 +9 x 2 -16 x - 4. 解法二: y '=(3 x 3 -4 x )'(2 x +1)+(3 x 3 -4 x )(2 x +1)'=(9 x 2 -4)(2 x +1)+(3 x 3 -4 x )·2=24 x 3 + 9 x 2 -16 x -4. (2) y '=   =   =   . (3) y '=(e x )'·ln x +e x ·(ln x )'+(2 x )'+0 =e x ln x +   +2 x ln 2. 1-2 　已知 f ( x )=   x 2 +2 xf '(2 016)+2 016ln x ,则 f '(2 016)= 　　　     . 答案 　-2 017 解析 　由题意得 f '( x )= x +2 f '(2 016)+   , 所以 f '(2 016)=2 016+2 f '(2 016)+   , 即 f '(2 016)=-(2 016+1)=-2 017. 考点二　导数的几何意义 命题角度一　求切线方程 典例2　 已知函数 f ( x )= x 3 -4 x 2 +5 x -4. (1)求曲线 f ( x )在点(2, f (2))处的切线方程; (2)求经过点 A (2,-2)的曲线 f ( x )的切线方程. 解析 　(1)∵ f '( x )=3 x 2 -8 x +5, ∴ f '(2)=1, 又 f (2)=-2, ∴曲线 f ( x )在点(2, f (2))处的切线方程为 y -(-2)= x -2,即 x - y -4=0. (2)设切点坐标为( x 0 ,   -4   +5 x 0 -4), ∵ f '( x 0 )=3   -8 x 0 +5, ∴切线方程为 y -(-2)=(3   -8 x 0 +5)( x -2), ∵切线过点( x 0 ,   -4   +5 x 0 -4), ∴   -4   +5 x 0 -2=(3   -8 x 0 +5)( x 0 -2), 整理得( x 0 -2) 2 ( x 0 -1)=0, 解得 x 0 =2或 x 0 =1, ∴切点坐标为(2,-2)或(1,-2), 又 f '(2)=1, f '(1)=0, 故经过点 A (2,-2)的曲线 f ( x )的切线方程为 x - y -4=0或 y +2=0. 2-1 　设 a 为实数,函数 f ( x )= x 3 + ax 2 +( a -3) x 的导函数为 f '( x ),且 f '( x )是偶函 数,则曲线 y = f ( x )在点(2, f (2))处的切线方程为 　　　　　　     . 答案 　9 x - y -16=0 解析      f '( x )=3 x 2 +2 ax + a -3, ∵ f '( x )是偶函数,∴ a =0, ∴ f ( x )= x 3 -3 x , f '( x )=3 x 2 -3, ∴ f (2)=8-6=2, f '(2)=9, ∴曲线 y = f ( x )在点(2, f (2))处的切线方程为 y -2=9( x -2),即9 x - y -16=0. 典例3 　(1)(2015陕西,15,5分)设曲线 y =e x 在点(0,1)处的切线与曲线 y =   ( x >0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为 　　　     . (2)若点 P 是曲线 y = x 2 -ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y = x -2的最小距离为 　　　     . 答案 　(1)(1,1)　(2)   解析 　(1)∵函数 y =e x 的导函数为 y '=e x , ∴曲线 y =e x 在点(0,1)处的切线的斜率 k 1 =e 0 =1. 设 P ( x 0 , y 0 )( x 0 >0), ∵函数 y =   的导函数为 y '=-   , ∴曲线 y =   ( x >0)在点 P 处的切线的斜率 k 2 =-   , 命题角度二　求切点坐标 易知 k 1 k 2 =-1,即1·   =-1, 解得   =1,又 x 0 >0,∴ x 0 =1. 又∵点 P 在曲线 y =   ( x >0)上, ∴ y 0 =1,故点 P 的坐标为(1,1). (2)设 P ( x 0 , y 0 )到直线 y = x -2的距离最小, 则 y '   =2 x 0 -   =1, 解得 x 0 =1或 x 0 =-   (舍). ∴点 P 的坐标为(1,1). ∴所求的最小距离=   =   . 典例4 　(1)(2015课标Ⅰ,14,5分)已知函数 f ( x )= ax 3 + x +1的图象在点(1, f (1)) 处的切线过点(2,7),则 a = 　　　     . (2)(2015课标Ⅱ,16,5分)已知曲线 y = x +ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y = ax 2 + ( a +2) x +1相切,则 a = 　　　     . 答案 　(1)1　(2)8 解析　 (1)由题意可得 f '( x )=3 ax 2 +1, ∴ f '(1)=3 a +1, 又 f (1)= a +2,∴ f ( x )= ax 3 + x +1的图象在点(1, f (1))处的切线方程为 y -( a +2)= (3 a +1)·( x -1), 又此切线过点(2,7), 命题角度三　求参数的值 ∴7-( a +2)=(3 a +1)(2-1), 解得 a =1. (2)令 f ( x )= x +ln x ,求导得 f '( x )=1+   , f '(1)=2,又 f (1)=1,所以曲线 y = x +ln x 在 点(1,1)处的切线方程为 y -1=2( x -1),即 y =2 x -1.设直线 y =2 x -1与曲线 y = ax 2 + ( a +2) x +1的切点为 P ( x 0 , y 0 ),则 y '   =2 ax 0 + a +2=2,得 a (2 x 0 +1)=0,∴ a =0或 x 0 = -   ,又 a   +( a +2) x 0 +1=2 x 0 -1,即 a   + ax 0 +2=0,当 a =0时,显然不满足此方程, ∴ x 0 =-   ,此时 a =8. 易错警示 求函数图象的切线方程的注意事项: (1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,需将切点设出. (2)切点既在原函数的图象上,也在切线上,可将切点代入两者的函数解 析式建立方程组. (3)在切点处的导数值对应切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件. (4)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点.如 y = x 3 在(1,1)处的切线与 y = x 3 的图象还有一个交点(-2,-8).