高考文科数学复习备课课件：第三节　导数与函数的极值、最值 24页

文数 课标版 第三节　导数与函数的极值与最值 1.函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数 y = f ( x )在点 x = a 处的函数值 f ( a )比它在点 x = a 附近其他点的函数 值① 　都小     , f '( a )=0,而且在点 x = a 附近的左侧②      f '( x )<0     ,右侧 ③      f ‘( x )>0     ,则点 a 叫做函数 y = f ( x )的极小值点, f ( a )叫做函数 y = f ( x ) 的极小值. 教材研读 (2)函数的极大值 若函数 y = f ( x )在点 x = b 处的函数值 f ( b )比它在点 x = b 附近其他点的函数 值④ 　都大     , f '( b )=0,而且在点 x = b 附近的左侧⑤      f '( x )>0     ,右侧 ⑥      f ' ( x )<0     ,则点 b 叫做函数 y = f ( x )的极大值点, f ( b )叫做函数 y = f ( x ) 的极大值,⑦ 　极大值     和⑧ 　极小值     统称为极值. 2. 函数的最值与导数 (1) 函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有最值的条件 : 一般地 , 如果在区间 [ a , b ] 上 , 函数 y = f ( x ) 的图象是一条连续不断的曲线 , 那 么它必有最大值和最小值 . (2) 求函数 y = f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最大值与最小值的步骤 : (i) 求函数 y = f ( x ) 在 ( a , b ) 内的⑨ 　极值     ; (ii) 将函数 y = f ( x ) 的各极值与⑩ 　端点处     的函数值 f ( a ) 、 f ( b ) 比较 , 其中 最大的一个是最大值 , 最小的一个是最小值 .   判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)函数的极大值不一定比极小值大.   (√) (2)对可导函数 f ( x ), f '( x 0 )=0是 x 0 点为极值点的充要条件. ( × ) (3)函数的极大值一定是函数的最大值.   ( × ) (4)开区间上的单调连续函数无最值.   (√)   1.函数 f ( x )的定义域为R,导函数 f ' ( x )的图象如图所示,则函数f(x) (    　)   A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点 答案     C　设 f '( x )的图象与 x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为 x 1 、 x 2 、 x 3 、 x 4 . 当 x < x 1 时, f '( x )>0, f ( x )为增函数, 当 x 1 < x < x 2 时, f '( x )<0, f ( x )为减函数,则 x = x 1 为极大值点,同理, x = x 3 为极大 值点, x = x 2 , x = x 4 为极小值点,故选C. 2.函数 y = x e x 的最小值是   (　　) A.-1　    B.-e　　C.-   　    D.不存在 答案     C　∵ y = x e x ,∴ y '=e x + x e x =(1+ x )e x .当 x >-1时, y '>0;当 x <-1时, y '<0.∴当 x =-1时函数取得最小值,且 y min =-   .故选C. 3.函数 f ( x )= x - a ln x ( a >0)的极小值为 　　　     . 答案      a - a ln a 解析 　∵ f ( x )= x - a ln x ( a >0),∴ f ( x )的定义域为(0,+ ∞ ), f '( x )=1-   ( a >0), 由 f '( x )=0,解得 x = a . 当 x ∈(0, a )时, f '( x )<0; 当 x ∈( a ,+ ∞ )时, f '( x )>0, ∴函数 f ( x )在 x = a 处取得极小值,且极小值为 f ( a )= a - a ln a . 考点一　运用导数研究函数的极值 典例1     (2016广西桂林、崇左联考)设 a >0,函数 f ( x )=   x 2 -( a +1) x + a ln x . (1)当 a =2时,求曲线 y = f ( x )在点(3, f (3))处切线的斜率; (2)求函数 f ( x )的极值. 解析　 (1) f ( x )的定义域为(0,+ ∞ ). 当 a =2时, f '( x )= x -3+   , ∴曲线 y = f ( x )在点(3, f (3))处切线的斜率为 f '(3)=   . (2) f '( x )= x -( a +1)+   =   =   . 由 f '( x )=0得 x =1或 x = a . ①若0< a <1,当 x ∈(0, a )时, f '( x )>0,函数 f ( x )单调递增; 考点突破 当 x ∈( a ,1)时, f '( x )<0,函数 f ( x )单调递减; 当 x ∈(1,+ ∞ )时, f '( x )>0,函数 f ( x )单调递增. ∴当 x = a 时, f ( x )取极大值 f ( a )=-   a 2 - a + a ln a , 当 x =1时, f ( x )取极小值 f (1)=- a -   . ②若 a >1,当 x ∈(0,1)时, f '( x )>0,函数 f ( x )单调递增; 当 x ∈(1, a )时, f '( x )<0,函数 f ( x )单调递减; 当 x ∈( a ,+ ∞ )时, f '( x )>0,函数 f ( x )单调递增. ∴当 x =1时, f ( x )取极大值 f (1)=- a -   ; 当 x = a 时, f ( x )取极小值 f ( a )=-   a 2 - a + a ln a . ③若 a =1,当 x >0时, f '( x ) ≥ 0,函数 f ( x )单调递增,没有极值点. 综上,当0< a <1时, f ( x )的极大值为-   a 2 - a + a ln a ,极小值为- a -   ; 当 a >1时, f ( x )的极大值为- a -   ,极小值为-   a 2 - a + a ln a ;当 a =1时, f ( x )没有 极值. 方法技巧 运用导数求可导函数 y = f ( x )极值的步骤: ①先求函数的定义域,再求函数 y = f ( x )的导数 f '( x ); ②求方程 f '( x )=0的根; ③检查 f '( x )在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么 f ( x )在这个 根处取得极大值,如果左负右正,那么 f ( x )在这个根处取得极小值,如果左 右符号相同,则此根处不是极值点. 1-1 　若函数 f ( x )= x 3 -2 cx 2 + x 有极值点,则实数 c 的取值范围为   (　　) A.   　     B.   C.   ∪   　    D.   ∪   答案     D　若函数 f ( x )= x 3 -2 cx 2 + x 有极值点,则 f '( x )=3 x 2 -4 cx +1=0有两个不 相等的实根,故 Δ =(-4 c ) 2 -12>0,从而 c >   或 c <-   . 1-2     (2016黑龙江哈三中期末)已知 x =2是函数 f ( x )= x 3 -3 ax +2的极小值点, 那么函数 f ( x )的极大值为   (　　) A.15　    B.16　     C.17　    D.18 答案     D     x =2是函数 f ( x )= x 3 -3 ax +2的极小值点,即 x =2是 f '( x )=3 x 2 -3 a =0 的根,将 x =2代入得 a =4,所以函数解析式为 f ( x )= x 3 -12 x +2,则由3 x 2 -12=0,得 x = ± 2,故函数在(-2,2)上是减函数,在(- ∞ ,-2),(2,+ ∞ )上是增函数,由此可 知当 x =-2时函数 f ( x )取得极大值 f (-2)=18. 考点二　运用导数研究函数的最值 典例2     (2016甘肃兰州模拟)已知函数 f ( x )=( x - k )e x . (1)求 f ( x )的单调区间; (2)求 f ( x )在区间[0,1]上的最小值. 解析 　(1) f '( x )=( x - k +1)e x . 令 f '( x )=0,得 x = k -1. f ( x )与 f '( x )的变化情况如下表: x (- ∞ , k -1) k -1 ( k -1,+ ∞ ) f '( x ) - 0 + f ( x ) ↘ -e k -1 ↗ 所以, f ( x )的单调递减区间是(- ∞ , k -1);单调递增区间是( k -1,+ ∞ ). (2)当 k -1 ≤ 0,即 k ≤ 1时,函数 f ( x )在[0,1]上单调递增, 所以 f ( x )在区间[0,1]上的最小值为 f (0)=- k ; 当0< k -1<1,即1< k <2时, 由(1)知 f ( x )在[0, k -1)上单调递减,在( k -1,1]上单调递增,所以 f ( x )在区间[0, 1]上的最小值为 f ( k -1)=-e k -1 ; 当 k -1 ≥ 1,即 k ≥ 2时,函数 f ( x )在[0,1]上单调递减, 所以 f ( x )在区间[0,1]上的最小值为 f (1)=(1- k )e. 方法技巧 求函数 f ( x )在[ a , b ]上的最大值和最小值的步骤: (1)求函数在( a , b )内的极值. (2)求函数在区间端点的函数值 f ( a ), f ( b ). (3)将函数 f ( x )的极值与 f ( a ), f ( b )比较,其中最大的一个为最大值,最小的 一个为最小值. 2-1　 函数 f ( x )=ln x - x 在区间(0,e]上的最大值为   (　　) A.1-e　　B.-1　    C.-e　　D.0 答案     B　因为 f '( x )=   -1=   ,当 x ∈(0,1)时, f '( x )>0;当 x ∈(1,e]时, f '( x ) <0,所以 f ( x )的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e],所以当 x =1时, f ( x )取得最大值ln 1-1=-1. 2-2     (2015课标全国Ⅱ,21,12分)已知函数 f ( x )=ln x + a (1- x ). (1)讨论 f ( x )的单调性; (2)当 f ( x )有最大值,且最大值大于2 a -2时,求 a 的取值范围. 解析 　(1) f ( x )的定义域为(0,+ ∞ ), f '( x )=   - a .若 a ≤ 0,则 f '( x )>0,所以 f ( x )在 (0,+ ∞ )上单调递增. 若 a >0,则当 x ∈   时, f '( x )>0; 当 x ∈   时, f '( x )<0, 所以 f ( x )在   上单调递增, 在   上单调递减. (2)由(1)知,当 a ≤ 0时, f ( x )在(0,+ ∞ )上无最大值; 当 a >0时, f ( x )在 x =   处取得最大值,最大值为 f   =ln   + a   =-ln a + a -1. 因此 f   >2 a -2等价于ln a + a -1<0. 令 g ( a )=ln a + a -1,则 g ( a )在(0,+ ∞ )上单调递增, g (1)=0, 于是,当0< a <1时, g ( a )<0; 当 a >1时, g ( a )>0. 因此, a 的取值范围是(0,1). 考点三　函数的极值与最值的综合问题 典例3 　已知函数 f ( x )= x 3 + ax 2 + bx + c ,曲线 y = f ( x )在点 x =1处的切线为 l :3 x - y +1=0,当 x =   时, y = f ( x )有极值. (1)求 a , b , c 的值; (2)求 y = f ( x )在[-3,1]上的最大值和最小值. 解析 　(1)由 f ( x )= x 3 + ax 2 + bx + c , 得 f '( x )=3 x 2 +2 ax + b . 由曲线 y = f ( x )在点 x =1处的切线 l 的斜率为3,可得3 × 1+2 a + b =3,① 当 x =   时, y = f ( x )有极值,则 f '   =0, 即3 ×   +2 a ×   + b =0,② 由①②,解得 a =2, b =-4. 由于切点的横坐标为1, 所以 f (1)=4. 所以1+ a + b + c =4,得 c =5. (2)由(1)可得 f ( x )= x 3 +2 x 2 -4 x +5, f '( x )=3 x 2 +4 x -4. 令 f '( x )=0,解得 x 1 =-2, x 2 =   . f '( x ), f ( x )的取值及变化情况如下表: x -3 (-3,-2) -2       1 f '( x ) + 0 - 0 + f ( x ) 8 ↗ 13 ↘   ↗ 4 所以 y = f ( x )在[-3,1]上的最大值为13,最小值为   . 方法技巧 1.当连续函数在开区间内的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数 的最值点; 2.极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其必定是极值. 3-1　 已知函数 f ( x )= ax 3 + bx + c 在点 x =2处取得极值 c -16. (1)求 a , b 的值; (2)若 f ( x )有极大值28,求 f ( x )在[-3,3]上的最小值. 解析 　(1) f ( x )= ax 3 + bx + c , 故 f '( x )=3 ax 2 + b , 由于 f ( x )在点 x =2处取得极值 c -16, 故有   即   化简得   解得 a =1, b =-12. f '( x )=3 x 2 -12=3( x -2)( x +2). 令 f '( x )=0,得 x 1 =-2, x 2 =2. 当 x ∈(- ∞ ,-2)时, f '( x )>0, 故 f ( x )在(- ∞ ,-2)上为增函数; 当 x ∈(-2,2)时, f '( x )<0, 故 f ( x )在(-2,2)上为减函数; 当 x ∈(2,+ ∞ )时, f '( x )>0, 故 f ( x )在(2,+ ∞ )上为增函数. 由此可知 f ( x )在 x =-2处取得极大值 f (-2)=16+ c , f ( x )在 x =2处取得极小值 f (2)= c -16. 由题设条件知16+ c =28,得 c =12. (2)由(1)知 f ( x )= x 3 -12 x + c , 此时 f (-3)=9+ c =21, f (3)=-9+ c =3, f (2)=-16+ c =-4, 因此 f ( x )在[-3,3]上的最小值为 f (2)=-4.