第七章不 等 式
第一节
不等式的性质及一元二次不等式
本节主要包括2个知识点：
1.不等式的性质；2.一元二次不等式.
突破点(一) 不等式的性质
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．比较两个实数大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b
b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒acb＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd>0
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒<.②a<0b>0,0.④0b>0，m>0，则：①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0).
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
比较两个数(式)的大小
[例1] (1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．MN
C．M＝N D．不确定
(2)若a＝，b＝，则a________b(填“＞”或“＜”)．
[解析] (1)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M >N.
(2)易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
[答案] (1)B (2)<
[方法技巧] 比较两个数(式)大小的两种方法
不等式的性质
[例2] (1)如果ab，c>d，则ac>bd
B．若ac>bc，则a>b
C．若<，则ab，c>d，则a－c>b－d
(3)(2016·西安八校联考)“x1>3且x2>3”是“x1＋x2>6且x1x2>9”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] (1)法一(性质判断)：对于A项，由a0，ab>0，故－＝>0，>，故A项错误；对于B项，由a0，ab>b2，故B项错误；对于C项，由a0，a2>ab，即－ab>－a2，故C项错误；对于D项，由a0，故－－＝<0，－<－成立，故D项正确．
法二(特殊值法)：令a＝－2，b＝－1，则＝－>＝－1，ab＝2>b2＝1，－ab＝－2>－a2＝－4，－＝<－＝1.故A、B、C项错误，D项正确．
(2)取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c<0时，ac>bc⇒a0，∴a3，x2>3⇒x1＋x2>6，x1x2>9；反之不成立，例如x1＝，x2＝20，x1＋x2＝>6，x1x2＝10>9，但x1<3.故“x1>3且x2>3”是“x1＋x2>6且x1x2>9”的充分不必要条件．
[答案] (1)D (2)C (3)A
[方法技巧]
不等式性质应用问题的常见类型及解题策略
(1)不等式成立问题．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
(2)与充分、必要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．
(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．AB
解析：选B 由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.
2.若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是( )
A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜n
C．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m
解析：选D 法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．
法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．
3.若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中，成立的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C ∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①不成立．∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴＋＝＜0，故②成立．∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③成立．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④成立．成立的个数为3.
4.设a，b是实数，则“a>b>1”是“a＋>b＋”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为a＋－＝，若
a>b>1，显然a＋－＝>0，则充分性成立，当a＝，b＝时，显然不等式a＋>b＋成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立．
突破点(二) 一元二次不等式
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．三个“二次”之间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|xx2}
R
一元二次不等式ax2＋bx
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
＋c＜0(a＞0)的解集
2.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
一元二次不等式的解法
[例1] 解下列不等式：
(1)－3x2－2x＋8≥0；
(2)0＜x2－x－2≤4；
(3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．
[解] (1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于⇔
⇔⇔
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为.
(3)原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，
因为a＞0，所以a(x－1)＜0.
所以当a＞1，即<1时，解为＜x＜1；
当a＝1时，解集为∅；
当0＜a＜1，即>1时，解为1＜x＜.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a＞1时，不等式的解集为.
[方法技巧]
1．解一元二次不等式的方法和步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
(2)判：计算对应方程的判别式．
(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．
由一元二次不等式恒成立求参数范围
对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值．
考法(一) 在实数集R上恒成立
[例2] 已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数m使得对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解] 不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，1－2x＜0，则x＞，不满足题意；
当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，
需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，
即
不等式组的解集为空集，即m无解．
综上可知不存在这样的实数m使不等式恒成立．
考法(二) 在某区间上恒成立
[例3] 设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[解] 要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6＜0，即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.
所以m＜，则0＜m＜.
当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.所以m＜6，则m＜0.
综上所述，m的取值范围是.
法二：因为x2－x＋1＝2＋＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可．
因为m≠0，所以m的取值范围是mm＜0或0＜m＜.
考法(三) 在参数的某区间上恒成立时求变量范围
[例4] 对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
[解] 由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
则原问题转化为关于m的一次函数问题．
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
∴
解得x<1或x>3.
故当x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
[易错提醒]
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.不等式组的解集为( )
A．{x|－21}
解析：选C 解x(x＋2)>0，得x<－2或x>0；解|x|<1，得－11时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即10，|a|≤1恒成立，则x的取值范围为________．
解析：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以①若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．②若x≠3，则由一次函数的单调性，可得即解得x<2或x>4.
答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( )
A．[－2，－1] B．[－1,2)
C．[－1,1] D．[1,2)
解析：选A A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]，故选A.
2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( )
A．{1} B．{2}
C．{0,1} D．{1,2}
解析：选D N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．
3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则( )
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R
C．B⊆A D．A⊆B
解析：选B 集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－＜x＜}＝R，故选B.
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．若a>b>0，则下列不等式不成立的是( )
A.< B．|a|>|b|
C．a＋b<2 D.ab>0，∴<，且|a|>|b|，a＋b>2，又f(x)＝x是减函数，∴ay>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是( )
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
解析：选C 因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0，所以x>0，又y>z，所以
xy>xz，故选C.
4．不等式组的解集是( )
A．(2,3) B.∪(2,3)
C.∪(3，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：选B ∵x2－4x＋3<0，∴10，∴(x－2)(2x－3)>0，∴x<或x>2，∴原不等式组的解集为∪(2,3)．
5．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为－，，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为________．
解析：依题意知，∴解得a＝－12，c＝2，∴不等式－cx2＋2x－a>0，即为－2x2＋2x＋12>0，即x2－x－6<0，解得－20得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|1b⇒ac2>bc2 B.>⇒a>b
C.⇒> D.⇒>
解析：选C 当c＝0时，ac2＝0，bc2＝0，故由a>b不能得到ac2>bc2，故A错误；当c<0时，>⇒a0⇔或故选项D错误，C正确．故选C.
3．已知a>0，且a≠1，m＝aa2＋1，n＝aa＋1，则( )
A．m≥n B．m>n C．m0，n>0，两式作商，得＝a(a2＋1)－(a＋1)＝aa(a－1)，当a>1时，a(a－1)>0，所以aa(a－1)>a0＝1，即m>n；当0a0＝1，即m
>n.综上，对任意的a>0，a≠1，都有m>n.
4．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4] B．[－4，＋∞)
C．[－4,3] D．[－4,3)
解析：选B 不等式x2－2x－3≤0的解集为[－1,3]，假设的解集为空集，则不等式x2＋4x－(a＋1)≤0的解集为集合{x|x<－1或x>3}的子集，因为函数f(x)＝x2＋4x－(a＋1)的图象的对称轴方程为x＝－2，所以必有f(－1)＝－4－a>0，即a<－4，则使的解集不为空集的a的取值范围是a≥－4.
5．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )
A. B.
C．(1，＋∞) D.
解析：选A 由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－，故a的取值范围为.
6．在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选D 由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．∵x2－x＋1＝2＋≥，∴a2－a≤，解得－≤a≤，则实数a的最大值为.
二、填空题
7．已知a，b，c∈R，有以下命题：
①若<，则<；②若<，则ab，则a·2c>b·2c.
其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)．
解析：①若c≤0，则命题不成立．②由<得<0，于是a0知命题正确．
答案：②③
8．若00的解集是________．
解析：原不等式为(x－a)<0，由00，则－x<0，则f(－x)＝bx2＋3x.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即bx2＋3x＝－x2－ax，可得a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝当x≥0时，由x2－3x＜4解得0≤x＜4；当x＜0时，由－x2－3x＜4解得x＜0，所以不等式f(x)＜4的解集为(－∞，4)．
答案：(－∞，4)
10．(2016·西安一模)若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是________．
解析：不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，相当于二次函数y＝x2＋mx＋1的最小值非负，即方程x2＋mx＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2.
答案：[－2,2]
三、解答题
11．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，
即a2－6a－3<0，解得3－2b的解集为(－1,3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，
∴解得
故a的值为3＋或3－，b的值为－3.
12．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝时，
即x＝1时，等号成立．
所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“对任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以即
解得a≥.则a的取值范围为.
第二节
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
本节主要包括3个知识点：
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域；
2.简单的线性规划问题；
3.线性规划的实际应用.
突破点(一) 二元一次不等式(组)表示的平面区域
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法步骤
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求平面区域的面积
1.求平面区域的面积，要先作出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．
2．求平面区域的面积问题，平面区域形状为三角形的居多，尤其当△ABC为等腰直角三角形(A为直角)时，点B到直线AC的距离即△ABC的腰长|AB|.由点到直线的距离公式求得|AB|，面积便可求出．
[例1] 不等式组表示的平面区域的面积为( )
A．4 B．1 C．5 D．无穷大
[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.
[答案] B
[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤
(1)画出不等式组表示的平面区域；
(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．
[提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
根据平面区域满足的条件求参数
不等式组中的参数影响平面区域的形状，如果不等式组中的不等式含有参数，这时它表示的区域的分界线是一条变动的直线，此时要根据参数的取值范围确定这条直线的变化趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确定区域的可能形状，进而根据题目要求求解；如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系，可以考虑对应的函数的变化趋势，确定极限情况求解；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数的特点考察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中求解．
[例2] 若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A. B．(0,1]
C. D．(0,1]∪
[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由得A，；由得B(1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中a的取值范围是0zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，解得a＝－1或a＝2.
5.设x，y满足约束条件则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1，0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P(－1，0)的距离最大．
解方程组
得A点的坐标为(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax＝(3＋1)2＋82＝80.
答案：80
突破点(三) 线性规划的实际应用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
解线性规划应用题的一般步骤
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
线性规划的实际应用
[典例] 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A．12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
[解析] 设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，
由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.
[答案] D
[易错提醒]
求解线性规划应用题的三个注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．
(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否为整数、是否为非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝( )
A．10 B．12 C．13 D．16
解析：选C 如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线b＋a＝0，并平移，结合a，b∈N，可知当a＝6，b
＝7时，a＋b取最大值，故x＝6＋7＝13.
2．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．
解析：设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件生产利润为z＝300x＋400y.画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z＝300x＋400y在点M或其附近的整数点处取得最大值，
由方程组解得则zmax ＝300×3＋400×2＝1 700.故最大利润是1 700元．
答案：1 700
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)不等式组的解集记为D.有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；
p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；
p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；
p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是( )
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p1，p2 D．p1，p3
解析：选C 画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.
2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B. C．1 D．2
解析：选B 由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分所示，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝，故选B.
3．(2016·全国丙卷)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．平移直线x＋y＝0，当直线经过A点时，z取得最大值， 由得A1，，zmax＝1＋＝.
答案：
4．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解析：设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为即
目标函数为z＝2 100x＋900y，
由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
作直线2 100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0并上下平移，易知当直线经过点M时，z取得最大值，联立解得B(60,100)．
则zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
答案：216 000
5．(2015·新课标全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为________．
解析：画出可行域如图阴影所示，∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，
∴点(x，y)在点A处时最大．
由得
∴A(1,3)．∴的最大值为3.
答案：3
6．(2012·新课标全国卷)设x，y满足约束条件则z＝x－2y的取值范围为________．
解析：依题意，画出可行域，如图所示，可行域为ABOC，显然，当直线y＝x－过点A(1,2)时，z取得最小值为－3；当直线过点B(3,0)时，z取得最大值为3，综上可知z的取值范围为[－3,3]．
答案：[－3,3]
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是( )
A．(0,2) B．(－2,0)
C．(0，－2) D．(2,0)
解析：选C 将四个点的坐标分别代入不等式组验证可知，满足条件的只有(0，－2)．
2．不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A. B. C. D.
解析：选C 平面区域如图中阴影部分所示．解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，|BC|＝4－＝.∴S△ABC＝××1＝.
3．若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为( )
A．0 B．1 C. D．2
解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．作直线x＋2y＝0并上下平移，易知当直线过点A(0,1)时，z＝x＋2y取最大值，即zmax＝0＋2×1＝2.
4．若x，y满足约束条件则(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为( )
A．1 B. C．5 D．9
解析：选B 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由题意可知点P(－2，－3)到直线x＋y＋2＝0的距离为＝，所以(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为2＝，故选B.
5．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为________．
解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，∵z＝3x－y，∴y＝3x－z，当该直线经过点A(2,2)时，z取得最大值，即zmax ＝3×2－2＝4.
答案：4
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．若x，y满足不等式组则z＝3x＋y的最大值为( )
A．11 B．－11 C．13 D．－13
解析：选A 将z＝3x＋y化为y＝－3x＋z，作出可行域如图阴影部分所示，易知当直线y＝－3x＋z经过点D时，z取得最大值．联立得D(4，－1)，此时zmax＝4×3－1＝11，故选A.
2．(2017·河南八市高三质检)已知x，y满足约束条件目标函数z＝6x＋2y的最小值是10，则z的最大值是( )
A．20 B．22 C．24 D．26
解析：选A 由z＝6x＋2y，得y＝－3x＋，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y
＝－3x＋经过点C时，直线的纵截距最小，即z＝6x＋2y取得最小值10，由解得即C(2，－1)，将其代入直线方程－2x＋y＋c＝0，得c＝5，即直线方程为－2x＋y＋5＝0，平移直线3x＋y＝0，当直线经过点D时，直线的纵截距最大，此时z取最大值，由得即D(3,1)，将点D的坐标代入目标函数z＝6x＋2y，得zmax＝6×3＋2＝20，故选A.
3．若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )
A．2 B．－2 C. D．－
解析：选D 作出线性约束条件的可行域．当k≥0时，如图(1)所示，此时可行域为x轴上方、直线x＋y－2＝0的右上方、直线kx－y＋2＝0的右下方的区域，显然此时z＝y－x无最小值．当k<－1时，z＝y－x取得最小值2；当k＝－1时，z＝y－x取得最小值－2，均不符合题意．当－10)仅在点(1,1)处取得最大值，则a的取值范围为( )
A．(0,2) B. C. D.
解析：选B 约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：ax＋y＝0，过点(1,1)作l的平行线l′，要满足题意，则直线l′的斜率介于直线x＋2y－3＝0与直线y＝1的斜率之间，因此，－<－a<0，即00，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
通过拼凑法利用基本不等式求最值
[例1] (1)已知00，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
[答案] (1)B (2)1
[方法技巧]
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
通过常数代换法利用基本不等式求最值
[例2] 已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
[解析] ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．
[答案] 4
[方法技巧]
常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
通过消元法利用基本不等式求最值
[例3] 已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________．
[解析] 因为xy＋2x＋y＝4，所以x＝.由x＝>0，得－20，则00，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．
解析：＝＝2＋·＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝
时，取等号．
答案：9
5.实数x，y满足x＋2y＝2，则3x＋9y的最小值是________．
解析：利用基本不等式可得3x＋9y＝3x＋32y≥2＝2 .∵x＋2y＝2，∴3x＋9y≥2＝6，当且仅当3x＝32y，即x＝1，y＝时取等号．
答案：6
突破点(二) 基本不等式的综合问题
关于基本不等式的考题，涉及的知识点较多，常融合于函数、数列、解析几何及实际问题中，此类问题一般难度较大，需要较强的分析问题、解决问题的能力.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
基本不等式的实际应用
[例1] 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
[解析] 若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥2 ＝20，
当且仅当＝，
即x＝80时取等号．
[答案] B
[方法技巧]
利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
基本不等式与其他知识的交汇问题
[例2] 设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为( )
A. B. C. D．4
[解析] 不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z＝ax＋by得y＝－x＋，当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－，在y轴上的截距为，由图可知当直线经过点A(4,6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以＋＝·＝≥4，当且仅当a＝，b＝1时等号成立．
[答案] D
[方法技巧]
求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
与基本不等式有关的参数问题
[例3] (1)已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)设x>y>z，且＋≥(n∈N)恒成立，则n的最大值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] (1)(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a>0)，当且仅当y＝x时取等号，所以(x＋y)·的最小值为(＋1)2，于是(＋1)2≥9恒成立，所以a≥4，故选B.
(2)因为x>y>z，所以x－y>0，y－z>0，x－z>0，不等式＋≥恒成立等价于n≤(x－z)＋恒成立．因为x－z＝(x－y)＋(y－z)≥2，＋≥2，所以(x－z)·＋≥2×2＝4(当且仅当x－y＝y－z时等号成立)，则要使n≤(x－z)＋恒成立，只需使n≤4(n∈N)，故n的最大值为4.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧]
求参数的值或取值范围的方法
观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.(2016·银川模拟)若直线2ax＋by－2＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则＋的最小值是( )
A．2－ B.－1
C．3＋2 D．3－2
解析：选C ∵圆心为(1,2)在直线2ax＋by－2＝0上，∴a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝，即a＝2－，b＝－1时等号成立．
2.(2016·东北育才学校模拟)设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是( )
A．4 B. C．8 D．9
解析：选D ∵＝－＝(a－1，1)，＝－＝(－b－1,2)，若A，B，C三点共线，则有∥，∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又a>0，
b>0，∴＋＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当即a＝b＝时等号成立．
3.已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，2－1)
C．(－1,2－1) D．(－2－1,2－1)
解析：选B 由32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，得k＋1<3x＋.∵3x＋≥2，当且仅当3x＝，即x＝log32时，等号成立，∴k＋1<2，即k<2－1.
4.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．
解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：8
5.已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
解析：依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2.又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.
答案：2
近五年全国卷对本节内容未直接考查
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a＋b≥2 B.＋＞
C.＋≥2 D．a2＋b2＞2ab
解析：选C 因为ab＞0，所以＞0，＞0，所以＋≥2 ＝2，当且仅当a＝b时取等号．
2．下列不等式一定成立的是( )
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
解析：选C 对选项A，当x>0时，x2＋－x＝2≥0，∴lg≥lg x，故不成立；对选项B，当sin x<0时显然不成立；对选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；对选项D，∵x2＋1≥1，∴0<≤1，故不成立．
3．当x>0时，函数f(x)＝有( )
A．最小值1 B．最大值1
C．最小值2 D．最大值2
解析：选B f(x)＝≤＝1.当且仅当x＝，x>0即x＝1时取等号．所以f(x)有最大值1.
4．已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．
解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，∴＋＝＝＋＋≥＋2 ＝.当且仅当a＝2b＝时取等号．
答案：
5．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
解析：f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2时取等号，则由题意知a＝4×32＝36.
答案：36
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1.(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B. C．3 D.
解析：选B 因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，≤＝，当且仅当a＝－时等号成立．
2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选D ∵1＝2x＋2y≥2＝2当且仅当2x＝2y＝，即x＝y＝－1时等号成立，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2.
3．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选C 将(1,1)代入直线＋＝1得＋＝1，a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时等号成立，故a＋b的最小值为4.
4．(2016·铜陵二模)已知a>－1，b>－2，(a＋1)(b＋2)＝16，则a＋b的最小值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选B 因为a>－1，b>－2，所以a＋1>0，b＋2>0，又(a＋1)(b＋2)≤2，即16≤2，整理得a＋b≥5，当且仅当a＋1＝b＋2＝4，即a＝3，b＝2时等号成立，故选B.
5．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是________．
解析：由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4.当且仅当a＝b＝1时取等号．
答案：4
8．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．
解析：由＋＝，知a＞0，b＞0，所以＝＋≥2 ，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取等号，所以ab的最小值为2.
答案：2
9．(2017·青岛模拟)已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．
解析：因为log2x＋log2y＝log22xy－1≤log22－1＝2－1＝1，当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立，所以log2x＋log2y的最大值为1.
答案：1
10．已知不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：不等式2x＋m＋>0可化为2(x－1)＋>－m－2，
∵x>1，∴2(x－1)＋≥2＝8，
当且仅当x＝3时取等号．
∵不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，
∴－m－2<8，
解得m>－10.
答案：(－10，＋∞)
三、解答题
11．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由(1)知＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
∴x＋y的最小值为18.
12．(2017·常州调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
解：(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．
(2)因为8
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