高考文科数学复习备课课件：第三节　等比数列及其前n项和 27页

文数 课标 版 第三节　等比数列及其前 n 项和 1.等比数列的定义 如果一个数列从① 　第二项     起,每一项与前一项的比等于 ② 　同一个常数     ,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数 叫做等比数列的③     公比     ,通常用字母④      q      表示,定义的 表达式为   = q ( n ∈N * ). 教材研读 2.等比数列的通项公式 等比数列{ a n }的通项公式为 a n =⑤      a 1 q n -1      . 3.等比中项 若⑥      G 2 = ab ( ab ≠ 0)     ,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广: a n = a m ·⑦      q n - m      ( n , m ∈N * ). (2)若{ a n }为等比数列,且 k + l = m + n ( k , l , m , n ∈N * ),则⑧      a k a l = a m a n      . (3)若{ a n },{ b n }(项数相同)是等比数列,则{ λa n }( λ ≠ 0),   ,{   },{ a n · b n },   仍是等比数列. 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{ a n }的公比为 q ( q ≠ 0),其前 n 项和为 S n , 当 q =1时, S n =⑨      na 1      ; 当 q ≠ 1时, S n =⑩             =               . 6. 等比数列前 n 项和的性质 公比不为 -1 的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 则 S n , S 2 n - S n , S 3 n - S 2 n 仍成等比数列 , 其公比为        q n      . 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)满足 a n +1 = qa n ( n ∈N * , q 为常数)的数列{ a n }为等比数列.( × ) (2) G 为 a , b 的等比中项 ⇔ G 2 = ab .   ( × ) (3)如果数列{ a n }为等比数列, b n = a 2 n -1 + a 2 n 是等差数列.   ( × ) (4)如果数列{ a n }为等比数列,则数列{ln a n }是等差数列.   ( × ) (5)数列{ a n }的通项公式是 a n = a n ,则其前 n 项和为 S n =   .   ( × ) 1.已知{ a n }是等比数列, a 2 =2, a 5 =   ,则公比 q =(　　) A.-   　    B.-2　    C.2　    D.   答案     D　由通项公式及已知得 a 1 q =2①, a 1 q 4 =   ②,由② ÷ ①得 q 3 =   ,解得 q =   .故选D. 2.已知等比数列{ a n }的前三项依次为 a -1, a +1, a +4,则 a n =   (　　) A.4 ×   　    B.4 ×   C.4 ×   　    D.4 ×   答案     B　由题意得( a +1) 2 =( a -1)( a +4),解得 a =5,故 a 1 =4, a 2 =6,所以 q =   ,则 a n =4 ×   . 3.在等比数列{ a n }中,已知 a 7 a 12 =5,则 a 8 a 9 a 10 a 11 =   (　　) A.10　    B.25　    C.50　    D.75 答案     B　∵ a 7 a 12 =5,∴ a 8 a 9 a 10 a 11 =( a 8 a 11 )( a 9 a 10 )=( a 7 a 12 ) 2 =25. 4.已知在等比数列{ a n }中, a 2 =   , a 3 =   , a k =   ,则 k = 　　　     . 答案 　7 解析　 设{ a n }的公比为 q .∵ a 2 =   , a 3 =   ,∴ q =   =   ,∴ a 1 =1,由 a k = a 1 ·   =   ,解得 k =7. 5.设 S n 为等比数列{ a n }的前 n 项和,8 a 2 + a 5 =0,则   = 　　　     . 答案 　-11 解析 　设数列{ a n }的公比为 q ,则8 a 1 q + a 1 q 4 =0,又 a 1 ≠ 0, q ≠ 0,∴ q =-2, ∴   =   =   =-11. 考点一　等比数列的基本运算 典例1　 (1)(2016山西太原一模)已知等比数列{ a n }单调递减,若 a 3 =1, a 2 + a 4 =   ,则 a 1 =   (　　) A.2　    B.4　    C.   　    D.2   (2)在等比数列{ a n }中, a 3 =7,前3项之和 S 3 =21,则公比 q 的值为   (　　) A.1　    B.-   C.1或-   　    D.-1或   (3)(2015课标Ⅰ,13,5分)在数列{ a n }中, a 1 =2, a n +1 =2 a n , S n 为{ a n }的前 n 项和. 若 S n =126,则 n = 　　　     . 答案 　(1)B　(2)C　(3)6 考点突破 解析 　(1)设等比数列{ a n }的公比为 q ,由题易知 q >0.由等比数列的性质 及题意知   = a 2 a 4 =1,又 a 2 + a 4 =   ,且{ a n }单调递减,所以 a 2 =2, a 4 =   ,则 q 2 =   , q =   (舍负),所以 a 1 =   =4,故选B. (2)根据已知条件得     得   =3. 整理得2 q 2 - q -1=0, 解得 q =1或 q =-   . (3)由已知得{ a n }为等比数列,公比 q =2,由首项 a 1 =2, S n =126得   =126, 解得2 n +1 =128,∴ n =6. 方法指导 解决等比数列有关问题的常用思想方法 (1)方程的思想:等比数列中有五个量 a 1 , n , q , a n , S n ,一般可以“知三求二”. (2)分类讨论的思想:等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论, 当 q =1时,{ a n }的前 n 项和 S n = na 1 ;当 q ≠ 1时,{ a n }的前 n 项和 S n =   =   . 1-1　 已知等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 a 1 + a 3 =   , a 2 + a 4 =   ,则   =   (    ) A.4 n -1 　    B.4 n -1　    C.2 n -1 　    D.2 n -1 答案     D　设等比数列{ a n }的公比为 q ,∵   ∴   由① ÷ ②可得   =2, ∴ q =   ,代入①解得 a 1 =2, ∴ a n =2 ×   =   , S n =   =4   , ∴   =   =2 n -1,选D. 1-2     设数列{ a n }的前 n 项和 S n 满足6 S n +1=9 a n ( n ∈N * ). (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)若数列{ b n }满足 b n =   ,求数列{ b n }的前 n 项和 T n . 解析 　(1)当 n =1时,由6 a 1 +1=9 a 1 , 得 a 1 =   . 当 n ≥ 2时,由6 S n +1=9 a n , 得6 S n -1 +1=9 a n -1 , 两式相减得6( S n - S n -1 )=9( a n - a n -1 ), 即6 a n =9( a n - a n -1 ), ∴ a n =3 a n -1 . ∴数列{ a n }是首项为   ,公比为3的等比数列,其通项公式为 a n =   × 3 n -1 =3 n -2 . (2)∵ b n =   =   , ∴{ b n }是首项为3,公比为   的等比数列, ∴ T n = b 1 + b 2 + … + b n =   =     . 考点二　等比数列的性质及应用 典例2　 (1)(2016广东广州综合测试)已知数列{ a n }为等比数列,若 a 4 + a 6 = 10,则 a 7 ( a 1 +2 a 3 )+ a 3 a 9 的值为   (　　) A.10　    B.20　    C.100　    D.200 (2)(2016吉林长春调研)在正项等比数列{ a n }中,已知 a 1 a 2 a 3 =4, a 4 a 5 a 6 =12, a n -1 a n a n +1 =324,则 n = 　     . (3)设等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,若 S 6 ∶ S 3 =1∶2,则 S 9 ∶ S 3 = 　　　     . 答案 　(1)C　(2)14      (3)3∶4 解析 　(1) a 7 ( a 1 +2 a 3 )+ a 3 a 9 = a 7 a 1 +2 a 7 a 3 + a 3 a 9 =   +2 a 4 a 6 +   =( a 4 + a 6 ) 2 =10 2 =100, 故选C. (2)设数列{ a n }的公比为 q ,由 a 1 a 2 a 3 =4=   q 3 与 a 4 a 5 a 6 =12=   q 12 可得 q 9 =3,由 于 a n -1 a n a n +1 =   q 3 n -3 =324,因此 q 3 n -6 =81=3 4 = q 36 ,所以3 n -6=36,解得 n =14. (3)由题意可知 q ≠ -1,故由等比数列的性质知, S 3 , S 6 - S 3 , S 9 - S 6 仍成等比数列, 于是( S 6 - S 3 ) 2 = S 3 ·( S 9 - S 6 ), 将 S 6 =   S 3 代入可得   =   . 易错警示 (1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别 是“若 m + n = p + q ( m 、 n 、 p 、 q ∈N * ),则 a m · a n = a p · a q ”,可以减少运算量,提 高解题速度.(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提,有时需 要进行适当变形.此外,解题时注意对设而不求思想的运用. 2-1 　已知 x , y , z ∈R,若-1, x , y , z ,-3成等比数列,则 xyz 的值为   (　　) A.-3　    B. ± 3　    C.-3   　    D. ± 3   答案     C　由题意知 y 2 =3,∴ y = ±   , 又∵ y 与-1,-3符号相同, ∴ y =-   ,又 y 2 = xz , 所以 xyz = y 3 =-3   . 2-2 　记等比数列{ a n }的前 n 项积为 T n ( n ∈N * ),已知 a m -1 · a m +1 -2 a m =0,且 T 2 m -1 =1 28,则 m 的值为   (　　) A.4　    B.7　    C.10　    D.12 答案     A　因为{ a n }是等比数列, 所以 a m -1 a m +1 =   , 故由 a m -1 a m +1 -2 a m =0, 可知 a m =2( a m =0舍去). 由等比数列的性质可知前(2 m -1)项积 T 2 m -1 =   , ∴2 2 m -1 =128,故 m =4. 考点三　等比数列的判定与证明 典例3　 设数列{ a n }的前 n 项和为 S n , n ∈N * .已知 a 1 =1, a 2 =   , a 3 =   ,且当 n ≥ 2 时,4 S n +2 +5 S n =8 S n +1 + S n -1 . (1)求 a 4 的值; (2)证明:   为等比数列. 解析 　(1)当 n =2时,4 S 4 +5 S 2 =8 S 3 + S 1 , 即4( a 1 + a 2 + a 3 + a 4 )+5( a 1 + a 2 )=8( a 1 + a 2 + a 3 )+ a 1 , 整理得 a 4 =   , 因为 a 2 =   , a 3 =   , 所以 a 4 =   . (2)证明:当 n ≥ 2时,有4 S n +2 +5 S n =8 S n +1 + S n -1 , 即4 S n +2 +4 S n + S n =4 S n +1 +4 S n +1 + S n -1 , 所以4( S n +2 - S n +1 )=4( S n +1 - S n )-( S n - S n -1 ), 即 a n +2 = a n +1 -   a n ( n ≥ 2). 经检验,当 n =1时,上式成立. 因为   =   =   =   ,为常数,且 a 2 -   a 1 =1, 所以数列   是以1为首项,   为公比的等比数列. 方法技巧 证明数列{ a n }(各项不为零)是等比数列的常用方法:一是定义法,证明   = q ( n ≥ 2, q 为非零常数);二是等比中项法,证明   = a n -1 · a n +1 ( n ≥ 2).若判 定一个数列不是等比数列,则可以举反例,也可以用反证法. 3-1 　在数列{ a n }中,“ a n =2 a n -1 , n =2,3,4, … ”是“{ a n }是公比为2的等比数 列”的   (　　) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充要条件　    D.既不充分也不必要条件 答案     B　因为当 a n =0时,也有 a n =2 a n -1 , n =2,3,4, … ,但{ a n }是等差数列,不 是等比数列,因此充分性不成立.当{ a n }是公比为2的等比数列时,有   = 2, n =2,3,4, … ,即 a n =2 a n -1 , n =2,3,4, … ,所以必要性成立. 3-2 　设数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,数列{ b n }中, b 1 = a 1 , b n = a n - a n -1 ( n ≥ 2).若 a n + S n = n . (1)设 c n = a n -1,求证:数列{ c n }是等比数列; (2)求数列{ b n }的通项公式. 解析 　(1)证明:由 a n + S n = n , 得 a n -1 + S n -1 = n -1( n ≥ 2), 两式相减得2 a n - a n -1 =1( n ≥ 2), 即2( a n -1)= a n -1 -1( n ≥ 2), 所以 c n =   c n -1 ( n ≥ 2). 又由   解得 a 1 =   , 所以 c 1 = a 1 -1=-   ≠ 0, 所以数列{ c n }是等比数列. (2)由(1)知 c n =   ·   =-   , 所以 a n = c n +1=1-   , 所以 b n = a n - a n -1 =   ( n ≥ 2). 又 b 1 = a 1 =   适合上式, 所以 b n =   .