高考文科数学复习备课课件：第四节　直线、平面平行的判定与性质 26页

文数 课标版 第四节　直线、平面平行的判定与性质 1.直线与平面平行的判定与性质 教材研读 判定 性质 定义 定理 图形         条件 a ∩ α = ⌀ ①      a ⊂ α , b ⊄ α ,     a ∥ b      a ∥ α ②      a ∥ α , a ⊂ β , α ∩ β = b      结论 a ∥ α b ∥ α a ∩ α = ⌀ a ∥ b 2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形         条件 α ∩ β = ⌀ ③      a ⊂ β , b ⊂ β ,  a ∩ b = P , a ∥ α , b ∥ α      ④      α ∥ β ,   α ∩ γ = a ,   β ∩ γ = b      α ∥ β , a ⊂ β 结论 α ∥ β α ∥ β a ∥ b a ∥ α 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个 平面.   ( × ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一 条直线.   ( × ) (3)如果一条直线 a 与平面 α 内的无数条直线平行,则 a ∥ α .( × ) (4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平 行.   ( × ) (5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行.   ( × ) (6)设 l 为直线, α , β 为两个不同的平面,若 l ∥ α 且 l ∥ β ,则 α ∥ β .   ( × ) (7)若 α ∥ β ,直线 a ∥ α ,则 a ∥ β .   ( × )   1.若两条直线都与一个平面平行,则这两条直线的位置关系是   (　　) A.平行　    B.相交 C.异面　    D.以上均有可能 答案     D　与一个平面平行的两条直线可以平行、相交,也可以异面. 2.下列命题中,正确的是   (　　) A.若 a ∥ b , b ⊂ α ,则 a ∥ α B.若 a ∥ α , b ⊂ α ,则 a ∥ b C.若 a ∥ α , b ∥ α ,则 a ∥ b D.若 a ∥ b , b ∥ α , a ⊄ α ,则 a ∥ α 答案     D　由直线与平面平行的判定定理知,只有选项D正确. 3.设 α , β 是两个不同的平面, m , n 是平面 α 内的两条不同直线, l 1 , l 2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α ∥ β 的一个充分不必要条件是   (　　) A. m ∥ l 1 且 n ∥ l 2 　    B. m ∥ β 且 n ∥ l 2 C. m ∥ β 且 n ∥ β 　    D. m ∥ β 且 l 1 ∥ α 答案     A　由 m ∥ l 1 , m ⊂ α , l 1 ⊂ β ,得 l 1 ∥ α ,同理, l 2 ∥ α ,又 l 1 , l 2 相交,所以 α ∥ β , 反之不成立,所以 m ∥ l 1 且 n ∥ l 2 是 α ∥ β 的一个充分不必要条件. 4.已知平面 α ∥ β ,直线 a ⊂ α ,有下列命题: ① a 与 β 内的所有直线平行; ② a 与 β 内无数条直线平行; ③ a 与 β 内的任意一条直线都不垂直. 其中真命题的序号是 　　　     . 答案 　② 解析 　由面面平行的性质可知,过 a 与 β 相交的平面与 β 的交线才与 a 平 行,故①错误;②正确;平面 β 内的直线与直线 a 平行、异面均可,其中包括 异面垂直,故③错误. 5.已知正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 ,下列结论中,正确的是 　　　     (只填序 号). ① AD 1 ∥ BC 1 ;②平面 AB 1 D 1 ∥平面 BDC 1 ; ③ AD 1 ∥ DC 1 ;④ AD 1 ∥平面 BDC 1 . 答案 　①②④ 解析      如图,因为 AB C 1 D 1 , 所以四边形 AD 1 C 1 B 为平行四边形, 故 AD 1 ∥ BC 1 ,从而①正确; 易证 BD ∥ B 1 D 1 , AB 1 ∥ DC 1 , 又 AB 1 ∩ B 1 D 1 = B 1 , BD ∩ DC 1 = D , 故平面 AB 1 D 1 ∥平面 BDC 1 ,从而②正确; 由图易知 AD 1 与 DC 1 异面,故③错误; 因 AD 1 ∥ BC 1 , AD 1 ⊄ 平面 BDC 1 , BC 1 ⊂ 平面 BDC 1 ,故 AD 1 ∥平面 BDC 1 ,故④正确. 考点一　直线与平面平行的判定和性质 典例1 　如图所示,斜三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中, D , D 1 分别为 AC , A 1 C 1 的中点. (1)证明 AD 1 ∥平面 BDC 1 ; (2)证明 BD ∥平面 AB 1 D 1 .   证明 　(1)∵ D 1 , D 分别为 A 1 C 1 与 AC 的中点, 四边形 ACC 1 A 1 为平行四边形,∴ C 1 D 1 DA , ∴四边形 ADC 1 D 1 为平行四边形,∴ AD 1 ∥ C 1 D , 考点突破 又 AD 1 ⊄ 平面 BDC 1 , C 1 D ⊂ 平面 BDC 1 , ∴ AD 1 ∥平面 BDC 1 . (2)连接 D 1 D , ∵ BB 1 ∥平面 ACC 1 A 1 , BB 1 ⊂ 平面 BB 1 D 1 D ,平面 ACC 1 A 1 ∩ 平面 BB 1 D 1 D = D 1 D , ∴ BB 1 ∥ D 1 D , 又 D 1 , D 分别为 A 1 C 1 , AC 的中点, ∴ BB 1 = DD 1 , 故四边形 BDD 1 B 1 为平行四边形, ∴ BD ∥ B 1 D 1 , 又 BD ⊄ 平面 AB 1 D 1 , B 1 D 1 ⊂ 平面 AB 1 D 1 , ∴ BD ∥平面 AB 1 D 1 . 方法技巧 证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点); (2)利用线面平行的判定定理( a ⊄ α , b ⊂ α , a ∥ b ⇒ a ∥ α ); (3)利用面面平行的性质定理( α ∥ β , a ⊂ α ⇒ a ∥ β ); (4)利用面面平行的性质( α ∥ β , a ⊄ β , a ∥ α ⇒ a ∥ β ). 变式1-1 　若将本例中的条件“ D , D 1 分别为 AC , A 1 C 1 的中点”变为“ D , D 1 分别为 AC , A 1 C 1 上的点”,则当   等于何值时, BC 1 ∥平面 AB 1 D 1 ? 解析　 当   =1时, BC 1 ∥平面 AB 1 D 1 . 如图,取 D 1 为线段 A 1 C 1 的中点, 此时   =1, 连接 A 1 B 交 AB 1 于点 O ,连接 OD 1 , 由棱柱的性质知四边形 A 1 ABB 1 为平行四边形, ∴ O 为 A 1 B 的中点, 在△ A 1 BC 1 中,点 O , D 1 分别为 A 1 B , A 1 C 1 的中点, ∴ OD 1 ∥ BC 1 ,又 OD 1 ⊂ 平面 AB 1 D 1 , BC 1 ⊄ 平面 AB 1 D 1 , ∴ BC 1 ∥平面 AB 1 D 1 , ∴当   =1时, BC 1 ∥平面 AB 1 D 1 . 考点二　平面与平面平行的判定与性质 典例2 　如图所示,在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中, E , F , G , H 分别是 AB , AC , A 1 B 1 , A 1 C 1 的中点,求证: (1) B , C , H , G 四点共面; (2)平面 EFA 1 ∥平面 BCHG .   证明　 (1)∵ G , H 分别是 A 1 B 1 , A 1 C 1 的中点, ∴ GH 是△ A 1 B 1 C 1 的中位线,∴ GH ∥ B 1 C 1 . 又∵ B 1 C 1 ∥ BC ,∴ GH ∥ BC , ∴ B , C , H , G 四点共面. (2)∵ E , F 分别是 AB , AC 的中点,∴ EF ∥ BC . ∵ EF ⊄ 平面 BCHG , BC ⊂ 平面 BCHG , ∴ EF ∥平面 BCHG . 易知 A 1 G EB , ∴四边形 A 1 EBG 是平行四边形,∴ A 1 E ∥ GB . ∵ A 1 E ⊄ 平面 BCHG , GB ⊂ 平面 BCHG , ∴ A 1 E ∥平面 BCHG . ∵ A 1 E ∩ EF = E ,∴平面 EFA 1 ∥平面 BCHG . 方法技巧 证明面面平行的常用方法: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另 一个平面,那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证 明. 2-1 　一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所 示.   (1)请将字母 F , G , H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系,并证明你的结论.   (2)平面 BEG ∥平面 ACH .证明如下: 因为 ABCD - EFGH 为正方体, 所以 BC ∥ EH , BC = EH , 于是四边形 BCHE 为平行四边形,所以 BE ∥ CH . 又 CH ⊂ 平面 ACH , BE ⊄ 平面 ACH , 所以 BE ∥平面 ACH .同理, BG ∥平面 ACH , 又 BE ∩ BG = B ,所以平面 BEG ∥平面 ACH . 解析 　(1)点 F , G , H 的位置如图所示. 考点三　平行关系的综合问题 典例3     如图所示,平面 α ∥平面 β ,点 A ∈ α ,点 C ∈ α ,点 B ∈ β ,点 D ∈ β ,点 E , F 分别在线段 AB , CD 上,且 AE ∶ EB = CF ∶ FD . (1)求证: EF ∥平面 β ; (2)若 E , F 分别是 AB , CD 的中点, AC =4, BD =6,且 AC , BD 所成的角为60 ° ,求 EF 的长.   解析 　(1)证明:①当 AB , CD 在同一平面内时,由平面 α ∥平面 β ,平面 α ∩ 平面 ABDC = AC ,平面 β ∩ 平面 ABDC = BD ,知 AC ∥ BD . ∵ AE ∶ EB = CF ∶ FD , ∴ EF ∥ BD . 又 EF ⊄ β , BD ⊂ β ,∴ EF ∥平面 β . ②当 AB 与 CD 异面时,如图所示,设平面 ACD ∩ 平面 β = DH ,且 DH = AC ,   ∵平面 α ∥平面 β ,平面 α ∩ 平面 ACDH = AC , ∴ AC ∥ DH , ∴四边形 ACDH 是平行四边形, 在 AH 上取一点 G ,使 AG ∶ GH = CF ∶ FD ,连接 EG , FG , BH . 则 AE ∶ EB = CF ∶ FD = AG ∶ GH . ∴ GF ∥ HD , EG ∥ BH . 又 EG ∩ GF = G , BH ∩ HD = H , ∴平面 EFG ∥平面 β . 又 EF ⊂ 平面 EFG ,∴ EF ∥平面 β . 综合①②可知 EF ∥平面 β . (2)如图所示,连接 AD ,取 AD 的中点 M ,连接 ME , MF .   ∵ E , F 分别为 AB , CD 的中点,∴ ME ∥ BD , MF ∥ AC , 且 ME =   BD =3, MF =   AC =2.∴∠ EMF 为 AC 与 BD 所成的角或其补角, ∴∠ EMF =60 ° 或120 ° .∴在△ EFM 中,由余弦定理得 EF =   =   =   , 即 EF =   或 EF =   . 1.线线平行、线面平行和面面平行是空间中三种基本平行关系,它们之 间可以相互转化,其转化关系如下:   规律总结 2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的 转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而应用性 质定理时,其顺序正好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体 条件而定,绝对不可过于“模式化”. 3-1　 如图所示,在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中,连接 AC 、 BD 交于点 O , P 是 DD 1 的中点,设 Q 是 CC 1 上的点.问:当点 Q 在什么位置时,平面 D 1 BQ ∥平面 PAO ? 　       解析 　当 Q 为 CC 1 的中点时,平面 D 1 BQ ∥平面 PAO . 证明:∵在正方体 AC 1 中, Q 为 CC 1 的中点, P 为 DD 1 的中点,∴易知 QB ∥ PA . ∵ QB ⊄ 平面 PAO , PA ⊂ 平面 PAO ,∴ QB ∥平面 PAO . ∵ P 、 O 分别为 DD 1 、 DB 的中点,∴ PO ∥ D 1 B , 又∵ D 1 B ⊄ 平面 PAO , PO ⊂ 平面 PAO , ∴ D 1 B ∥平面 PAO , 又∵ D 1 B ∩ QB = B , D 1 B ⊂ 平面 D 1 BQ , QB ⊂ 平面 D 1 BQ , ∴平面 D 1 BQ ∥平面 PAO .